《天津市高三数学总复习之综合专题：导函数(理)(教师版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《天津市高三数学总复习之综合专题：导函数(理)(教师版).docx（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、导函数(理)1、(单调区间、极值、最值问题)已知函数 f(x) (x2kx 2kx 1 x ax 2a2 3a)ex(x R),其中a R(1)当a 0时，求曲线y f (x)在点(1, f(1)处的切线的斜率;一 22)当a 2时，求函数f(x)的单调区间与极值。 3解：(1)当a 0时，求曲线y f(x)在点(1, f(1)处的切线的斜率为3e；2 .2)当a 时，“刈在(,2a),(a 2,)内是增函数，在(2a, a 2)内是减函数; 3函数f(x)在x2a处取得极大值f ( 2a),且( 2a) 3ae 2a;函数f(x)在x a 2处取得极小值f(a 2),且f(a 2) (4 3
2、a)ea 2.2-a 时，“乂)在(,a 2),( 2a,)内是增函数，在(a 2, 2a)内是减函数; 3函数f (x)在xa 2处取得极大值f(a 2),且f(a 2) (4 3a)ea 2函数f(x)在x2a处取得极小值f (2a),且“2a)3ae 2a02、(单调区间、极值、最值问题)设k函数11 x - xx R ,试讨论函数F的单调性。解：F xkx1 kx ,1 xx 1 kx1，F,1 ,121 x12,x 1进行研究。kx对于F x0时,0，函数在 ，1上是增函数;0时,函数F x在1 ，一 ，一一 ,1 上是减函数，在 1,k二，1上是增函数;,k对于 F(x) .x 1
3、1kx(x 1), F(x).2 . x 1当k 0时，Fx 0 ,函数F x在1,上是减函数;x 1 4F；上是增函数。当k 0时，由F x 1 k 0,解得2 x 1函数F x在1, 1 Jy上是减函数，在14k23、(单调区间、极值、最值问题)In x已知函数 f (x) 。(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设a 0,求函数f (x)在2a,4a上的最小值。解：(1)定义域为(0,)1 In x 人，f (x)，令 f (x)x1 In x0 ,则 x e, xX(Q0e(e,-Kc)+01eFf(x)的单调增区间为(0,e)；单调减区间为(e,)当x变化时，f(x), f(x)的变
4、化情况如下表:(2)由(1)知f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，所以,当4a当2ae时，即 a W 时 f (x)在 2a,4a 上单调递增，f (x)min f (2a); 4e时，f(x)在 2a,4a 上单调递减，f (x)min f(4a)当2ae 4a时，即e a 时 f(x)在2a,e上单调递增，f (x)在e,4a上单调递减， 42f (x)minmin f (2a), f(4a).卜面比较 f (2 a), f (4 a)的大小,v f(2a) f(4a).eln 2a .4 a 1, f(x)minf(2a) 1r 右1ln a4a eIn 4a f (x
5、)minf (4 a) ；4a综上，当 0 a 1 时，f(x)min f (2a)In 2a2a ，当 a 1 时，f ( x) minf(4a)In 4a4a4、(单调性问题)已知a R ,函数f xx2 ax ex其中x Re为自然对数的底数。(1)当a 2时，求函数f x的单调递增区间;(2)若函数f x在1,1上单调递增，求实数a的取值范围;(3)函数f x是否为R上的单调函数？若是，求出实数a的取值范围；若不是，请说明理由。解：(1)当 a 2 时，f xx2 2x exf (x) 2x 2 exx2 2x exx2 2 ex令 f (x) 0,即 x2 2 ex 0 Q ex 0
6、,x2 2 0,解得 72 x 加。函数f (x)的单调递增区间是22, 42(2) Q函数fx在1,1上单调递增,f (x) 0 Xtx 1,1 都成立,Q f (x)2xx2xa e x ax e2xx a e ,xQ e 0,2x(3)若函数工则y11 f x在R上单调递减，则xR都成立，Qex 0, x2 a 2 xa2 4 0 ,这是不可能的，故函数f0,f (x)0对x R都成立,x不可能在R上单调递减;1,1都成立。1,1都成立,1,1都成立;若函数f x在R上单调递增，则f (x)0Mx R都成立，即x2xR都成立，Q ex 0, x2 a 2 x a 0对x R都成立，而 a
7、 2 2 4a a2 4 0,故函数f x不可能在R上单调递增。综上可知函数f X不可能是R上的单调函数5、(不等式成立问题)已知函数 f(x) aln(1 2x) x2, a 0, x (0,1。(1)求函数f(x)的单调递增区间;2(2)若不等式1 n2n2 ln(1 -)对一切正整数n包成立，求实数 的取值范围。解:(1)f (x)a 八2x1 axn22ax 2x a1 ax 2ax22x1.2a2 12a 0,02a12a2 1 00 ,2a. 2 a2 1 a2a.2a2 1 1函数f(x)的单调递增区间为(0, t2a2 1 12a),递减区间为(. 2a 1 1 小,1) 。2
8、a12 一 .(2)不等式2ln(1),即为nnln(1 n)人 1.令x ,当 n N 时，x (0,1n，则不等式即为ln(1 2x)令 g(x) ln(1 2x) x2, x (0,1,在f (x)的表达式中，当a 2时,f (x) g(x),又 a 2 时，1 2a-1 1 , 2a 2.1 g(x)在(町)单调递增，在1、一，(，1)单调递减,2111g(x)在x 金时，取得取大，取大值为 g(-) ln 2 -,因此，对一切正整数n ,当n_21 .12时，ln(1 一)一2取得取大值ln 2 一n n4 ,实数 的取值范围是ln21。4ln( x 1) k(x 1) 1 o6、(
9、不等式成立问题)已知函数f(x)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x) 0何成立，试确定实数k的取值范围;(3)证明：ln(x 1) x 2在(2,)上包成立; n n(JD,n N*,n 21解：(1)函数f(x)的定义域为(1,), f(x) kx 11当k 0时f(x) k 0,则f(x)在(1,)上是增函数x 11 .1当k 0时，右x (1,1 )时，有f(x) k 0kx 1,1. .1-11若x (1 ,)时有f(x) k 0 则f(x)在(1,1 )上是增函数，在(1 -,)上是减 kx 1kk函数；(2)由(1)知 k 0,时 f(x)在(1,)递增，而 f(
10、2) 1 k 0, f(x) 0 不成立，故 k 0,11又由(1)知 ymax f(1 -) Ink,要使 f(x) 0 恒成立，则 ymax f (1 )Ink 0 即可,kk由 In k 0得 k 1；(3)由(2)知，当k 1时有f(x) 0在(1,)恒成立，且口)在2,)上是减函数，f(2) 0,一，In n n 1从而，n 12亡皿工成立。0 ,其中 a,b Rox (2,), f (x) 0恒成立，即ln(x 1) x 2在(2,)上包成立；令x 1 n2 ,则2 2ln n n 1 ,即 2ln n (n 1)(n 1), ln2ln3In 4ln n1233 45n 12 2
11、27、(不等式成立问题)已知函数f x(1)若曲线y f x在点P 2, f 2处的切线方程为y 3x 1,求函数f x的解析式;(2)讨论函数f x的单调性；(3)若对于任意的a 1,2 ,不等式f x 10在,1上包成立，求b的取值范围。24解：(1) f (x) 1 -ar, x由导数的几何意义得f (2) 3,于是a 8,由切点P(2, f(2)在直线y 3x 1上可得2 b 7,解得b 9,所以函数f(x)的解析式为f(x) x 8 9。 x(2) f(x) 1 %, x当a 0时，显然f (x) 0(x 0),这时f(x)在 ，0 , 0, 内是增函数;当a 0时，令f (x) 0
12、,解得x Va ；当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表：X(q,一亚-624函+CO)fM00+f*物大值S取小值所以“*)在(，后,N0,)内是增函数，在(4a ,0), (0,西)内是减函数11(3)解：由(2)知，f(x)在-,1上的最大值为f 1与f(1)中的较大者, 44对于任意的a1,2 ,不等式f x 10在1,1上包成立,241当且仅当f 4.10f(i)& 10,，.一、.-1对任意的a -2成立，从而得满足条件的b的取值范围是(8、(不等式成立问题)设函数f (x) x4 ax3 2x2 b(x R),其中a,b R。,10 . (1)当a 时，讨论函数f(x
13、)的单调性； 3(2)若函数f(x)仅在x 0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a2,2 ,不等式f(x) 1在11上恒成立，求b的取值范围解：(1) f (x) 4x3 3ax2 4x x(4x2 3ax 4). ?102当 a 5时，f(x) x(4x 10x 4)2x(2x 1)(x 2)。1令 f (x) 0,解得 X 0, x2x3 2。当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:X9。)0同1闺20一00$0镀小值J崔大电%1,11, 一 一一所以f(x)在0,1，(2, 8)内是增函数，在(8,0) , -,2内是减函数。22(2) f (x) x(4x2 3a
14、x 4),显然 x 0 不是方程 4x2 3ax 4 0 的根；2为使f(x)仅在x 0处有极值，必须4x 3ax 4 20何成立，即有 9a2 64 w 0 .?解此不等式，得 8 a 8,这时，f(0) b是唯一极值，因此满足条件的a的取值范围是 338 8 一,一 03 322(3)由条件a2,2可知 9a 64 0 ,从而4x 3ax 4 0包成立。当 x 0 时，f (x) 0;当 x 0 时，f (x) 00因此函数f(x)在 -1上的最大值是1)与( 1)两者中的较大者。为使对任意的a2,2 ,不等式f(x)w 1在1,1上包成立，当且仅当f&1即bw 2 a，在a2,2上包成立
15、；f ( 1) & 1, b 2 a所以b 4,因此满足条件的b的取值范围是(,4o9、(不等式证明问题)设a 0 ,函数f (x) x 1 ln2 x 2alnx,(x 0)。(1)令F(x) xf(x),时论F(x)在(0,)内的单调性并求极值；(2)求证：当 x 1 时，恒有 x ln 2 x 2a In x 1。解：(1)根据求导法则有f (x) 1型2 名，x 0, x x故 F(x) xf (x) x 2ln x 2a, x 0 ,于是 F (x) 1 2 型，x 0 ,列表如下：x x工(0,2)-(2+8)尸0+网力极小值/故知F(x)在(0,2)内是减函数，在(2, s)内是
16、增函数，所以，在x 2处取得极小值F(2) 2 2ln 2 2a。(2)证明：由 aA0 知，F(x)的极小值 F(2) 2 2ln 2 2a 0；于是由上表知，对一切x (0, 8),恒有F(x) xf (x) 0；从而当x 0时，包有f (x) 0,故f(x)在(0, 8)内单调增加；所以当 x 1 时，f(x) f(1) 0,即 x 1 ln2x 2alnx 0;故当x 1时，包有x ln 2 x 2a In x 1 010、(不等式证明问题)已知函数 f(x) xlnx, g(x)x2 ax 3。(1)求f(x)在t,t 2(t 0)上的最小值；,1(2)若存在x -,e (e是常数，
17、e = 2.71828 )，使不等式2f (x) g(x)成 e立，求实数a的取值范围；12(3)证明对一切x (0,，都有lnx -17 已成立。e ex解：(1)/r(x)=加+ 1当K芭；(1)单调递减， I SJ当了七；：.十屋町”工)。)3单调递增，当R f 1时J(x)在, + 2上单调遍增/皿=。君0; x2 +ox-3T!I!IJo 0)贝U(x)-4 1一3-L3 竽_LiJCXXT当五时,矶x)mOJ(x)单调递减；当XL君时,由(X)0.左住)单遍匾增;所以M，) 1111t = max, ；).网砂卜因为存在x君很2/(尤)之g(H)成立,所叽I ().故 o M 1
18、+ 3厘一2 ; 彦金x 2,力等优证明 xfrixr - fxefO.fx)由t】)知$ ( X 此用I-工E t。= +H ) j的最小值是- &当且便当上一上取到， 0设以M)=三-二(工 9H)，则40)=. &e易得中*中=L 当且仅当工=1B寸取到.从而对一切工d 0. -3C I都有工Art: V-上成立， * 募即方IX 3 二对一切工亡(0. +0C)成立. / ex11、(不等式证明问题)已知函数f(x) xex(x R)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；x 1时,(2)已知函数y g(x)的图象与函数y f(x)的图象关于直线x 1对称，证明：当f(x) g(x)；(
19、3)如果 x1 x2 ,且 f(x1) f(x2),证明 x1 x2 2。解：(1)fx 1xex,令fx 1 x e x 0,贝Ux1当x变化时，f x ,f x的变化情况如下表，略所以f x在区间 ,1内是增函数，在区间1,内是减函数;函数f x在x 1处取得极大值f 1且f 1- 0e(2)因为函数y g x的图象与函数y f x的图象关于直线x 1对称，所以 g x f 2 x ,于是 g x2 xex 2。记 Fx f x gx,则 Fxxe xx 2ex 2,F x x 1 e2x 21 e x,当 x 1 时，2x 2 0,从而 e2x2 1 0,又ex 0,所以F x 0,于是
20、函数F x在区间1, 上是增函数，因为F 1 e1 e1 0 ,所以，当x 1时，F x F 1 0,因此f x g x。(3)若 x1 1 x2 1 0 ,由(1)及 f x1 f x2，得 x1 x2 ,与 x1 x2 矛盾；若 x 1 x2 10,由(1)及 f xf x2,得 x1x2 ,与 x1x2 矛盾；则x1 1 & 10,不妨设x1 1区1。由(2)可知 fx2 g x2 f 2 x2,所以fx1 fx2g x2f 2 x2o因为x2 1,所以2 x2 1,又x 1,由(1), f x在区间 ,1内是增函数，所以 x1 2 % ,即 x, x2 2 o附：解决不等式证明问题的思
21、路：通过构造函数，以导数为工具，证明不等式或比较大小。证明不等式f x g x在区间D上成立，等价于函数f x g x在区间D上的最小值等于 零；而证明不等式f x g x在区间D上成立，等价于函数f x g x在区间D上的最小 值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最值问题。1 C12、(函数零点问题)设函数 f x - x x m 1 x x R ,其中m 0。3(1)当m 1时，求曲线y f x在点1,f 1处的切线的斜率；1(2)求函数f x的单调区间与极值；(3)已知函数f x有三个互不相同的零点0,为42,且x x2,若对任意的x x1,x2 ,f x f 1
22、包成立，求m的取值范围。解：(1)当 m 1 时，f x-x3 x2, f x x2 2x ,3所以，曲线y f x在点1,f 1处的切线的斜率为1。(2) f xx2 2x m2 1 ,令 f x 0,解得 x 1x的变化情况如下表:X1 -W1-11+WL +w00一/爆小的电因为m 0 ,f x在区间所以所以，1 m 1 m。当x变化时，f x , f,1 m , 1 m,内是减函数，在1 m,1 m内是增函数;函数m处取得极小值-m3 m2函数m处取得极大值32 3-m313 1-o3(3)由题设,xx1xx2 ，所以,方程1 0 ,有两个相异实根x1，x2 ,0,10斛得m 一。2因
23、为x1所以2x2 x1x23,故 x2 i 1o如果x111 xx131 x2如果1x x2 ,对任意的xx,x2，有 x 0,x x10,x1一x x x1x x23所以,x在x1,x2上的最小值为0,于是对任意的x1,x2 , f x f 1包成立的充要条件是x min f 1 ,即 f 1 m23 ,解得当注意到1 一 1,于是m的取值范围是21 _J2，313、(函数零点问题)已知函数f(x)4x3 3tx2 6t2x t1,x R,其中 t Ro(1)当t 1时，求曲线y f (x)在点(0, f(0)处的切线方程;（2）当t 0时，求f （x）的单调区间;（3）证明：对任意t （0
24、,）, f（x）在区间（0,1）内均存在零点小以曲畿在尔吃斶区的切蝶方程为,】1解工厂（2=12/*&r-6尸.争rTx= n. WftJa t Jlc.T :.因为r *U，以F分机神情猊讨论：.李拂二, 11湄樱11 0 丁（） = _61+常 + 3良-6父4 + 4乂2 + 340.所以对任意/42，+工卜/G）在区间（。）内均存在于点,当即0uM2时，/在0g内单调递减，在6.）内弟嘱递;也若 FE（OJ1 “二+.1（一：/ 0 .所以/的在gj）内存在零点 |“卜：/回二上一10,所以/6在内存在零点.所以1对任意在区间()/)内均存的零点.标上，由汗意F以(). 十 )八打存汉
25、网”.1)内均存在零点.214、(函数布点问题)已知a 0,函数f(x) lnx ax ,x 0.0 ( f (x)的图象连续不断)(1)求f (x)的单调区问；1 一3(2)当a 时，证明：存在 凡(2,)，使f(x0) f(-);82(3)若存在均属于区间1,3的，且 1,使f() f(),证明：In3 jn2 a 小。八孔本小题1：叁等ft甘敌的达环，利用外数地究雨般的中曲训.螂不等式：.故令 1,；珞他知识.号件运D褥力和运用函/坦排.折的.便及分先1e的.也想h而以 /M的中调运噌M网足 口 -yf卜公)的单四递械卜的)士”证明上巧以=；时小口工卜累丁：山加J口)作(0父内单调通组*ft/: I：.用内单调遥愉故/，即算0 +14 一央小H 2 * IHfix*) - - *B_3*% tfcg(%) = a期砂在力使飞)哈，L应叫：*的取防HE * JI要蠲足f 2* !1加门“即叽) ) d 也】 = /(扪及 1 的必边知。.浮少，就而人”问也.，上 Cl阴讪4、化为fg.右”也学1,#言1,3卜知14a24月13.J“住3/HL却 八曾3 /(阳？八讣即2-4日? F，11口24。?的3-叱 X执血见号.补充1:关于函数图象的切线问题的处理方法。审题要津与解法研究第 410页 题目12, 第407页题目9。补充2:审题要津与解法研究经典例题解析