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1、1,5.5.1 观测器问题的提法,5. 5 状态观测器设计,状态观测器问题的引入是实现反馈控制的需要。状态观测器分为：全维状态观测器，降维状态观测器。,状态重构的实质，对于线性时不变观测系统 ，构造与其 具有相同属性的一个系统 ，利用 中可直接测量的输出y 和输入u作为 的输入，并使 状态 在一定指标下等价于 状态 x。,2,B,+,A,+,C,x,y,状态观测器,u,图5.2 状态观测器,定义 设n维系统 的状态x 不可测，对给定矩阵 ，若有 一系统 ,以 的输入u和输出y作为它的输入， 的输出 满足：,(5-31),则称 为 的KX观测器。,3,若K =I,则称 为 的状态观测器。,（1）
2、观测器构造思路：,以原系统 的输入u 和输出 y作为观测系统 的输 入； b. 引入反馈 。,u,(ABC),B,S,A,L,C,+ +,+,+,_,y,图5.3 状态观测器实现结构,4,适当选 ，可使 A-LC 有希望特征值。,这种闭环观测器结构，可以克服开环系统容易发散、收敛 速度慢及鲁棒性差等缺点。,状态观测器方程为,(5-32),（2）唯一性 观测器不唯一,若有一系统r维 ,它以u和为输入，并有,5.5.2 观测器存在条件,5,符合什么条件 Sg 为 的 KX 观测器。,即有,(5-33),定理 5.8 若 能控能观, 则Sg成为 的KX观测器的充分必要条件是：,1）（F，E）完全能观
3、；,2） F的全部特征值 具有负实部，即,即Sg是渐近稳定的；,6,3）,4）,5）,6）,其中， 必唯一存在。,这一定理不仅判断Sg是否为 的观测器，也是设计观测器的依据。 设计步骤：,（1）按 2）和3）选F； （2）选一G阵，并由5）定P ； （3）由6），解N ;,7,验证（F，E）是否完全能观测；,（4）由 4）求解 ，导出E，M；,（5）,可见，F，G选择不同，存在不同的P，即对 构造的KX观测器不只是一个。,可以证明： 1）这些观测器之间必是代数等价的。 2）若 能控能观， 都有（5-33）形式的动态系统，若 为 的KX观测器，且 也必是 的KX观测器。,若 ， ,则（5-33）
4、式为,(5-34),8,若 ， ，相应观测器称为降维观测器。,称为全维观测器。,对 全维观测器，参数除按上述设计步骤外，又有特定取法：,则,有,从而,于是得到一特定的n 维KX观测器。,9,为与一般观测器区别，以 代z， 代 W,称此为 的一个全维KX观测器；K=I为 的一个全维状态观测 器 因为满足结构条件的L 不唯一,全维观测器也不唯一。全维观测器设计较简单。,5.5.2 全维状态观测器设计,(5-35),10,若 能观，其对偶系统 必是能控的。,因此，可用对偶关系设计观测器,任意配置极点，这些极点也正是（A,B,C)观测器中 的极点。,那么对任意指定的极点，可求得状态反馈,使得闭环系统,
5、（A,B,C）能观 能控,能控,极点配置,11,算法1 两次反馈 1）先求 ，使对单输出系统能观,若 能观，且有rank C=m。,分别为C的第一行行向量和y的第一分量。,2）再求Z，使 有希望极点,令,则,与,有相同极点,(5-36),12,令 ，,则,关键是求 ，下面给出具体方法：,由于（A，C）能观，所以,(5-36),13,的秩为n，将 的列向量重新排列为,并自左向右挑选最前面的几个线性无关列向量，以其为列向量构造矩阵,14,其中 ，且 , 令,构造矩阵,列,列,列,列,其中 为单位阵 的第 i 列列向量。令,15,则,是能观的。,算法2,利用Luenberger标准形,设所考虑系统为
6、Luenberger能观标准形所示，即,(5-37),16,其中,i,17,现构造观测器，设所要求的观测器的特征多项式为,那么 的伴随阵 （能观形式）为,设 是 阶方阵，显然 .,18,不难看出矩阵 与 的差别仅在第 诸列，由这些列构成的矩阵记为 和 。因而 与 的差别仅在 与 的不同。同样，在 中取出第 等p 列，由它构成的矩阵记为 ，易知 为如下三角形阵,为了构造观测器，只需选择矩阵 使得,19,因而只需,即有,根据 ，就可构成所需的观测器为,(5-38),5.5.3 降阶状态观测器设计,当系统阶数很高时，构造的全维观测器是很复杂的。降低 维数意味着观测器只需较少个数积分器来构成。,20,
7、任选 ，使 非奇异。,令,(5-39),若rank C= q。,定理5.9 系统（5-39）完全能观，它的最小观测器维数为 n-q.,定理5. 10 通过非奇异变换 ，线性定常系统（5-39） 可以变成如下形式的系统,(5-40),21,其中， 为q维分状态， 是n-q维分状态.,因为 可直接测量，因此需要构造的是n-q维状态观测器。,定理5. 11 分状态 的n-q维状态观测器为,(n-q) q阵 取为使 满足期望极点配置。,(5-41),定理5. 12,对于线性时不变观测系统(5-39)，确定系统状态x重,构状态 的关系式为,(5-42),降维观测器结构下图：,22,算法：,（1）,对给定
8、C，任取R，使 非奇异；,（2）,（3）,23,（4）计算期望特征多项式,（5）对 采用极点配置算法，求 使,（6）取,（7）计算,（8）停止。,24,受控系统的状态x，观测器的状态z，其中z是r维的，状态方程 式是,5.5.4 利用观测器构成的状态反馈系统,25,进一步可表示为,或者,26,这就是带有观测器后闭环系统状态方程。,（1）若x是n维，Z是r维 ,则闭环系统维数为n+r; （2）闭环极点具有分离性, 即它可变为：,性质：,27,证明：存在P，有,则,显然 是非奇异的，且 ，作坐标变换 也即： ，则有,28,证毕。,所以观测器的引入不会影响极点配置，也不会影响解耦。,（3） 是系统的
9、不能控不能观部分。,或者表示成,29,5.5.5 离散观测器,离散系统观测器的讨论方法和连续系统相似，设离散定常系统 能观，并且 是可逆阵。,30,如果系统的能观性指标为 ，则,对于离散系统，作为全维状态观测器，可取为,其中L是要选择的反馈阵，这时,连续系统L的选择可以控制观测误差的速度，但不能在有限时间使观测误差彻底消失。而对于离散系统，若选择 L 使,31,定义 以 为输入的系统 称为 的Kx 观测器，如果存在步数 ，当 时， 的输出 和 相等。当 时，则称为状态观测器。,的特征值都为0，存在式具有 ，使,可见，只要 ，必有 ，观测误差彻底消失。,离散系统 KX 观测器的一般结构,它的维数是 r, 。设 ，则有,（5-43）,32,以及 1、F的特征值都为0 2、 3、 4、,定理5.11 设系统（5-43）能观，则它成为 的步数为的Kx 观测器的充分必要条件是，存在 阶矩阵P，使得对任意输入 和初始状态 ，有,