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1、6重积分的应用6重积分的应用教学目的 学会用重积分讣算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力.教学内容 曲面面积的讣算公式；物体重心的计算公式：转动惯量的讣算公 式；引力的计算公式.基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯 量的计算公式和引力的计算公式.教学建议：要求学生必须掌握曲面面积的汁算公式，物体重心的计算公式，转动惯量 的讣算公式和引力的讣算公式，并且布置这方面的的习题.教学程序、曲面的面积（一）、定义设D为可求面积的平面有界区域，函数/（血）在D上具有连续 的一阶偏导数，讨论由方程 =所确定的曲面s的面积.1 对投影区域d作分割它把分成个小区域丁（，= 1,町
2、，相应地也 将曲面S分成”个小曲面片Sf（j = l,町.在每个上任取点，作曲面在 这点的切平面心，并在心上取出一小块儿，使得厲和,在平面上的投影都为62 .取近似S a z!4r （/ = 1,屮）3 .作和式nitS =工工AAjr-lj-14 -取极限nHrIH用和式的极限作为s的面积.（二）、计算公式1.先计算厲的面积，因切平面眄的法向量就是曲面S在点畋侥，曲）处的法向量，记它与z轴的夹角为人，则J1+/Y（知7）+斤（$皿）因厲在Q平面上的投影为6,所以Acrr 4 = （cos/i ）二 Jl + f；（刍，）+/；（勺，Q ） A CT,而和靑是连续函数在有界闭区域D上4 f J
3、l + f；侥J + ft （知 a h 6 仙=r-1 的积分和，故当I仰f。时就得到c /忸fji+代G,“J+从，Jw JJJi+S）H，E 二 I，IL。r-l= D,iim y AT, ff dxdy或sJW|cos|/!|cos（y）其中cos（n,z）为曲面的法向量与z轴的正向夹角的余弦例1求圆锥Jf 在圆柱体W+Fx内的那一部分的面积.JJ J1+ &：（“）+z；（x,yk 加e） S.X2 +）， X Z = yjx2 +y2Jl + z；（x,y）+z；（x,y）二血二血二、重心设y是密度为Q（x，）x）的空间物体，Q（x，y，z）在v上连续，因V的质量为M = BI。（
4、忑” Zdxdydz,卩对W平面的静力矩为jj xp（x. y, z）dxdydz.,由重心 vv坐标的概念有，以分别表示V的重心的各个坐标，应有“I = JIJ3（圮，zdxdydz ,所以Jjj xp(x. y, zlxdydz Jjj “(x, ” zlxdydz,V_ _V p(x.yzlxdydzv(俎 ” zlxdydzt jjj (x, ” zlxdydz.v_ vJJJ Q(x, ” zlxdydzv_M类似地有 y二jjj zp(x, ” z.lxdydz, Jjj ZQ(X, ) zlxdydz.v_ px.y,zlxdydzv若於JZ）为常数,则x=v对平面薄板D的情况，
5、则有JJZ?（x,y/x6/vX =y= AV z= AVjj xp(x. ylxdy Dpy!xdyJf ylxdy DJf Mb_ J)y 二 adJJ ypx. ylxdy JJ yp(x. y)clxdyjj xd（yi）若Q（3）为常数，则AD 例3求密度均匀的上半椭球体的重心.X解设椭球体由式/+ + *】b2 c2 , Z0 表示 由对称性知x二二0,由前节的例3的结果，可得jjj zdxdydz.vyz = AV2 3c ruibc 3 二 8三. 转动惯量J = JJ 於 + r 加=号（r： - &4 ）=尹;+ R；）其中加为圆环的质量例5求均匀圆盘D对于其直径的转动惯量
6、解 设圆盘为密度为。，则其中山为圆盘的质量.例6设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量.解 设球体由式P+F+Z乜用表示，密度函数为P = kylx2+y2+z2（ 则它对切平面x=R的转动惯量为丿=町开 yjx1 +y2 +Z2（x _ R）2 dxdydz四. 引力求密度为Q（如”刃的立体对立体外一质量为1的质点A的万有引力设A的坐标为U中点的坐标用*”力表示。我们用微元法来求V对A的引力，V中质量微元皿 V对的引力在坐标轴上的投影为dF = k- pclV dF、.=k=pdV dF：x = kpclV9t!其中斤为引力系数，b+（y_）2+（z-b是到的距离，于是力万在 三个坐标轴上的投影分别为行呵口宁 M FTJJJ宁 M 町F 二 FJ + FJ + F,例7设球体V具有均匀密度P,求对球外一点A （质量为1）的引力（引 力系数为。解 设球体由式表示，球外一点A的坐标为（004） W由对称性人=片八 唧乎翩=缚（餐+严+（2一审厂：一缶町*作业 P259: 1;2;3;4;5;6