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1、度量空间在近似代数中，对任意一个集合，赋予它一个或多个满足一定条件 的运算，就说这个集合具有一个代数结构，构成一个代数系统，从而可 在英上进一步研究代数问题。对任意一个集合，赋予它一个“拓扑结构”，使它构成一个拓扑空 间，就可以在其上讨论“连续(变换)”问题，研究拓扑变换(特殊的 连续映射)卜的不变性。度量空间是一类特殊的拓扑空间。一、度量空间定义设X为非空集合，3p： XXX-R,使X/x、y、zex满足：(1) 正定性：p(x,y)MO,并且p(x,y)=O当且仅当x=y；(2) 对称性：p(x,y)=p(y,x)；(3) 三角不等式：p(xZ)Wp(x,y)+p(y乙)则p(x,y)称为
2、度量空间(X, p)从点x到点y的距离,p是X的个度量(metric),偶对(X, p)为度量空间(metric space)o仞J,设 p： RXR-R 为p(x, y)= | xy | , x、y、p(x, y)WR,贝Up是“R上”的一个度量，为R上的常用度量,称度量空间(R, P)为实数空间或实直线。“实数空间”度量了数轴上任意二点间的绝对距离。仞J,设neN(自然数集合)，RnXRnR (i=0, 1, 2, 3),对Vx=(xi，x、y=(yi，yQuR,有：(1) 设(X, p)为度量空间，如果对于Vxex,“存在” 一个实数*0,使得对任意yex, xHy,有p(x,y)x,则
3、称D是X上离散度量，称(X, p)是离散(度量)空间。例，定义po为：p0(x,y0,当乂=；p0(x,y)=l,当xHy；证明：Po是个离散度量。显然，根据度量定义，po是一个度量。取8x=l/2,则对于任意ywX, yHx,有p0(x,y)=lx=l/2 成立。 所以，po是X上的一个离散度量。实际上，令po(x?y)=rO当xHy, po也是离散度量。例，证明：只含“有限个点”的度量空间都是离散度量空间。证：设(X,p)是一个只含有限个点的度量空间，任取xeX,取cx=( 1 /2)nip(x,y)|yeX, yHx,取w=minx | xeX,则刘于每一个xeX,存在一个实数0,使得对
4、于任何yeX, yHx, p（x, y）成立。所以（X,p）是一个离散度量空间。另证：这空间只含有限个点，不妨设为Q, Q?,.，Qo它是个度量空间，所以存在距离函数p（x,y）,定义域为：x,y属于Q】, Q?,，Qn。很明显距离函数只有C（2,n）个值，其中必然有个“最小值 P（Q,Q）”，这说明Q、Q之间没有其它点，所以该空间离散。（2）欧氏空间：pi（x,y）=（舛一刃）+（兀-yj=J_刃）；p,y）称为“R上的常用度量,（Rn, 5）称为n维欧氏空间。2维欧氏空间即欧氏平面,1维欧氏空间即是实直线。（3）p2（x,y）=max | Xjyj | , i=l, 2, , n（4）p3
5、（x, y | Xiyi | + | x2-y2 | HF | xnyn |可以验证，各pi均是Rn上的度量。仞9，设R8=（xi，x2, ） | x1eRt-.Si=rxi20, xex, X的子集:B(x,e)= y GX | p(x,y) B2ep, xeBiAB：, BBEp,使得xWBdBiQB?(也即性质的另一种描述，体现了交集的“无限可分性”。)伤U，设(X,d)是一个离散度量空间，证明:6(1) X的每个了集都为开集同时又为闭集；(2) 若Y也是个度量空间，则任何映射f： (X,d)T(Y,p)都是连续的。 证明(1)因为(X,d)是一个离散度量空间，则对于每一个x()wX,存
6、在一个实数800,使得对于任何xeX, xHx(), d(x,x0)80成立。设A是X的任意子集，对于任意xogA,球形邻域B(x0,80)=xooA., 因此A是开集。同理可证A。是开集，即证得A是闭集。显然X,既开又闭所以X的每个子集既是开集又是闭集。(2)任意IRxoeX, e0,因为(X,d)是个离散度量空间，所以总存在 80,使得对于任何xeX, d(x,x0)5o当d(x,x0)5时,B|JxeB(x0,5),便有x=x。，从而p(f(x),f(x0)=Oe,即 f(x)GB(f(x0),s),也就是f(B(xo,8)cB(f(Xo),s),所以f在点X。处连续。又由于点X。选取的
7、任意性，所以f是连续的。证毕。三、开集定义 设(X, p)为度量空间，卩是其“所有开球”构成的集合族，AcX, 若押邙，使A=UBpoB，贝lA称为度量空间(X, p)的“开集”，“所有开 集”构成的集族记为Tp。定义说明：开集是若干开球的并集。显然可知：每一个开球都是开集。例(1)实数空间R中的任意开区间(a, b)都是开集，对于(a,b)= xgR I axb ,如果 xe(a, b),令e=iiiiiixa, bx,则有 B(a, e)c(a, b),所以开区间(a、b)是开集。实数空间R中的任意闭区间a, b,或半开半闭的区间3, b),都不 是开集。无限的闭区间a, 8)也不是开集。
8、(2) 设(X,p)为离散度量空间，X中的任何-个单点集都是开集。 因为任意取xwX,总存在x的个开球x包含x,即单点集合本身，而每一个开球都是开集，所以任何一个单点集都是开集。进一步地，X的每一个二个元素以上的子集，都可由单点集的并构 成，故也均为开集。(3) 设 X=1, 2, 3,定义距离p(x, y)=|xy|o显然，单点集1、2、3均为开集。取X】=1, 2,任意取0,使得B(a, )cAo定理说明，A是开集O A中的每一个点，至少有一个开球包含于A。 该定理也有书籍中用作为开集定义的。定义设(X, p)为度量空间，AcX, VaeA,玉0,使得开球B何e)cA, a称为A/MX,
9、p)屮的“内点”，A在X中的内点全体称A在(X, )中的“内部(interior),记为IntAo显然：A是开集o A= IntAo定理度量空间(X,p)的全体“开集”构成的开集族耳满足:(1) X、WTp；(2) 若A】、A2eTp,则A1nA2GTp(3) TocTp, UAeToCTp(孙克宽书的第14页给出了该定理的证明)伤设(X,d)是i个离散度量空间，证明(开集方法)：(1) X的每个了集都为开集同时又为闭集；(2) 若Y也是个度量空间，则任何映射f： (X,d)T(Y,p)都是连续的。 证明(1)因X的毎个单点子集是廿集。由拓扑公理任意并，X的任意了集A必是开集。由于A。是X的子
10、集，必是开集，故A是闭集，所以X的每个子集既是开集又是闭集。(2) Y的任意开集U的逆像F(U)是X的了集，X是离散度量空间，X的 每个了集合是开集，因而F(U)必是开集，所以f连续。证毕。9伤Q,度量空间的开集由距离/度量导出，同集合上的不同度量可能 导出相同的开集，即某-集合对某度量/距离是开集，则对另-度量/ 距离也是开集，从而导岀的拓扑是相同的。在Rn中给出如下三种距离/度量：/nQ(x$)=(工(兀-刃)八 p.(兀 y) = max | x - y. | P3(兀 y)二习无-必 |/=1 - ,=1其中x=(xb.,xn), y=(yi,.,yn)。取n=2,在R2卜,x=(0,
11、0), y=(yi,y2) 0,三种度量卜的球形邻域B(O,w)如图中蓝色线包含区域，球形邻域B(0, w)与各数轴的交点是,球 形邻域的区域不包含边线，是开区域/开集。图 不同度量空间在应卜点(0,0)的球形邻域三个度址/距离有着完全相同的开集合，因而他们所诱导的拓扑是相 同的。参考文献1孙克宽,郭驼英,梁肇军.拓扑学ML武汉:华中师范大学出版社,2004. 12熊金城编.点集拓扑讲义学ML北京：高等教育出版社（第二版）,1998.53抿运章.离散度磺空间的应川J.云南民族人学学报（口然科学版），2006,15，1831844张运章.离散度最空间的丿卫用J.公南民族人学学报（自然科学版），2006,15（3）,181784