《圆锥曲线的综合问题详细解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线的综合问题详细解析版.docx（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、圆锥曲线的综合问题一最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的思想方法； 2. 了解圆锥曲线的简单 应用；3.理解数形结合的思想.1. 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线I与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线I的方程Ax+ By+ C- 0 A, B不同时为 0代入圆锥曲线 C的方程Fx, y = 0,消去y也可以消去x得到一个关于变量 x或变量 y的一元方程，Ax+ By+ C- 0,2即消去y,得ax + bx+ c- 0.F x, y- 01当0时，设一元二次方程ax2+ bx+ c- 0的判别式为A ,那么A 0?直线与圆锥曲线 C 相交；A- 0?直线与圆锥曲线C相切;Av
2、 0?直线与圆锥曲线C相离. 当a-0, bz 0时，即得到一个一次方程， 那么直线I与圆锥曲线C相交，且只有一个交点， 此时，假设C为双曲线，那么直线I与双曲线的渐近线的位置关系是平行；假设C为抛物线，那么直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2. 圆锥曲线的弦长 设斜率为kk丰0的直线I与圆锥曲线 C相交于A, B两点，Axi, yi , BX2, y2，那么| AB - , 1 + k21 xi X2|=寸1 + k2. J X1 + X2 2 4x1X2| y1 y2| -4y1y2.宀例题精讲考点分析考点一直线与圆锥曲线的位置关系2 2x y【例1】 在平面直角坐标系 xOy
3、中，椭圆G：云+台=1(ab0)的左焦点为F( 1,0)，且点P(0 , 1)在C上.(1)求椭圆C的方程； 设直线I同时与椭圆C和抛物线C2: y2= 4x相切，求直线I的方程解 椭圆C的左焦点为F1( 1, 0) , c= 1,又点R0 , 1)在曲线C上，01L222-孑+ = 1，得 b= 1，贝U a = b + c = 2,2所以椭圆C的方程为X+y2= 1.(2)由题意可知，直线I的斜率显然存在且不等于0，设直线I的方程为y = kx + m222消去 y，得(1 + 2k)x+ 4kmx+ 2m 2= 0.y= kx + m因为直线I与椭圆C相切,2 2 2 2所以 A1= 1
4、6k m 4(1 + 2k )(2 m 2) = 0.整理得2k2 m+1=0.由 y 4x消去 y，得 k2x2+ (2 km- 4)x+ m= 0. y = kx+ m因为直线I与抛物线C2相切，所以 A 2= (2 km- 4)2 4k2m = 0,整理得 km= 1.k=k一犬综合，解得2 或2m= 2m= 2.所以直线I的方程为y=. 2或y= 2.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解【训练1】 在
5、平面直角坐标系 xOy中，点M到点F(1 , 0)的距离比它到y轴的距离多1.记 点M的轨迹为C.(1) 求轨迹C的方程；(2) 设斜率为k的直线I过定点P( 2, 1),假设直线I与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围 解设点Mx, y)，依题意| MF = |x| + 1,(x- 1) 2+ y2=|x| + 1,化简得 y2 = 2(| x| + x),24x( x 0),故轨迹C的方程为y =0 (x v 0).2在点 M的轨迹 C中，记 G： y = 4x( x 0) ； C： y= 0( x v 0). 依题意，可设直线l的方程为y 1 = k(x+ 2).y 1 = k (
6、x+ 2)，由方程组2y = 4x，2可得 ky 4y+ 4(2 k+ 1) = 0.当k= 0时，此时y = 1.把y= 1代入轨迹C的方程，得x=4.1 故此时直线I : y = 1与轨迹C恰好有一个公共点-，1 .42当 kz 0时，方程的 A = 16(2 k + k 1) = 16(2 k 1)( k + 1)，设直线I与x轴的交点为(Xo，0)，贝U2k + 1 由 y 1 = k(x + 2)，令 y = 0，得 xo=.kA v 0，1(i )假设由解得kv 1,或k；-.XoV 0，21所以当kv 1或k2时，直线I与曲线C没有公共点，与曲线G2有一个公共点，故此时直 线I与
7、轨迹C恰好有一个公共点.2 2k + k 1 = 0，A = 0， (ii )假设即2k+ 1解集为？.Xo?0，-v 0，k1综上可知，当kv 1或k或k = 0时，直线I与轨迹C恰好有一个公共点.考点二弦长问题2 2x y【例2 (2021 四川卷)椭圆E：二+ 2= 1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直a b角三角形的三个顶点，直线I : y = x + 3与椭圆E有且只有一个公共点 T.(1) 求椭圆E的方程及点T的坐标；(2) 设O是坐标原点，直线I 平行于OT与椭圆E交于不同的两点 A B,且与直线I交于点P证明：存在常数 入，使得I PT 2=入I PA I PB，并求入的
8、值.2 2_x y(1)解 由，a=q2b,那么椭圆E的方程为 不卄甘=1.2 2x y _ 1由方程组 2b b 得 3x2 12x + (18 2b2) = 0.y = x + 3,方程的判别式为A = 24( b2 3)，由A= 0，得b2= 3,2 2所以椭圆E的方程为X + y = 1点T的坐标为(2 , 1).63此时方程的解为 x= 2,(2)证明由可设直线1l 的方程为 y = qx+ m(mT 0),1y=ox+ m由方程组 2可得y = x + 3,2mx = 2亍，2my = 1 + 亍所以P点坐标为2 -3-,2m 2 8 21 + 訂 PT =设点A B的坐标分别为A
9、(xi, y)，B(x2，y2).由 A 0,解得一322m b 0)经过点1(0 , ,：3)，离心率为,左、右焦点分别为交于C, D两点，且满足需=X4 ,求直线1的方程.Fi ( c, 0) , F2(c, 0).(1)求椭圆的方程；1 假设直线l : y=- ,x + m与椭圆交于 A, B两点，与以FiF,为直径的圆解(1)由题设知椭圆的方程为b= 3 ,c= 1a= 2 ,.2 2 2b = a c ,23 = 1.解得 a= 2, b= ：3, c = 1,(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为 x2+ y2= 1,圆心到直线I(*) i cd=2 ；1d2= 21：m=
10、24 m.设A(X1,y,B(X2,y,),1y= ,x+ m由 22得x2 m灶吊一3 = 0 ,x y 丿+-= 1,43由根与系数关系可得X1 + X2= m X1X2 = m- 3. i ab =/1 + 12【m 4(m3)由鬻=罟，得54m=j解得m=3 ,满足(的距离d =，由dv 1，得|m v誓.52).直线l1的方程为y= x+3十 13可或y= 2x-可.考点三中点弦问题2【例3】(1)椭圆E：a+ b =i(ab0)的右焦点为F(3 , 0),过点F的直线交E于A,B两点.假设AB的中点坐标为(1 , 1),贝U E的方程为()2+ 36= 12+ ?8= i双曲线2x
11、2 % = 1上存在两点 M N关于直线y= x+ m对称，且 MN的中点在抛物线y2= 18x上，那么实数 m的值为2 2ya 22g+孑=i消去y,得4+ b x 3 29 22ax+4a解析 (1)因为直线AB过点F(3 , 0)和点(1 , 1), 所以直线AB的方程为y = 1(x 3),代入椭圆方程2.2 ca b = 0,3 2a2所以AB的中点的横坐标为2 =1，即a2= 2b2,a 22+ b4又 a = b + c ,所以 b= c= 3, a= 3 2，选 D.(2)设 Mxi, yi), N(X2,22 yi彳xi 3 =1，22 y2彳 那么X2 3 = 1,y2),
12、 MN的中点 P(xo, yo),xi + X2= 2xo,yi + y2 = 2y o,由一得(X2 ixi)( X2 + xi) = 3(y2 yi)( y2+ yi),显然 xi 半 x2. 忌 x+i= 3，即 kMN- x0= 3，M, N关于直线 y = x+ m对称， kMN= 1,m 3m yo= 3xo.又T yo= xo+ m 二 P 4,才,9 2m代入抛物线方程得m= 18 - 4,解得m= 0或8,经检验都符合.答案(1)D(2)0 或8规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有Xi +y i V
13、2X2, yi + y2, 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求Xi X2得斜率根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解【训练3】 设抛物线过定点 A 1, 0)，且以直线x= 1为准线(1) 求抛物线顶点的轨迹 C的方程；1(2) 假设直线I与轨迹C交于不同的两点 M N,且线段MN恰被直线x=平分，设弦MN勺垂直平分线的方程为 y= kx + m试求m的取值范围解(1)设抛物线顶点为 P(x, y)，那么焦点F(2x 1, y).再根据抛物线的定义得|AF| = 2，即(2x)2+ y2= 4,2所以轨迹C的
14、方程为X2 + y = 1.4M N为椭圆C上的点,(2)设弦MN勺中点为P 2,yo,Mxm,yM,N(xn ,yN)，那么由点2 24xm+ yM= 4 , 可知 224xn+ yN= 4.两式相减，得4( Xm xn)( xm+ xn) + (yM yN)( y“+ y)= 0,1彳将 Xm+ xn= 2 X 2 = 1 , yM yN= 2y0 ,yM yN1y0XM; = k代入上式得k= 2.又点P 1 , y。在弦MN勺垂直平分线上,所以1yo = 2k+ m所以13m= yo+ k = 4。.1 1由点P 2，yo在线段BB上B, B为直线x=-空与椭圆的交点，如下图，所以 屮
15、v yov yB,也即一3 yov :3.所以一343 m 2p,故这样的直线有且只有两条答案 Bb 0的交点个数是bx2 y22. 直线y =孑+ 3与双曲线g図=1( a 0,解析因为直线尸+ 3与双曲线的渐近线y=bx平行，所以它与双曲线只有1个交点.答案 A45的直线l，交椭圆于A, B两点，设O为坐标原点，贝y OA- 6B導于)A. 31B. - 31、C. 3或一 31D. 1解析依题意，当直线I经过椭圆的右焦点1 , 0时，其方程为y 0= tan 45x 1,x 224即y= x 1,代入椭圆方程 + y = 1并整理得3x 4x= 0,解得x= 0或x= 3,所以两个交点坐
16、标分别为0， 1 ,3, 3OA- OB= 同理，直线I经过椭圆的左焦点时，也可得 OA- ob= 3.答案 B4. 抛物线y= x到直线x y 2 = 0的最短距离为2lx y 21| 一x + x 21解析 设抛物线上一点的坐标为(x ,y)，那么d =721 27X 2 4 一2 ，17 2x = 时，dmin答案 B5. (2021 石家庄调研)椭圆ax2+ by2= 1与直线y = 1 x交于A, B两点，过原点与线段 AB中点的直线的斜率为#那么a的值为() 解析 设 A(xi，yi)，B(X2, y2)，线段 AB中点 Mx。，y。)，由题设ko= xo=f.ax1+ by1=
17、1，(y2+ yj( y2 yj| 丨 |22得,y2一 y1又当=-1,y2+ y1=经=逅X2+ X1 2X02a b.所以咅i3答案 A6.椭圆C：2 2X2+ y2= 1(ab0), F( 2, 0)为其右焦点，过 F且垂直于x轴的直线与椭a b圆相交所得的弦长为2.那么椭圆C的方程为解析由题意得c = 2,b2a =1，2 . 2a = b +解得a 2椭圆c的方程为x+y=1.b=/2,422 2答案x+y2=127.抛物线y = ax(a0)的焦点到准线的距离为2,那么直线y = x+ 1截抛物线所得的弦长等于解析由题设知p= 2a= 2,. a= 4ax2 + by2= 1,(
18、X2+ xj( X2xj1 2抛物线方程为y =,焦点为F(0 , 1),准线为y = 1.1 2y = TX ,联立 4 消去X ,y=x 十 1 ,整理得y2 6y+ 1 = 0, y1 + y2= 6,直线过焦点 F ,所得弦 | AE| = | AF| 十 | BF| = y 1 十 1 十 y2+ 1 = 8.答案 82 28.过椭圆磊十4 = 1内一点R3 , 1),且被这点平分的弦所在直线的方程是解析 设直线与椭圆交于 A(xi, yi) , B(X2, y2)两点,由于代B两点均在椭圆上,2 2 2 2 故生+也=1竺+ V3 = 1故16十 4 I , 16十 4 I , 两
19、式相减得(X1 + X2)( X1 X2)(y1+ y2)( y1 y2)16=0.又:P是 A, B的中点， xi + X2= 6, yi + y2= 2,y1 y23Kab= _X1 X24直线AB的方程为y 1 = 3( x 3).即 3x + 4y 13= 0.答案 3x十4y 13 = 0三、解答题9.设Fi, F2分别是椭圆E：2x2+ Xa b2首=1(ab0)的左、右焦点，过 F1且斜率为1的直线I与E相交于A B两点，且I AFF , | AB ,1 BF|成等差数列.(1)求E的离心率;设点R0 , 1)满足| PA = | PB ,求E的方程.解 由椭圆定义知| A冋+
20、| BF| + | AB = 4a,又 2| AB = | AF| + | BF|，得 | AB = fa ,3I的方程为y = x+ c,其中c= .a2 b2.设A(xi , yi) , B( X2 , y2),贝U A, B两点的坐标满足方程组y= x 十 c ,x2 y2消去y ,化简得(a2十了十眉=1 ,a b2a c b ) x + 2 a ex + a (c b ) = 0,贝U xi + X2 = 2_, a + b2 z 2 , 2Xa (e b )X1X2因为直线AB的斜率为1，所以| AB = 2| X2 Xi| = ,;2 (Xi + X2)故 a2 = 2b2,所以
21、E的离心率e= 2= _ b =a a 2(2)设AB的中点为Nxo, yo)，由(1)知2xi + X2 a eXo=J-2 =2 a + b2eeyo = Xo + e= 3.3y o T 1由I PA = I PB，得 kPN= 1，即一=1,Xo得 e= 3，从而 a= 3 .2, b= 3.22x y故椭圆e的方程为18+ 9 = 1.2x10.椭圆C： g+合=1( ab0)的一个顶点为A(2 ,0),离心率为直线y= k(x 1)与椭圆C交于不同的两点 M N(1)求椭圆C的方程;当厶AMN勺面积为冷时，求k的值.3a= 2,解由题意得c=,a 222解得b= 2，所以椭圆C的方
22、程为中+与=1.y= k( x 1), 由 x2y2得(1 + 2k2)X2 4k2x+ 2k2 4= 0.+ = 14 十 2，设点M N的坐标分别为(X1, y, (X2, y2),那么 y1 = k(X1 1), y2= k(X2 1),4 k22k2 4X1 + X2=2 , X1X2=2 ,1 + 2k 1 + 2k 所以 | MN = : (X2 X1) 2+( y2 y1) 2=:(1 + k2) (X1 + X2) 2 4x1X2 44ab24X1X2，即 3a= aTb2，2. (1 + k2)( 4 + 6k2)1+ 2k2| k|又因为点A(2 , 0)到直线y = k(
23、x- 1)的距离d= 2,p1 + k出护+录由业+匹=迈解得.= 1 1+ 2k2 ，由 1 + 2k = 3，解得 k= 1.所以 AMN勺面积为S= MN d =丿能力提高2 2x y11.椭圆4 + b2 = 10 v bv 2的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线I交椭圆于A,B两点，假设| BF2| + | AF2|的最大值为5,那么b的值是解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a = 2，由椭圆的定乂，可知 | AF2| +1 BF2| + | AB = 4a所以 | AB = 8 - (| AF2| + | BF2|) 3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中,通径最短，即2b2
24、= 3,可求得 b2 = 3,即 b=3.12.2021 四川卷设0为坐标原点,答案 DP是以F为焦点的抛物线 y2 = 2pxp0上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM = 2|MF ,那么直线OM勺斜率的最大值是2解析 如下图，设F(xo, yo)( y0)，那么yo = 2pxo,2即 X0 = y.2p设 Mx, y)，由 PM= 2MF-xo= 2 P-x,解之得宁，且y = yo.直线/OM勺斜率k=乞xy。=2py。= 2p2p+ yo2pyo7又yo+ 2p 2 .Sp，当且仅当yo= ,.;2p时取等号“ k 2鬻V，那么k的最大值为豢答案 CPU I , A为垂足.如果直
25、线13.设抛物线y故MN的中点为E$+ 2m+ 3,= 8x的焦点为F,准线为I , P为抛物线上一点,AF的斜率为一爭，那么| PF =.解析 直线AF的方程为y= 3( x 2),y = 4 3，所以 R6 ,x = 2,43).由抛物线的性质可知IPF = 6 + 2= 8.答案 814.抛物线C: y2= 2px( p0)的焦点为F,直线y = 4与y轴的交点为P,与C的交点为Q5且 iqf = I PQ (1)求C的方程；过F的直线I与C相交于A, B两点，假设AB的垂直平分线I 与C相交于M N两点，且 A, M B, N四点在同一圆上，求 I的方程.2 8解设Qxo, 4)，代入
26、y = 2px得xo= p.P所以 |PQ = p，|QF = p+ xo= 2+Pp.p 858由题设得+=；X-，解得p= 2(舍去)或p= 2.2 p 4 pL， L所以C的方程为y2 = 4x.22 依题意知I与坐标轴不垂直，故可设I的方程为x= my+ 1(0).代入y = 4x得y 4my4 = 0.设 A(X1, y , Rx2, y2)，贝U y1 + y = 4m=4.故AB的中点为D(2m + 1, 2m ,| AB = . m+ 1| y1 y2| = 4( ni+ 1).1 2 又I 的斜率为m所以I 的方程为x = /+ 2m+ 3.将上式代入y2= 4x ,并整理得y2+令4(2 nn+ 3) = 0.设 Mx3 , y3), Nx4 , y4),贝V y3 + y4 =帚2y3y4= 4(2 m+ 3).14 (m2+ 1) 2吊+1I Mw =1+神 y3y4 = mi由于MN垂直平分AB故A, M B, N四点在同一圆上等价于|AE = | BE =空| MN ,1 2 2 1 2 从而4IAB2 + IDE2=4I MN2,2 2 2 2 即 4(吊 + 1)2+ 2m+ = + 2m m2 224 (m+ 1)(2m+ 1)=4.m化简得m 1=0,解得m= 1或m= 1.所求直线l的方程为x y 1 = 0或x + y 1 = 0.