《求数列通项公式的方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求数列通项公式的方法.docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、求数列的通项公式的方法1.定义法：等差数列通项公式；等比数列 通项公式。例1 等差数列an是递增数列， 前n项和为Sn，且讣3念成等比数 列，S5 a2 求数列a.的通项公式.解：设数列a.公差为d(d 0)玄启忌成等比数列，a33139 ,即卩(印 2d)2 a-i(a1 8d) d2 a1dT d 0 ,印 dS5a55ai 口2由得:d (a-4d)2ai 3 , d 355 I a.3 (n 1) 33n555点评：利用定义法求数列通项时 要注意不用错定义，设法求出首 项与公差(公比)后再写出通项练一练：数列34,51,711,932,试写出其一 个通项公式：；2.公式法： Sn (即
2、 差法：an S1，(nS 1)(n n 1A例2 .数列 足 S 2a ( 1),n 1 . 公式。解：由当时，2)。an的前求数列a1 S1有an S n S2(ananf(n)求an，用作项和Sn满 的通项1a112 ( 1)n,an 2anan 1 2an2 ( 1)n2 ( 1)172ja22a1 2.(1f L 2(1)n1(2)n 1 n1nan 2 a 2( 1) 22n1 ( 1)n( 2)n1 ( 2)2n1 ( 1)n21(2)n1(1322n 2 ( 1)n 1.3经验证31 1也满足上式， 所以 a 22n 2 ( 1)n 13点评：利用公式anSn S 打求Sn S
3、n 1n 2解时，要注意对n分类讨论，但 假设能合写时一定要合并 练一练：an的前n项和满足 log2Sn 1 n 1，求 an ；数列an满足3 4,Sn Sni 5ani，求冇；33作商法：a1ga2g- ganf( n)求a.，用作商法：f(1),(n 1)anf (n) (n 2)。f (n 1)A 丿如数列a中，a, 1,对所有的n 2都有 a1 a2a3 an n ，贝U a3 a5；4.累加法：anan 1 anf(n)an (an an 1)(an 1 an 2)L (a2 a1) a1 (n 2) O 例3.数列an满足a1an O解：由条件知a“ 1 a* n2 n n(n
4、 1) n n分别令 上式得 之(a21n 1,2,3,(n 1)，代入(n 1)个等式累加即an 1 )a2) (a4 a3)(an1 12)(所以a(111 1-)( ) 2 33 4a111n(71_1丄)nan如数列an满足 那么ana1an1n 1. n (n 2)，5.累乘法：廿旦f(n)anL鱼印(n 2) oa1数列anan an 1 anan 1 an例4.an用累乘法：满足nan1 TT，求 an。解：由条件知an 1n分别令(n 1),a n 1n 1 a.1n a1n上式得(n 1)个等式累乘 之，即卩 竺？竺？兰？a1 a2 a312323 42n3n如数列 an中，
5、 求anai2 ,前n项和Sn，假设Sn n务,6递推关系求an， 用构造法(构造等差、等比 数列)。(1 )形如 a ka 1 b、a kan , bn ( k,b为常数)的 递推数列都可以用待定系数法转化为公比 为k的等比数列后，再求an。a ka1 b解法：式转化为：an1 t p(a t)，其中t汁，再利1 p用换元法转化为等比数列求解。例5.数列an中,，求 an.解：设递推公式 可以转化为a n 1 2a n 3an 1 taian 12(an2an 3t)即an 1式2an t为bnbn 1nn 3 ,an 13an 3t 3.故递推公3,令3 4 ,且an 132(an贝ubi
6、aib所以b是以b1 4为首项， 的等比数列，贝U bn 4 2n 1an 23 .2为公比2n1,所以:该类型较类型3要 一般地，要先在原递,得：其中an kan 1 bn解法复杂一些。推公式两边同除以q- 時E?*丄引入辅助数列bn q q q qb亍,得：bn1 %丄再应用q qa,nkan 1 b的方法解决.。6.数列am如亍1，求a*。解：在例5a1 6ana1 3 an (2)n1 两边乘以 2n132得：2n1?am f(2n?an)13令g 丫？，那么gi |bn 1,应用例7 3解法得：bn 3 2(|)n所以 a 2 3($ lg)n练一练a, 1,a 3an1 2，求a
7、； a, 1,a 3an, 2，求 a ；(2)形如 法求通项。aa 1ka 1 b的递推数列都可以用倒数例7：- a 1 - 彳 a ，a113 an 11解：取倒数:丄3丄anan 1an 1a是等差数列丄丄(n 1) 3 1 (n 1) 3an-an a13n 2练一练：数列满足a-=1, l an 1 J an J an an 1 , 求an ；数列通项公式课后练习1数列an中，满足a6, a.i+i=2(an+1) (n N )求数列an的通项公式。2数列an 中, an 0,且 a3,时=鸟 + 1(n N )3数列an中，ai=3, ani =+1 (n N )求数列an的通项公式4 数列 an 中，ai =1, a. i = 3an +2, 求数列an的通项公式5数列an 中，a.工0,ai = i，anian1 2an(n N )6设数列an满足ai=4, a2=2, a3=1 假设数列 ani an成等差数列，求an7设数列an中，ai=2，ani=2an+1 求通项公式an8数列an中，ai=i，2am= a+齐求