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1、?概率论与数理统计?第四单元自测题时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：(每空2分，共12分)得分1 设随机变量 X与Y,方差QX)=4 , D(Y)=9，相关系数xy=,那么D(3X-2 Y)=。2随机变量 Xno,2)(0) , Y在区间0,上服从均匀分布，如果QX-Y=2那么X与Y的相关系数XY=。3. 二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且 日X)=Y=0, D(X)=D(Y)=1 , X与Y的相关系数xy=-1/2，那么当a=时，随机变量 aX+Y与Y相互独立。1-X4设随机变量XN0, 4) , Y服从指数分布，其概率密度函数为f(x) 2e ，X 00, x 0,如果
2、 Cov(X, Y)=-1 , Z=X-aY CoVX, Z)=Cov(Y, Z)，贝U a=，此时 X与 Z 的相关系数为 xz=。-1, X 0,5.设随机变量 X在区间(-1,2)上服从均匀分布，随机变量Y 0, X 0,1, X 0,那么方差D(Y)=。6 .设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P X-24 。二、单项选择题：(每题2分，共12分)得分1. 随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y()。(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件；(B) 不相关的必要条件，但不是充分条件；(C) 独立的必要条件，但不是充分条件；
3、(D) 独立的充分必要条件。2. 假设随机变量 X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且 E(XY)=E(X)E(Y)，那么有()。(A) X 与Y 定相互独立;(B) X与Y 定不相关;3. 设随机变量 X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y V=X-Y,且协方差Cov存在，那么U和V必然()。(A)不相关；(B)相互独立；(C)不独立；(D)无法判断。4. 假设随机变量X与Y不相关，那么与之等价的条件是()。(A) D(XY)=D(X)D(Y) ; (B) D(X+Y)=D(X-Y) ; (C) D(XY) D(X)D(Y) ; (D) D(X+Y) D(X-Y)。5现有10张奖券，其
4、中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，那么此人所得奖金的数学期望为()。(A) 6 元；(B) 12 元；(C)元；(D) 9 元。6将长度为1的木棒随机地截成两段，那么两段长度的相关系数为()。11(A)1 ；(B)；(C)；(D)1。22三、判断题：(每题2分，共12分)得分1. () 设随机变量 X和Y相互独立，且有 D(X)=2 , D(Y)=3，那么有D(5X-2Y)=4。2. () 设随机变量 X, Y,且 E(X)=5, E(Y)=3, D(X)=2, D(Y)=3, E(XY)=0，那么方差D(2X-3Y)=35。3.() 设随机变量X和Y的联合分布律为可知
5、4.(此X与Y不相关。概 率 密f(x)1xx 0,e ,2那么X的数学期望为1 x e ,x 0,2E(X)1 xexdx20xe dx1521x 0,x 0,5.()设二维随机变量X与Y的联合概率密度为f(x,y)sin xsin y, 0 x, y2 其他，0,那么数学期望E(X)/20 xsinxsinydx sin y。6.()假设二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为x y, 0 xf(x,y)0,1,0其他,1,那么随机变量X与Y不是不相关，因而 X与Y不相互独立。四、计算题(共34分)1. (8分)设随机变量是相互独立且服从同一分布，的分布律为P=i=1/3 , i=1,2,
6、 3,又设 X=max( ,), Y=min(求(1)随机变量X的数学期望E(X) , (2) X与Y的相关系数XY。得分2.(10分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为2 x y, 0 x 1,0 f(x,y)0,其他,1,(1)判别X与Y是否相互独立是否相关(2)求D(X+Y)。得分3.(8分)设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为f(x, y)1,0,x, 0x2)为独立同分布，均服从N(0, 1)，记1 nX= 1 Xi，Y=X- X , i =1,2,n,n i 1(1)求Y的方差D(Yi) , i=1,2,n; 求丫1与Yn的协方差Cov(Y1, Yn);求 P Y+W 0
7、;1证明Y与Yn的相关系数为YY1。1 nn 1得分?概率论与数理统计?第四单元自测题参考答案一、填空题：1. ; 2. 1/4 ; 3. 2 ; 4. -1,76/4 ; 5. 8/9 ; 6. 1/8 。二、选择题：1. C; 2. B ; 3. A ; 4. B ; 5. C ; 6. D。三、判断题：1.错；2.错；3.错；4.错；5.错；6.对。四、计算题1.【答】E(X)=22/9 ,xy=8/19。【解】X与Y的联合分布律为：E(X2)=58/9相 关D(X+Y)=5/36。【解】fx(X)同理 fY(y)1f(x,y)dy (2 x y)dy03 x, 0 x 1,20, 其他
8、,f(x, y)dxy,0,0 y 1,其他，在 0x1,0 y1 内，f (x, y)f x ( x) fY(y)，所以X与Y不相互独立。E(X)5，12xf (x, y)dxdy x(3 x)dx 5，由 x 与 y 的对称性知 E(Y)= 0 2 12 12E(XY)11xyf (x, y)dxdy xdx y(2 x y)dy001/2 x x( )dx 0 3 32E(X )2x fx (x)dxx2(|0x)dx2E(Y )，D(X)=E(X 2)-(E(X)2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144Cov(X,Y)Rky, D(X)
9、 : D(X)1丄 0 ,故X与Y相关。11D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36。3. 【答】E(X)=2/3 , E(Y)=0(由奇偶性及对称性),D(X)=1/18 , D(Y)=1/6 ,xy=0。方法同上例，略。4. 【答】E(Z)=1/n , D(Z)=1/n【解】随机变量 X, X2,X n的分布函数为FX(z)0,0,0,1 e那么 Fz(z)1 (1 Fx (z)nnz0,z 0,z 0,即Z服从参数为1/n的指数分布，故2E(Z)=1/n , D(Z)=1/n 。五、应用题1.【答】E(X)=1，D(X)=1。【解】设随机变量假设第i名学生拿到自己
10、的学生证假设第i名学生没拿到自己的学生证1, 2,|, n ，E(Xi)1, 2,HL n，又 X=X t + 卄 | +X n，注意 X1, X2,X n不相互独立,E(X)=E(X i+|+Xn)二E(XJ+ E(Xn)=1，又 P XjXj1 P Xi 1 P Xj 1 Xi 1X Xj01于是1n(n 1)1n(n 1)E(XiXj)1n(n 1)Cov(Xi,Xj) E(XiXj) E(Xi)E(X j) -, (i j)n (n 1)D(X)=D(X 1+ 川+X J二D(XJ+ |+D(X J 2 Cov(Xi,X j)1 i j n,11 2 1 n(2)2Cn 飞1。n nn
11、 (n 1)2. 【答】约23单位商品。【解】(1)由题设，X勺概率密度为f(x)1,10 x 30,200, 其他，设进货量为a,那么利润为Ma g(X)500X (a X) 100, 10 X a,500a (X a) 300, a X 30,600X 100a, 10 X a,300X 200a, a X 30,30 1E(Ma)严計120a(600x 100a)dx1030(300x 200a)dx)a2=-7.5 a+350a+5250.求最优进货量，即求使 E(M0到达最大值的a, E(M0= ( a-(350/15) 2+，从而a=350/15=，即进23单位该种商品为最正确。六
12、、综合题n 11【答】(1)； (2)；1/2。nn【解】(1)由题设，X1, X2,X n相互独立，所以Y =Xi XXi 1(1 Xi) Xi 1nn nXn , I =1,2, nn,D(Yi)=D(X i-X)=D(1- 1)Xi-1 nn1Xj)=(1-)2D(Xi)n j=1nj inD(Xj)j=1j i=(1)2 A(nn n1)口 , i =1, 2,n(2)利用协方差的性质E(Y1+Yn)= E(Y 1)+E(Yn)=0 ,Cov(Y 1, Y n) Cov(X1-1X2- -1Xn, -1X1-1X2- -Xn)n nn n nn1- n12 D(X1) 2 nn(D(X2)III1- nD(X n 1)2 D(Xn)n1- n n 21- n12 22。nnnnn 2 Y1+Yn X1-X+X n-XX1n 12 Xni2XXn。nn i 2n因为X1, X2,X n相互独立，因为X1, X 2,X n相互独立，因此Y1+Yn服从正态分布，又所以 PY1+Yn 0=1/2。 由(1), (2)结论知，丫1与W的相关系数为Y1YnCov(Y,Yn)冋“(Yn)1n