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1、正余弦定理与三角形形状的判断、掌握根本原理常用的定理或公式主要有以下几个:(1 )在厶 ABC中, A + B + C = n，sin A B sinC， cos A BcosC，A Bcsin (A+B/2)=cos (C/2)，tan_ cot上.2 2(2 )正余弦定理及其变式：女口 a = 2 R sin A , b2 + c2- a2 =2b c cos A，这里，R为三角形外接圆的半径.(限于篇幅，定理原文及其它相关变式请读者自己回忆并写出)(3)射影定理：a = b cos C+ c cos B.(用余弦疋理很容易证得，请读者作为练习自仃证之)、弄清题目类型1. 目标明确型例1
2、在厶ABC中, a2+b2=c2+ab，且sin Asin B=-，求证： ABC为等边三角形4分析：由a2+b2=c2+ab,知，用余弦定理可求出C角，证明：由余弦定理，得c2=a2+b2- 2abcosC2 . 2 2 ./ a+b =c +ab,二 ab-2abcosC=0.1 o cosC= , C=6023 1/ sinAsinB= , cos (A+B) =cos (180 C) =cos120 =-4 2cos (A+B) =cosAcosB sin Asin B,1 cosAcos B=.4/ cos (A B) =cosAcosB+sin Asin B=1.-nV A Bs
3、sin -A-Btan:2 2,A+BAE2 sinc os2 2所以tanA-ET= 0cotA + B因此 ABC是以/ C为顶角的等腰三角形或以/C为直角的直角三角形.(2)由 cos(A - B) -cosfA + E) = (1 + cosQ 15cqs(A = L 所以 ZA= ZB；又tanA + tauB 75tanA * tanB -1)tanA + tanB1 - tanAtanB所以tanC三羽Zc = -3=ZA=ZB = ,因此 ABC为正三角形.评注：这类题目，只要求判断三角形形状，并没有清晰的线索，往往需要我们根据 条件去分析和探索， 但一般说来，主要应用本文开头
4、提到的相关知识就能够解决.值得一提的是，此题就解题思想而言与例1颇有异曲同工之处.三、搞清一般规律在厶ABC中，假设tan Atan B2葺，试判断厶ABC的形状.b解法一：由正弦定理，得2sin AcosB sin A 山 cosB sin A 即：sinBcosA sin A cosA sinBsin2A sin2Bsin AcosBsin BcosAin2 A 日 cosB2 即：in A cosA2 sin2 sinA即即AcosBcosAsin Asin Bsin2A sin2Bsin Asin Bsin2A sin2B 2A = 2B 或 2A = 1802B即 A= B 或 A
5、+ B = 90 ABC为等腰或直角三角形.a2 a2 cb2解法二:由题设，有sin AcosB2 a2R2ac2 acos As in Bb2b22 c2 abb22bc2Rsin AcosB cosAsin B2 aa2 a2 cb22 a2R2acb2b22 c2 abb22bc2R化简：b2(a2 + c 2b2) = a 2(b2 + c 2a2)2 2 2 2 2(a b )(a + b c )=0 a = b 或 a 2 + b 2 = c 2 ABC为等腰或直角三角形.评注：与三角形形状相关的综合题往往所给条件中富含三角形的边角关系，此题的两种解法，实际上提供了两种技巧： 解
6、法一是把“边角关系转化成了三角形三内角之间的关系， 解法二那么是把“边角关系转化成了三角形三边之间的关系，充分表达了转化思想，四、莫忘相关技巧abc例4在厶ABC中，假设有Acos2B cos 2c，试判断厶ABC的形状cos-2解：设 a=k sinA,b=ksinB,c=ksinCksin Aksin Bk sin CABccos cos cos-222AB.Csin sinsin222AAA /AltCCBB而00,222222222 222ABC从而，ABC是正三角形222评注：见比设k，是常用技巧其实，正弦定理中的2R非常类似于这里的 k.2 A例5在厶ABC中，sin B- sin
7、 C= cos2，试判断此三角形的类型 .22 A解：T sin B - sin C= cos,21 cos A sin B - sin C= 2sin B- sin C= 1 + cos 180 ( B+ C)将 cos (B+ C)= cos BcosC sin Bsin C代入上式得cosBcosC+ sin Bsin C= 1,cos ( B C)= 1又 0 v B, C n ,. n v B C nB C= 0 B= C故此三角形是等腰三角形.评注：学习正、余弦定理，不要忘记前面学过的相关知识，如此题中，利用“降幕扩 角公式把半角化成“单角的过程起到了关键作用.五、不要轻易下结论例 6 在 _1匚 中， -I :- 1- - ： i-i试判断 ABC的形状.证明：T ：I； F 一 I I - I -:.一山二丨_!-,即：I .一直角三角形且=又一：:-,:|2B=AS，:. C = A5.二 Bn且Z =综上， ABC为等腰直角三角形.定要进评注：许多结论中有时不见得只有一层答案，所以在得出初步结论来之后,步思考一番，看条件是否全部用到了，看结论是否想全了. 如此题中常常有许多同学在得出“ -.l-J r直角三角形且 匸=1 之后便不再往下写，从而造成失误除此而外，还 要注意“等腰直角三角形与“等腰三角形或直角三角形的区别。