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1、讲授3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式几何解释：例15证明：当x 0时，方法III可证COSX _ 1，( X 0，只有X二2n二时，等号成立)推广在此式两端同时取0, X上的积分，得Cauchy不等2式的积分形再次取0, X上的积分，得 1 - COSX ：:-2X 0式称为3Schwarz 不X第三次取0, x上的积分，得x -sin x ： 6X A0等式3第二项积分所以x : sin xx 0值大于零.2 X4上式再在0, x上的积分，得1 - COSX224COSX : 124X X22435X 0.再在0, X上的积分，得 si门乂：乂-+-6 120例16设f (x)是a,
2、b上连续的凸函数.试证:一X1,X2a,b,人：X2，有证 令 t =X1 (X2 - xj, (0,1)，贝U同理，令 t =X2 - ；(X2 -xj, - (0,1)，贝U从而注意到X(X2-X1)与 X2 - (X2 - X1)关于中点X2 对称，f (X)又2为凸函数，所以另一方面，由(1)式及f(x)的凸性例17设函数g(x)在a,b上递增.试证：(a,b)X 函数f (x) g(t)dt为凸函数.c证 7 g(x)在a,b上递增，-xX2,X3 (a,b), x1 : x2 : x3 所以，f(x)为凸函数.例 18 设 f (x) , p(x)在a,b上连续，p(x)_O, p
3、(x)dx 0 且mf(x)M ,:(x)在m, M 上有定义，并且有二阶导数，(x)0.试证:证I (利用积分和)将区间a,b n等分，记:(x) 0，:(x)为凸函数.由詹禁定理，取.Pii _ 、 Pjj 4n(j =121山 n)，“1上b aPi fi nn丿令 n t ，得证II(利用Taylor公式)记x0bJ p(x)f(x)dx-a_b即p(x)dx-an丁b aPinv Pi(fi)b ai 4nnzi Ab -a Pi nZF(八2注意 ()0，.、(y) -(X。)：(x)(y-X。).在上式中，令y = f (x)，然后两边乘以bP(x)，得L P(x)dxa在a,b
4、上取积分bba p(x)f(x) dx . .，a P(x) f (x)-x。dxbp(x)dx a-b(X。厂：(X。)aa P(x)dxa其中 4.5不等式、Cauchy不等式及Schwarz不等式1. Cauchy不等式设abi (i=12|(,n)为任意实数，那么2nnnIZ abi丨兰送a2送b2.( Cauchy不等式)(i二丿 i4i 4其中等号当且仅当ai与b成比例时成立.证1 (判别式法)上式是关于x的二次三项式，保持非负，故判别式证II (配方法)因此，Cauchy不等式成立.等号成立当且仅当aibj=ajb , (i=1,2,|l,n).证III (利用二次型)即关于x,
5、y的二次型，非负定，因此nnf n、2即E a2 E bi2 王臣 aib .i 吕7J2. Schwarz不等式设f(x),g(x)在a,b上可积，那么假设f(x),g(x)在a,b上连续，其中等号当且仅当存在常数 :,:，使得f(x)三l-： g(x)时成立.C-，:不同时为零)3. Schwarz不等式的应用b例 1 f(x) _0，在a,b上连续，f(x)dx =1.* ak为任意实数.求证：证第一项应用Schwarz不等式：同理bb2i. I f (x)sin kxdx I f (x)sin kxdx aab2b2(1) + (2):( J f (x)cos kxdx ) +( J
6、f (x)sin kxdx )兰1.aa例2 设f(x)在a,b上有连续的导数，f(a)=O.试证:、x证令 g(x)= J f (t) dt, aExba贝 U g(x) = |f (x),a xb.由 f (a) = 0,知bb因此, f f (x) f (x) dx 兰 f g(x)g(x)dx例3设f (x)在a,b(b . a)上有连续的n阶导数f (n)(x),且 f (k)(a0,(k =0,12山,n -1) 求证：其中0三k : m三n.证先证明n =1的情况.此时m =1,k =0设(x)在a,b上有连续的导数，：(a) =0.下证(如弘茴1b 至(b-a)(x)dx).x令 (x)二 (t)dt, X a,b -a由Schwarz不等式：两端同时积分1 112b22MbnL f(x) g(x)dxrd 、3 既然 仏 单调有界，存在极限.二、平均值不等式根本形式：对任意n个实数a0, (i =1,2,川，n )，恒有(即几何平均值一算术平均值)其中等号成立当且仅当例5设正值函数f(x)在0,1上连续.试证：证 由条件知f(x), l n f(x)在0,1上可积，将0,1 n等分,作积分和