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1、二重积分计算中积分限的确定.本文旨在介摘要：二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点 绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法关键词:二重积分累次积分 积分限积分次序引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次 积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。1. 高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中，在直角坐标系下计算二重积分的步骤为(1) 画出积分区域(2) 确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是 Y-型区域
2、,则要将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域.(3) 用公式化二重积分为累次积分(4) 计算累次积分的值.在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好，尤其是在第二步中，确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得2. 教学过程中总结的方法本人的心得可用下面的口诀概括：后积先定限，限内画条线，先交下限取，后交上限见下面简单解释一下该口诀，然后以具体的例题加以说明在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个 积分变量必然会有个先后顺序，这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上 下限(所谓确定是指
3、根据积分区域图将其上下限定为常数)确定了这个变量的上下限以后，我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线，该直线沿着坐标轴的正方向画过来，这样该直线如果和积分区域总是有两个交点，先交的即为另一个积分变量的积分下限，后交的即为其积分上限3. 例题解析例1计算xydxdy，其中D是由直线x 2, y 1, y x所围成的区域.D解:作出积分区域 D的图形x=2在这个例题中我们既可以选择先对x积分也可以选择先对 y积分若我们选择先对x积分，那么根据口诀需要先把 后积分的变量y的积分限根据积分区域 先定下来.从积分区域图可以看出y最小取到1最大取到2 然后我们在y的限y 1和y 2内画一条和这两条直线平
4、行的直线，易见这条线只要画在y 1和y 2内，则其左边总是和直线 x y相交,从而x的积分下限即为 y,而右边总是和直线 x 2相交,从而x的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化xydxdyD2 21 ydy yxdx2肆21 21y若我们选择先对 y积分也是可以的。先把后积分的变量x的积分限根据积分区域确定F来。从积分区域图易见x最小取到1最大取到2。然后在x2内画一条和这两条直线平行的直线,只要这条线画在x 1和x2内，则其下边总是和y 1相交，而上面总是y x相交。从而y这个积分变量的下限为1上限为x。于是该二重积分也可转化为下面的二次积分来计算:xydxdyD2x1 xd
5、x 1 ydy12(x2 21182 例2计算xydxdy，其中D是由抛物线yDx和直线y x 2所围成的区域。解首先作出积分区域图在本题中若我们选择先对 x积分，则根据积分区域图和上面介绍的口诀可以知道该 二重积分化为二次积分为：xydxdyD2 y 21 ydy y2 xdx2在本题中若我们选择先对 由图可见x最小取到0 平行的直线的时候发现在y积分，则根据积分区域图我们先把 x的上下限定下来，最大取到4。但在x 0和x 4这两条直线之间画和他们x 1这条直线的左右两侧情况有所不同：在x 1的左侧所画直线上下均与抛物线2yx相交，而右侧所画直线下面是与直线 y x 2相交上面是与抛物线相交
6、。 线x 1处分割成两半来处理:从而本题若选择先对 y后对x积分则需要将积分区域从直1、文xydxdy o xdx - ydyD4-vx1 xdx x 2 ydy显然这样计算起来要比上一种方法复杂的多！故当积分区域属这种情况时一般来讲我们会选择先对x后对y积分。还有的情况恰与这种情况相反， 那么我们为了简便在本题中若我们仍然选择先对 X积分，则根据积分区域图易知： 积分变量y的最小取 到0最大取到4。但是在y 0禾口 y = 4这两条直线之间画平行于它们的直线的时候会发现在直线y 1的上下两侧所画直线与区域图的交点所在的曲线有所不同： 在直 线y 1的下侧，所画直线左右两端均与抛物线相交。在直
7、线 y 1的上侧，所画直 线左端与直线相交右端与抛物线相交。于是二重积分转化为累次积分进行计算时要将积分区域沿直线 y 1分割成两块来处理：xydxdyD1ydyyxdxy4,qTy18欢迎下载#F面我们选择先对y积分看是否可以起到简化计算的效果:从积分区域图可以看到积分变量x最小取到-1最大取到2,在直线x间画平行于它们的直线时易见该直线上端总是与直线y x 2相交下端总是与抛物线y x2相交，从而二重积分化为累次积分如下:xydxdyD2x 212321xdx x2 ydy 2 1(x 4x54x x )dx1144 3x x2 432x2以上两个例题是根据积分区域选择积分次序以简化计算，
8、积分次序的选择有时还要 根据被积函数来选择，比如下面这个例题：2例4 :计算 x2e y dxdy，其中D是由直线x 0, y 1及y x所围成的区域。D解先画出积分区域图/y=1/z/y=xr若我们选择先对X积分，根据积分区域图，积分变量y最小取到0最大取到1，在直线y 0和 y 1之间画平行于他们的直线，该直线左端总是与直线x 0相交右端总是与直线xy相交，从而二重积分化为累次积分为:2y dxdy2 y cydyx dx13 y2 .0y e dy3e欢迎下载5x2edxdy本题中若我们选择先对 y积分，则有:2由于e y的原函数不能用初等函数表出，因此我们无法求出二重积分的值！综上所述
9、，对于初学者在将二重积分转化为累次积分时，应该依积分区域和被积 函数的具体情况选择积分的先后顺序，方能达到简化计算的目的。参考文献：【1】杜先能 孙国正。高等数学M。安徽大学出版社，2004【2】华东师范大学数学系。数学分析M。高等教育出版社，2004D121 y20xdxxe dyThe integral limits ascertaining in double integrals calculation(zhaojua n che nhao)(Departme nt of Mathematics,Suzhou College,Suzhou,A nhi Abstract:That dual
10、 accumulate points calculates ascerta ining that mi restricted to is that a priority also is a difficult point to the beginner. T article aim at ascertaining the method simple and easy to do that ac to in in troduc ing that one kind of dual accumulate points secretly sch Key words:Double Integral;Repteat Integral ;Integral Limit;Integrate S