《第五章线性系统能观和能控性分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章线性系统能观和能控性分析.ppt（107页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2021/9/29,1,Modern Control Theory,第五章 线性系统的能控性和能观性,教材： 王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011,2021/9/29,2,学习任务：了解系统的能控性和能观性的定义、结构特性，及其相关判据、实现。,2021/9/29,3,本章内容提纲,5.1 能控性和能观性问题 5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性 5.4 状态空间模型的对角线标准型 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理 5.8 线性系统的规范分解,学习核心 能控性和能观性 （概念、判据、实现）,2021/9/29,4
2、,能控性和能观测性基本概念是在20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。,状态空间模型建立了输入、输出以及状态之间的关系：,状态方程：描述了输入引起的状态变化 输入能够控制状态（控制问题） 输出方程：描述了状态变化引起的输出改变 状态能否由输出反映（观测和估计问题）,背景：,2021/9/29,5,控制系统 结构图,控制系统的两个重要问题： 1、控制问题：输入能否控制系统内部状态使其满足预期目标能控性？ 2、观测问题：能否通过输出观测系统内部状态的变化，以便对系统进行更好的控制能观测性？,2021/9/29,6,显然，u只能控制 而不能影响 ，我们称状态变量 是可控的，而 是不可
3、控的。 当系统所有状态可控，则称系统状态完全可控；如有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。,能控性：,指外输入u(t) 对系统状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，回答了u(t)能否使x(t)作任意转移的问题,2021/9/29,7,指由系统的输出y(t)识别状态变量x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。,能观测性：,能通过y(t)反映的状态为能观状态，不能通过y(t)反映的状态为不能观状态,可以称 是可观测的， 是不可观测的。,2021/9/29,8,5.2 线性定常系统的能控性,状态能控性严格定义(5.2.1) 状态能控性判别准则（5.2.25.2.3）
4、基于能控性判别矩阵的判据1 基于标准化模型的直接判据2 输出能控性及其判别准则(5.2.4),2021/9/29,9,一、（1）连续系统状态能控性定义,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在 的有限时间内使得系统的某一初始状态 转移到任一终端状态 ，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能控的。,2021/9/29,10,定义 在有限时间区间 内，若存在无约束的阶梯控制序列 ，能使系统从任意初态 转移到任意终态 ，则称该系统是状态完全能控的，简称是能控的。,（3）能控性和能达性 为便于数学处理。不失一般性：可以把终端状态规定为状态空间
5、中的原点 ，若系统在有限时间内从任一初始状态转移至零状态，则称系统是状态能控的； 反之，也可以把初始状态规定为状态空间中的原点，若系统从初始零状态在有限时间内转移至任意其他终端状态，则称系统是状态能达的。 对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。,（2）离散系统的能控性,2021/9/29,11,二、状态完全能控的判别准则,1、判据一（能控性判别矩阵）,满秩,证明：根据能控性的定义可知，,对系统的任意的初始状态 ，如果能找到输入u(t)，使之在 的有限时间内转移到零状态 ，则系统状态能控。,2021/9/29,12,凯莱哈密顿定理可知,由系统能控性定义：,先假设这样的u存在，,2021/9/
6、29,13,由此可知，要想系统完全能控，则上述方程组必须 有解，即系统的能控性判别矩阵满秩，定理5.1得证。,2021/9/29,14,例 判别如下系统的能控性,解：,1）构造能控性判别矩阵：,结论：能控性判别矩阵满秩，故系统状态完全可控,2）求能控性判别矩阵的秩,秩的计算,2021/9/29,15,例 判别如下多输入线性连续定常系统的能控性,解：,故系统状态不完全能控。,2021/9/29,16,分析如下系统：,例：判别如下系统的能控性,2021/9/29,17,例：系统的状态方程如下，试判定系统的状态能控性,离散线性定常系统的能控性,2021/9/29,18,所以能控性判别阵为：,(2)求
7、能控性判别阵的秩：,满秩，故系统是状态完全能控。,(3)结论,2021/9/29,19,例5.5 判别下列系统的能控性。,解:,所以系统完全能控。,2021/9/29,20,定理5.2 线性定常系统完全能控的充要条件是： （1）当A为对角标准型，且对角元素均不相同时，对应的B阵元素中没有全为零的行。,注意：使用时一定要注意前提条件，如何标准化？,系统完全能控的判据二基于标准型的判据,（2）当矩阵A为约当阵，且每一约当阵对应的特征根均不相同时，每个约当块最后一行所对应的B阵中的相应行中没有元素全为零的行。,任意的状态空间模型总可以通过线性变换的方法转换为 标准型： 对角标准型、约当标准型、能控标
8、准型、能观标准型,2021/9/29,21,设两系统的动态方程为：,若上述两个系统存在如下关系：,则称两个系统是代数等价的， 且线性非奇异变换 称为等价变换,非奇异线性变换,线性变换不会改变系统的固有性质,2021/9/29,22,定理：在任何非奇异线性变换下，线性定常（连续、离散）状态方程的能控性保持不变。,因为P是可逆即满秩的，所以,类似地，可以证明线性离散系统的情况。,2021/9/29,23,阵不包含元素全为零的行。,系统完全能控的判据二基于标准型的判据,2021/9/29,24,定理5.4 若线性定常系统具有重特征值，且每一个重特征值对应一个独立的特征向量，则系统状态完全能控的充分必
9、要条件是，其经过非奇异变换后的约当标准型,系统完全能控的判据二基于标准型的判据,2021/9/29,25,状态完全能控,系统完全能控的判据二基于标准型的判据,状态不完全能控,2）,2021/9/29,26,状态完全能控,3）,4）,状态完全能控,状态不完全能控,2021/9/29,27,线性系统的输出能控性,定义：如果存在无约束的控制向量u(t),在有限的时间间隔t0,tf内，使任一给定的初始输出y(t0)转移到任一最终输出y(tf)，则称线性定常系统为输出能控的。,分析P90 例5.6,2021/9/29,28,小节：线性定常系统的能控性,状态能控性严格定义 状态能控性判别准则（2种） 基于
10、能控性判别矩阵的判据1 基于标准化模型的直接判据2 （对角标准型和约当标准型） 输出能控性及其判别准则(5.2.4),课后练习5.1 （1）、（3）、（4）、（6）,2021/9/29,29,本章内容提纲,5.1 能控性和能观性问题 5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性 5.4 状态空间模型的对角线标准型 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理 5.8 线性系统的规范分解,核心内容： 能控性和能观性 学习方法和思路： 综合、分析、 类比、构造,2021/9/29,30,2021/9/29,31,如果对任意给定的输入u(t)，存在
11、一有限观测时间 使得根据 期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称状态 是能观测的。 如果系统的每一个状态都是能观测的，即能观测状态充满整个状态空间，则称系统是状态完全能观测的。,对于线性定常离散系统，如果根据输出信号的有限个采 样值y(k)，可以惟一的确定系统的任一初始状态x(0), 则称系 统是状态完全能观测的。,2021/9/29,32,4、能观测性归结为初始状态的确定，则任意状态可在初态和输入作用下由状态转移矩阵得到。,3、需要定义观测时间。目的是为了唯一地求出n个状态变量，多量测出几组输出。,1、能观测性是研究输出反映状态的能力，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统
12、的状态识别出来。,几点说明：,2、输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u恒等于0，即分析齐次状态方程和输出方程即可。,2021/9/29,33,二、线性定常系统能观测性判据,1、判据一（基于能观测性判别矩阵的判据）,定理5.5：对于线性定常系统连续和离散，状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵：,满秩,即：,2021/9/29,34,例1 判别如下SISO系统的能观测性,故系统不是状态 完全能观测的,2021/9/29,35,例2 判别如下MIMO系统的能观测性：,结论：系统是状态完全能观测的,满秩？,2021/9/29,36,2、判据2基于标准型的能观性判据,定理3.6 线
13、性定常系统完全能观测的充要条件是： （1）当A为对角标准型，且对角元素均不相同时，对应的C阵元素中没有全为零的列。 （2）当矩阵A为约当阵，且每一约当阵对应的特征根均不相同时，每个约当块第一列所对应的C阵中相应列中没有元素全为零的列。,注意：使用时一定要注意前提条件。若不满足前提条件，如何判断呢？,2021/9/29,37,1）,例：考察如下系统的能观测性：,状态不完全 能观测,状态完全能观测,2）,2021/9/29,38,状态不完全能观测,4）,3）,状态不完全能观测,2021/9/29,39,例,解:(1)计算能控性判别矩阵的秩,因为能观性判别矩阵满秩，由此可知系统完全能控,秩？,例：判
14、断下列系统的能控性和能观性,2021/9/29,40,因为能观性判别矩阵满秩，由此可知系统完全能观测,综上分析，可知系统状态即完全能控，亦完全观测,（2）计算能观测性判别矩阵的秩,2021/9/29,41,本章内容提纲,5.1 能控性和能观性问题 5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性 5.4 状态空间模型的对角线标准型 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理 5.8 线性系统的规范分解,2021/9/29,42,选取不同的状态变量，系统状态空间模型便具有不同的形式，某些特定的形式称为标准型。 状态空间模型的标准型，对于系统分析、
15、设计往往很方便: 对角线标准型便于状态转移矩阵的计算、 能控性与能观 性的分析； 能控标准型便于系统的状态反馈设计； 能观标准型便于系统状态观测器的设计以及系统辨识。 经线性变换可将一个状态空间模型化成能控标准型和能观标准型。在下面的讨论中，将单输入单输出连续和离散线性定常系统都记为 ，线性变换后的系统记为,5.5 状态空间模型的能控标准型与能观标准型,2021/9/29,43,定义：具有下列形式的状态方程称为第一能控标准型。,定理：具有第一能控标准型的状态方程是能控的。任一能控状态模型均可通过非奇异线性变换 ，变换为第一能控标准型，其中,5.5.1 第一能控标准型,特点？ 友元矩阵,2021
16、/9/29,44,例5.17 将状态方程变换为第一能控标准型。,解 首先检查系统的能控性。,系统能控,因为,第一能控标准型为,5.5.1 第一能控标准型,所以变换阵P为,2021/9/29,45,定义：具有下列形式的状态方程称为第二能控标准型：,5.5.2 第二能控标准型,其线性变换阵为,定理：具有第二能控标准型的状态方程是能控的。任一能控状态 方程均可经非奇异变换 为第二能控标准型，,2021/9/29,46,验证,例5.18 将下述系统变换为第二能控标准型。,5.5.2 第二能控标准型,变换阵：,2021/9/29,47,定义：具有下列形式的状态空间模型称为第一能观标准型,5.5.3 第一
17、能观标准型,定理：具有第一能观标准型的动态方程是能观的。任一能观动态方程均可以变换为第一能观标准型，其变换为,变换矩阵,与第一能控标准型的关系？,2021/9/29,48,例5.20 将动态方程变换为第一能观标准型。,解：1）判别系统能观性：,所以，系统能观，可以变换为能观标准型。,5.5.3 第一能观标准型,2021/9/29,49,2）求变换矩阵,观察系统特征方程为,则第一能观标准型为,有何关系呢？,2021/9/29,50,定义：具有下列形式的动态空间表达式称为第二能观标准型。,5.5.4 第二能观标准型,与第二能控性的关系？,定理：具有第二能观标准型的动态方程是能观的。任一能观动态方程
18、均可以变换为第二能观标准型，其变换为,2021/9/29,51,本章内容提纲,5.1 能控性和能观性问题 5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性 5.4 状态空间模型的对角线标准型 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理 5.8 线性系统的规范分解,2021/9/29,52,5.7 对偶性原理,对偶性原理由卡尔曼提出。其意义在于： 确定了线性系统能控性和能观性的内在对偶关系（无论是概念还是判据的形式）； 建立了系统控制问题和估计问题之间的关系桥梁。 从而使得系统的分析和设计更为灵活。,设有如下两个线性定常系统：,如果满足如下关系，
19、则称两系统是互为对偶系统的：,2021/9/29,53,1、对偶系统结构上的对偶关系：,输入输出互换； 信号传递方向相反； 信号引出点 和综合点互换； 对应矩阵转置,观察,2021/9/29,54,2、对偶系统的对偶性质：,1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。,2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。,2021/9/29,55,3、线性定常系统的对偶原理,设 和 是互为对偶的两个系统，则: 的能控性 的能观测性； 的能观测性 的能控性。,证明：,若 能控，则能控性矩阵 满秩。即：,欲证 的能观测性即要求满足,2021/9/29,56,所以 能观测。,说明：利用对偶原理，可以把对系统能
20、控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。,反之亦然。,证毕,重要结论：第一能控标准型和第一能观标准型、 第二能控标准型和第二能观标准型 各自互为对偶型,2021/9/29,57,本章内容提纲,5.1 能控性和能观性问题 5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性 5.4 状态空间模型的对角线标准型* 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理 5.8 线性系统的规范分解,2021/9/29,58,对于线性定常系统，给定传递函数阵G(s),若存在状态空间表达式,使下式成立：,则称 为传递函数阵G(s
21、)的一个实现,所谓系统的实现问题，即通过表征系统外部因果 关系的传递函数矩阵来确定表征系统内部特性的状 态空间描述。,问题1：同一系统的实现是否唯一？,问题2：如果实现不唯一，则如何区别优劣？,5.6 传递函数的几种标准型实现,实现问题：,2021/9/29,59,能控标准型 能观标准型 对角标准型 约当标准型,注：各种标准型之间可以通过线性变换相互转换，体现了状态空间模型的非唯一性；但变换过程中保持着系统的不变性（维数不变）,四种标准型实现,2021/9/29,60,设任意单变量系统的传递函数为,设G(s)为既约分式，由长除法得,1、能控标准型实现,2021/9/29,61,1、能控标准型实
22、现,2021/9/29,62,引进新的变量Z(s)，可用微分方程描述为,取状态变量为,1、能控标准型实现,2021/9/29,63,如果某系统具有（A1,b）相同形式，则为能控标准型实现,特点？,1、能控标准型实现,2021/9/29,64,例 求系统的能控标准型实现。,解,能控标准型实现为,2021/9/29,65,如果某系统具有(A2,c)相同形式，则为能观标准型实现,特点？,两种标准型的关系？,2、能观标准型实现,2021/9/29,66,例 已知系统的传递函数如下，试求其能观标准型：,2021/9/29,67,2021/9/29,68,推广到一般的传递函数：,此系统的能观标准型？,能控
23、标准型,2021/9/29,69,3、对角标准型,若有：,注： G(s)为严格有理真分式，i为系统的互异单极点，则不仅可以转换为能控标准型、能观标准型，而且可以转换为对角标准型,2021/9/29,70,系统单极点,留数,对角标准型,2021/9/29,71,对角标准型,系统单极点 互异特征根,2021/9/29,72,状 态 模 拟 结 构 图,1 并联分解 2 无耦合,特点？,2021/9/29,73,例 已知系统的传递函数如下，试求其对角标准型,根据,2021/9/29,74,可得对角标准型1：,该结果是否唯一？,2021/9/29,75,若有：,注： G(s)为严格有理真分式，如果系统
24、不仅存在互异单极点，还存在重极点时，则可以转换为约当标准型。,假设：系统存在 j重实极点 还有单极点 ,则传递函数可展开为以下部分分式之和 ：,4、约当标准型,2021/9/29,76,则系统具有如下的约当标准型1：,2021/9/29,77,根据,根据,2021/9/29,78,约当标准型2约当标准型1的对偶式,2021/9/29,79,特点？,串并联分解,2021/9/29,80,例：已知系统传递函数如下，求其约当标准型,2021/9/29,81,该状态空间模型的对偶式？,2021/9/29,82,例4 已知单输入-多输出系统的传递函数矩阵如下，求其传递函数矩阵的可控标准型实现及对角型实现
25、。,解: (1)分析系统特点(SIMO)，将 化为 严格有理真分式。,2021/9/29,83,（3）可控标准型动态方程为 ：,2021/9/29,84,（5）求取极点对应的留数,确定系数c1 c2,以及输出方程,输出方程为 ：,（4）求取系统极点，构成对角形状态方程,2021/9/29,85,（6）系统的对角标准型如下所示：,2021/9/29,86,本章内容提纲,5.1 能控性和能观性问题 5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性 5.4 状态空间模型的对角线标准型* 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理 5.8 线性系统的规
26、范分解,2021/9/29,87,系统结构分解的意义：,对于不能控或不能观系统来说，有效区分系统的能控、能观测以及不能控和不能观测部分，可以简化系统的分析和设计，也利于解决系统的实现问题。,系统结构分解的方法非奇异线性变换,2021/9/29,88,一、按照能控性分解,目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分，为实现做准备,(1)将状态空间描述变换为能控性结构分解标准型：,2021/9/29,89,则能控性结构分解标准型：,其中：,结论：能控性结构分解主要在于寻找非奇异变换阵TC,上三角阵,2021/9/29,90,其中 是k 维能控部分：,是n-k 维不能控部分：,零极点对消后简化,（2）系
27、统能控性矩阵的秩为能控子系统的秩,（3）系统的传递函数与能控子系统的相同,2021/9/29,91,u不能直接控制 ，且 也不能通过 间接受u的影响,能控性分解示意图：,2021/9/29,92,请判断其能控性，若状态不完全能控，请按能控性分解。,例：线性定常系统动态方程如下：,1）求能控性判别矩阵的秩,解：,系统状态不完全能控,2021/9/29,93,易得 ：,2）按能控性进行分解,先构造非奇异矩阵Tc,方法：取Qc中线性无关的前两列为Tc中的前两列， 并保证其逆Tc-1存在，构造变换阵如下：,2021/9/29,94,（3）能控性结构分解标准型为：,2021/9/29,95,二、按照能观
28、测性分解,目的：将系统显性地分解为能观测和不能观测两部分。 也是观测器设计基础。,（1）使状态空间描述变换为 能观性结构分解标准型：,则存在非奇异变换：,2021/9/29,96,写成方程为：,2021/9/29,97,其中 是k 维能观部分,是n-k 维不能观部分,（2）系统能观测性矩阵的秩为能观测子系统的秩,零极点对消后简化,（3）系统的传递函数与能观子系统的相同,2021/9/29,98,对y没有直接影响，而 中又不含 的信息。,能观测性分解示意图：,能观测部分,不能观测部分,2021/9/29,99,判断其能观测性，如果状态不完全能观，请按能观测性进行分解。,例：线性定常系统动态方程如
29、下,1）求能观测性判别矩阵的秩,解：,系统状态不完全能观测。,2021/9/29,100,方法：取Qo中线性无关的前两行为To逆中的前两行，基于保证其逆T存在的原则，补充第三行，构造变换阵：,由此可以求出To ：,2）构造非奇异变换矩阵To,2021/9/29,101,可得能观测性结构分解标准型系统为：,2021/9/29,102,三、系统的标准分解（按照能控和能观测性分解）,目的：将系统显性地分解为能控能观测、能控不能观测、不能控能观测、不能控不能观测四部分。,将状态空间描述变换为：,定理3：如果线性定常系统： 状态不完全能控和 不完全能观测，则存在非奇异变换：,能控子空间,能观测子空间,2021/9/29,103,其中：,2021/9/29,104,能控能观测性分解示意图：,2021/9/29,105,非奇异变换阵的构造：逐步分解法,原系统,2021/9/29,106,其中，各变换阵如下：,例3.24,2021/9/29,107,本章内容提纲,5.1 能控性和能观性问题 5.2 线性定常系统的能控性 5.3 线性定常系统的能观性 5.4 状态空间模型的对角线标准型* 5.5 能控标准型与能观标准型 5.6 传递函数的几种标准型实现 5.7 对偶原理 5.8 线性系统的规范分解,