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1、有限元方法简介,刘亚欣 18615169870,规格严格、功夫到家,The Finite Element Method (FEM),1,绪论,第一部分,理论力学 研究物体机械运动一般规律的科学 对象: 刚体和刚体系 特征: 无变形、复杂形状的物体,材料力学 研究构件的承载能力 对象: 简单的变形体(杆、梁) 特征: 小变形、简单形状的物体,1. 绪论,桁架结构,弹性力学 研究弹性物体受力后的变形、各点位 移，内部 的应变与应力 对象: 任意变形体 特征: 小变形、任意形状的物体,1. 绪论,有限元法 求解偏微分方程初边值问题的有效的数值方法，广泛应用于结构工程分析、传热分析、电磁场、渗流及流体
2、力学、流变学等可以用偏微分方程描述的领域，是工程领域中应用最广泛的一种数值方法。,预修课程 高等数学；材料力学；线性代数；弹性力学,薄板弯曲的弹性曲面方程:,1. 绪论,课程目标,(1) 理解什么是有限元法及其基本思想,(2) 学习有限元法的基本原理,主要以直接法学习有限元法的基本技术路线、理论推导。认识不同类型单元的行为和应用范围.,1. 绪论,有限单元法（或有限元分析）是以剖分插值和能量原理为基础、以计算机为工具的结构分析数值方法。 其基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可
3、以获得整个结构的变形和应力。,1. 绪论,有限元法基本思想用一个比较简单的物理模型，即将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体，去代替原有的复杂问题，从而进行求解.,椭圆封头几何模型,椭圆封头有限元模型,1. 绪论,技术路线 将连续域划分为有限个离散的小部分“单元”，单元与单元之间在共同“结点”处联接起来；在每个单元内函数用已知的简单函数近似，所有量转化为用结点变量来表示，再找到所有这些结点变量应满足的有限维的代数方程组（一般是结点的某种平衡方程），设法求解这个代数方程组，得有限个结点变量，就得到了数值解或近似解。,氧化反应器在自重作用下的整体应力强度云图,氧
4、化反应器裙座底部在自重作用下的应力强度云图,15,16,钢结构接头的应力分析,18,工程实例,(a) 铲运机举升工况测试,(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析,图1-3 WJD-1.5型电动铲运机,1. 绪论,19,(a) KOMATSU液压挖掘机 (b) 某液压挖掘机动臂限元分析 图1-4 液压挖掘机,1. 绪论,20,图1-5 驾驶室受侧向力应力云图 图1-6 接触问题结构件应力云图,1. 绪论,21,图1-7 液压管路速度场分布云图 图1-8 磨片热应力云图,图1-9 支架自由振动云图,1. 绪论,1956年，Turner 与 Clough 在分析飞机结构中用三角形单元解决了弹性力学
5、平面问题；,有限元的发生与发展,1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语；,从1943年Courant 对扭转的研究开始，50年代是理论的萌芽阶段；,6070年代完善理论框架，70年代，技术框架形成软件推向市场。,尽可能的实践。,课程的学习方法:,学习有限元法的基本理论。理解思路,1. 绪论,有限元方法（优点）,有限元可以运用于任何场问题： 没有几何形状的限制 边界条件和载荷没有限制 材料性质并不限于各向同性 具有不同行为和不同数学描述的分量可以结
6、合。 有限元结构和被分析的物体或区域很类似 通过网格细分可以很容易地改善解的逼近度。,1. 绪论,有限元方法（应用领域）,机械/航空航天/土木工程/自动化工程 结构分析（静力/动力分析，线形/非线性分析） 热分析/流体力学分析 电磁场分析 地质力学分析 生物医学分析,1. 绪论,有限元方法（计算机程序）,专业化小程序有 Truss Frame Plane Stress Heat Transfer 大型通用商业化程序 ANSYS ADINA ABAQUS PANTRAN SAP,1. 绪论,有限元方法（分析步骤）,第一步：问题及求解域定义 第二步：求解域离散化 第三步：确定状态变量及控制方法 第
7、四步：单元推导 第五步：总装求解。 第六步：联立方程组求解和结果解释 简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果,1. 绪论,举例：杆系结构有限元分析的完整过程,4.1有限元分析的完整过程,E1=E2=2E7Pa,A1=A2=2cm2,l1=l2=10cm,P3为10N作用下二杆结构的变形。,1）离散化 该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。 单元1; 节点位移 u1，u2； 节点力 P1，P2 （U1，U2）。,4.1有限元分析的完整过程,2）单元分析（直接法分
8、析） 状态一：节点2固定 单元节点条件：u(1)=u1， u(2)=0 单元内应力：,材料力学：拉应力为正，压为负；,4.1有限元分析的完整过程,31,2）单元分析（直接法分析） 状态一：节点2固定 单元节点条件：u(1)=u1， u(2)=0 单元左端点力： 由杆单元静力平衡条件;,4.1有限元分析的完整过程,有限元：x正方向的节点力为正,32,2）单元分析（直接法分析） 状态二：节点1固定 单元节点条件：u(1)=0， u(2)=u2 单元左端点力： 由杆单元静力平衡条件;,4.1有限元分析的完整过程,33,把上述两种状态相加：,上脚标表示单元；下脚标表示节点,单元1刚度矩阵,4.1有限元
9、分析的完整过程,4.1有限元分析的完整过程,同理可得单元2：,4.1有限元分析的完整过程,综合2单元，考虑约束：,节点1：,节点2：,节点3：,4.1有限元分析的完整过程,写成矩阵,整体刚度矩阵：,4.1有限元分析的完整过程,对称，不是偶然，满足功的互等定理。 行列式=0，奇异，物理意义无约束有位移,=0,5）建立刚度方程 简化为二阶,引入约束过程,4.1有限元分析的完整过程,39,6）求解节点位移 将结构参数和外载荷代入上式有 求解得（单位m）,4.1有限元分析的完整过程,40,9）计算支反力 具体地对于单元1，有 其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单元2对该 节点的
10、作用力，将前面求得的节点位移代入上式可得支反力大小。,4.1有限元分析的完整过程,41,以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于 复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具 备标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而 自动实现。,4.1有限元分析的完整过程,讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚度矩阵按照节 点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边界条件之前，先形成整 体刚度矩阵。 其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述的总体平衡 关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就可以求解，这样与先 处理边界条件再求系统势能的最小值所获得的方程完全相同。,4
11、.1有限元分析的完整过程,43,有限元分析的基本步骤及表达式,1、物体几何区域的离散化 2、单元的研究（所有力学信息都用节点位移）来表达 3、装配集成 4、边界条件的处理并求解节点位移 5、支反力的求取以及其它力学量（应力、应变及位移三大物理量）的计算,44,45,第一章 概述,46,有限单元法基本步骤,(1) 待求解域离散化 (2) 单元分析，插值位移函数 (3) 形成单元性质的矩阵方程 (4) 形成整体系统的矩阵方程 (5) 约束处理，求解系统方程 (6) 其它参数计算,第一章 概述,47,三大类型(按其推导方法分): (1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。 (2) 变分法 直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。 (3) 加权余量法 直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。,参考教材： 1:王守信，有限元法教程，哈尔滨工业大学出版社。 2: 冷纪桐,有限元技术基础, 化学工业 出版社. 3: 王勖成 邵敏,有限单元法基本原理和数值方 法, 清华大学出版社. 4: 朱伯芳,有限单元法原理与应用, 中国水利水电出版社.,1. 绪论,有限元分析的基本步骤及表达式,