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1、数量关系 ,第八章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,1,基础教学,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,向量及其线性运算,第八章,2,基础教学,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,3,基础教学,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负
2、向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,4,基础教学,规定: 零向量与任何向量平行 ;,平行向量：,向量共线：,当两个平行向量的起点放在同一,点时，它们的终点和公共起点应在一条直,线上 .因此，两向量平行又称两向量共线.,5,基础教学,二、向量的线性运算,1. 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,6,基础教学,7,基础教学,2. 向量的减法,三角不等式,一般地，任给向量 及点,8,基础教学,3、向量与数的乘法,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,9,基础教学,例1. 设 M 为,解:,1
3、0,基础教学,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,两个向量的平行关系,11,基础教学,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,12,基础教学,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,13,基础教学,2. 向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,沿三个坐标轴方向的分向量.,14,基础教学,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的
4、点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,15,基础教学,坐标轴 :,坐标面 :,16,基础教学,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,17,基础教学,例2.已知两点,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,18,基础教学,说明: 由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,19,基础教学,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,20,基础教学,例3.在
5、 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,离的点 .,21,基础教学,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,例4. 已知两点,和,解:,求,22,基础教学,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,23,基础教学,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴,方向角的余弦称为其方向余弦.,特殊地，
6、当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,的夹角 , , 为其方向角.,24,基础教学,方向余弦的性质:,25,基础教学,例6. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,26,基础教学,例7. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,27,基础教学,解,28,基础教学,29,基础教学,3. 向量在轴上的投影,空间一点在 轴上的投影,30,基础教学,空间向量在 轴上的投影,称为向量在 轴,上的分向量.,设,数 称为向量在 轴上的投
7、影，记作,或,31,基础教学,设,则,或记作,向量投影的性质,性质1,其中 为向量 与 轴的夹角,性质2,性质3,32,基础教学,例8 一向量的终点在点 ，它在 轴、,轴、 轴上的投影依次为 .求这向量的,起点 的坐标.,解 设 的坐标为,由已知可得,所以,即,解,例9 已知 ，它与 的夹角为 ，求 .,33,基础教学,解,34,基础教学,向量的概念,向量的加减法,向量与数的乘法,（注意与标量的区别）,（平行四边形法则）,（注意数乘后的方向）,四、小结,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,（注意分向量与向量的坐标的区别）,向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.,向量在轴上的投影与投影定理.,35,基础教学,思考题 1,已知平行四边形ABCD的对角线,试用 表示平行四边形四边上对应的向量.,解答,36,基础教学,思考题 2,解答,对角线的长为,37,基础教学,练 习 题 1,38,基础教学,39,基础教学,练习题1答案,40,基础教学,练 习 题2,41,基础教学,42,基础教学,练习题2答案,43,基础教学,