《数理方程与特殊函数(钟尔杰)8非齐次边界条件定界问题的解.ppt.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理方程与特殊函数(钟尔杰)8非齐次边界条件定界问题的解.ppt.doc（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数学物理方程第三章69非齐次方程齐次化例子乡非齐次边界条件处理9边界条件齐次化例子utt =a2uxx + Acos一sincuty (0x0) L Ux x=0 =x=L = Ut=0 = 0，均|/=0 = 0将问题分解，使Mg为v+ WW =CcossindXC = A/()2 a)2LLVtt =a2uxx9(0 x 0)问题I * 匕 x=0 =0，Vx=Z =0V t=o = o,vjr=o = -WJx,0)2/13V.有值问题(Xf； + AXn =0, 0x0 9 X(x) = Acos+ BsinXf(x) = V2-AsinV2x + Bcos Vxc c 人彳 fl 兀
2、、2AZn7lX =0, ?!工 0, An = ( l) X“ = cos l 一吕nmt 小 nmtmrxy = 2JC cos + Dn smcos n=o乙LLT7nm r 厂 nmt 厂 nmt htix匕=-C sm+ DtJ cosJ cosf SL 11 LL3/13问题i的初始条件vL=o=L=-wcn = 0 Vcos = -Cqcos h L n LL9 竺D =-Cfi?Dt = LCol mL 1 r mt 7vc Lo . mt 7ixV = D1 smcos=Csmcos L L 7m L LU=V+W = C-sin+ sincos m LL4/13C = A/
3、(-)2 - a)2思考题r ut =a2uxx + Asinm，（0 x 0）. Ux x=0 =x=L =U a = 0r utt =a2uxx （0 x 0）2. ux=0=ux=L=sinajt、w|z=o =0,Utt =o引例utt -a2uxx = 0, (0 x 0)u a = A.u r = Bx=0x-Lut=0)vx=0 =U 心0 =0（兀）一W，x=L=0t f=0TBLA B-A A +xL7/13非齐次边界 条件问题：“utt =a2uxx + /(兀，f )，(0 x 0)u t=0=(p(x),ut ,=0=肖(巧边界条件的齐次化方法构造特殊函数W(x/)使w
4、(o,o=A(oW(L, I)*)则：V(x, t)= u(x, t) - W(x, t)满足齐次边界8/13由：u(x, t) = V(x, t) + W(x, 0,求导数得Utt= Vtt+ Wtt，Uxx = Hr 代入方程 得，VttWtt = a2Vxxf(xft) 即，Vtt = a2Vxx+lf(xft)-Wtt vtt =a2Vxx +/i(W),(O x0)* v|x=o =O,tt|x=L =0y z=o=卩1(兀),匕|/=0=Wid其中 fi(x, t) =/(x, t)- Wtt(xf t)(兀)=(px)-W(x,0) (x) =9/13例1(P73)utt=0,
5、u= 0. wr=o 9x=0ux=L=0解：先求常微分方程问题(a2Wff + A=QW解得w=(%勻一2a LVtt =x令=v+w 有n nat . n me cossmL Li = Bx=LA 2 x 2a2nwcdxLLCn =I W(x)sinJox=L=0心-叫),讥V(x,t) = C=1=011/13例 2(R74)utt =a2uxx 0x0*o=川. 丄nmr =sinfiX, 3 丰7L12/13=o解：令 u(x t) = V(x t) + W(x t)设特解 W=X(x)sinai由边界条件得X(0)=0, X(L)=1代入方程得 a)2Xsinat =a2XHsi
6、n(at问题IX (0) = 0, X(L) = 113/13X = A cos x + B sin x aaX(0)=0, X(L)=1 A = 0,Bsin = 1W(x) = (sin匹尸sin竺sin奴14/13问题IIVtt = 2VXX 0x0 yL=o = ，匕 Lo = _0(sin 严尸 sin 晋Vg) = (C“cos71 = 1nmt1T厂.nmtx . H7ix+ Dtt sin)sm L L16/13#/13Cn = 0, (n = 1,2,)Dn =-Q(sin 亘)Tsiii 农nmaa L00V(x) = 2axi 巧7Z = 1(-1严(coL)2 -(nn)2.nmt . U7DCsinsinL L17/13#/13叫尸sin竺sin/原问题解:U(x, t) = V(x,0 + (sin#/13思考题2.3.有值问题的哪一类边界条件导致固有函数是余弦函数序列?1 非齐次方程齐次化的特解法中的特解是否一定是X 的线性函数？为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 X的线性函数？4.边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？习题36： 2, 3