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1、第2章推理与证明学习目标丨1. 了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理2 了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理 3 了解直接证明的两种根本方法： 分析法和综合法，并能利用分 析法和综合法证明简单的问题 4 了解反证法的思想，并能灵活应用.问题导学新知探究点点蒂实知识点一合情推理1 .归纳推理 定义：从个别事实中推演出 的结论的推理称为归纳推理. 归纳推理的思维过程大致是：工工.特点：由到整体、由到一般的推理.2 .类比推理(1) 定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程为： 特点：类
2、比推理是由 到的推理.3 .合情推理合情推理是根据 、，以及个人的和直觉等推测某些结果的推理过程. 和都是数学活动中常用的合情推理.知识点二演绎推理1演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理简言之，演绎推理是由到的推理.2 “三段论是演绎推理的一般模式(1) 大前提的 ;(2) 小前提一一所研究的 ;(3) 结论根据一般原理，对 做出的判断.知识点三直接证明1 .综合法(1)定义：从条件出发，以的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)推证过程：条件?结论(3)思维过程：由因导果.2 分析法(1)定义：从问题的结论出发， 追
3、溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法. 推证过程：I结论I ?|条件(3)思维过程：执果索因.知识点四间接证明用反证法来证明时，要从否认结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而到达新的否 定(即肯定原命题).题S!探究車点难点个个击硕类型一归纳思想ann例1 数列an满足ai= 1,=(n= 1,2 , 3，).an+1 n+ 1(1) 求a2, a3, a4, a5，并猜测通项公式 an；(2) 根据(1)中的猜测，有下面的数阵：S = a1,82+ a3,S3= a4+ a5 + a6,S4= a7+ a8 + a9+ a1o,S
4、5= an+ a12+ ai3 + a14+ a15.试求 S, S+ S, S + S + S，并猜测 S+ S3+ $+ San-1 的值.反思与感悟 归纳猜测是理性思维的重要表达，是获得发现的源泉.具有共同特征的归纳推理，首先要观察式子的共同结构特点，其次是式子中出现的数字、字母之间的关系，这样便于观察运算规律和结构上的共同点.跟踪训练1设an是集合2t + 2s|0 0, x + y= 1,求证：log 2xy + 1 log 2X log 2ylog 217 2.反思与感悟 证明问题时，往往利用分析法寻找解题思路，用综合法书写证明过程.亠 亠sin 2 a +Ssin 0跟踪训练4求
5、证： 一s-2cos( a + 0)=帀一;达标检测当堂检潮稳固反M1 有一个奇数列 135,7,9 ，现在进行如下分组：第一组含一个数 1;第二组含两个 数3,5;第三组含三个数7,9,11;第四组含四个数13,15,17,19;，那么每组内各数之 和f (n)( n N*)与组的编号数n的关系式为 .2. ABC中, ADLBC于D,三边是a, b, c,那么有a= ccos B+ bcos C;类比上述推理 结论，写出以下条件下的结论：四面体LABC中， ABC PAB PBC PCA的面积分别是S,S,S2,S3,二面角P AB C,P BC A,P AC B 的度数分别是a , 0
6、, y ,那么S=.3 将以下给出的反证法证明过程填写完整.0,证明关于 x的方程ax= b有且仅有一个根.b证明 由于a0,因此方程ax = b至少有一个根 x=.a假设方程不止一个根，不妨设X1, x是,即ax1 = b, ax?= b,所以a(X1 X2) = 0,因为X1 X2,所以X1 X2工0,所以a= 0,这与矛盾，故假设错误.所以当a0时，关于x的方程ax= b有且仅有一个根.4 .假设 tan( a + 0 ) = 2tan a，求证：3sin 0 = sin(2 a + 0 ).f 规律与方法)直接证明和间接证明是数学证明的两类根本证明方法直接证明的两类根本方法是综合法和
7、分析法：综合法是从条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方 法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用间接证明的一种方法是反证法，反证法是 从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.合案精析问题导学 知识点一1. (1) 一般性实验、观察概括、推广猜测一般性结论局部个别2 . (1)观察、比拟 联想、类推 猜测新的结论 (2)特殊 特殊3 .已有的事实 正确的结论 实验和实践的结果 经验归纳推理类比推理知识点二1.一般特殊2 . (1) 一般原理(2)特殊情况(3)特殊情况题型探究例 1 解 (1)因为a1 = 1,由=-知an+1 =+an，故a2=2,a3=3,a4=4,a
8、5 = 5.an+1n+ 1n可归纳猜测出 an= n(n N*).根据(1)中的猜测，数阵为：S= 1,S2= 2 + 3= 5,S3= 4 + 5+ 6 = 15,S= 7 + 8+ 9 + 10= 34,S5= 11+ 12+ 13+ 14+ 15= 65,故 S = 1 = 14, S + S3= 1 + 15= 16= 2, S+ S3 + S5= 1 + 15 + 65= 81 = 34.可猜测 S + S3 + S5 + + San-1 = n4.跟踪训练 1 解1第 1 行：3 = 21 + 2;第 2 行：5 = 2w 100 n N*，得 nw 13.故前 13 行共有 1
9、 + 2+ 3 + + 13= 91个数. + 20,6 = 22 + 21 ;第 3 行：9= 2因此，a100应当是第14行中第9个数，所以a100= 214+ 28= 16 384 + 256= 16 640. + 2。，10 =23+ 21,12= 23 + 22;由此归纳猜测： 第 4 行：24 + 2。= 17,2 4+ 21 = 18,2 4+ 22= 20,2 4+ 23= 24; 第 5 行，25 + 20 = 33,2 5 + 21= 34,2 5 + 22 = 36,2 5 + 23 = 40,2 5 + 24 = 48.故第4行各数依次为17,18,20,24 ;第5行
10、各数依次为33,34,36,40,48.n n+12 每行中数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，由5n n为偶数2n_ 2解析an是等和数列，ai= 2,公和为5,a2= 3，贝V a3= 2, a4= 3，知 a2n = 3, a2n-1 = 2( n N). ai8= 3,数列an形如：2,3,2,3,2,3，.5n n为偶数跟踪训练2解析根据三棱锥的体积公式，e 1111得 3S H + 尹f + 3$円+ 3$已=V,即 KH + 2KH+ 3KH+ 4KH= 3V,3VH+ 2H2+ 3H+ 4H4 = R例3证明 假设/ B不是锐角，那么/ B 90,
11、因此/ C+Z B 90+ 90= 180, 这与三角形的内角和等于 180矛盾.所以假设不成立.从而Z B一定是锐角.跟踪训练3证明 设存在非零实数X1, y1,左111使等式一+ =成立，X1 y1 X1+ y1那么有1(X1+ y + X1(X1 + y = xy,2 2 X1 + y1 + xy= 0,y1 23 2即(X1+2)+ 41=0.又t X1, y1 工 0,( X1 + y2)2+ 4y20,从而得出矛盾，故原命题成立.例4解方法一(分析法) x, y0,2 2欲证 log 2(x y + 1) log 2Xlog 2 log 217 2,x2y2+ 117需证 log
12、2 xy ?log 4.由于对数的底数为21,为了证明上式成立，需证22/丄x y + 117 . xy 4由于x, y0,于是为了证明上式成立，只需证明 4x y + 4 17xy，即证 4x y 17xy + 40.即证(4xy 1)( xy4) 0,1即证xyw 4或xy 4.又 x, y0, x+ y= 1,x + y 21 xy 三(亍)=4. o o式成立，这就证明了log 2( x y + 1) log 2 x log 2y log217 2成立.方法二综合法由条件知2 2log 2( x y +1) log 2X log 勿=log2xy2 一xy +1xyt = xy.,+x
13、+ y 2 1由 x + y = 1,得 xyw(h)= 4,1t *(0,八14-xy +111 u= xy + = t + , t (0 ,xy3 xy t 11，2-=(t + 1 u = t + 在t (0 , 4上是减函数, = 11 =4+4=17417 log 2Ulog 24,x y +1 log 2 xy log 217 2,2 2即 log 2( x y + 1) log 2X log 刿 log 217 2.跟踪训练4 证明 / sin(2 a +卩)2cos( a +卩)sin a=sin ( a + 3 ) + a 2cos( a+卩)sin a=sin( a + 3
14、 )cosa + cos( a + 3 )sina 2cos( a+3 )sin a=sin( a + 3 )cosa cos( a + 3 )sina=sin( a + 3 ) 一 a = sin 3 ,两边同除以sin a得f(n)与组的编号数sin 2a + 3 小 ，、si n 32 . S cos a + Scos3 + Seos Y3 .两不等根 a0sin a + 3 2sin a4 .证明由 tan( a+3) = 2tan a，得 cos a+3=TT即 sin( a+3 )cos a = 2sina cos( a+3 ).要证 3sin 3 = sin(2 a+3 ),即证
15、 3sin(a + 3 ) 一 a = sin( a + 3 ) + a ,即证 3sin(a+3 )cos a cos( a+3 )sin a =si n( a + 3 )cos a + cos( a + 3 )sin a , 即证 sin( a+3 )cos a = 2sina cos ( a + 3 ),故 3sin 3 = sin(2 a+3 ).2cos( a+ 3 )=.sin asin a达标检测31. f ( n) = n解析由于1 = 1* 3 3+ 5= 8 = 2,337 + 9+ 11 = 27= 313+ 15+ 17+ 19= 64= 4,，猜测第 n 组内各数之和 n的关系式为f(n) = n3.