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1、2会应用空间两点的3.3空间两点间的距离公式【学习目标】1. 了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程距离公式求空间中两点间的距离.问题寻学知识点 空间两点间的距离公式a, b, c,那么其对思考 如图，在长方体 ABCD ABCD中，假设长方体的长、宽、高分别为角线AC的长等于多少?梳理两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，任意一点P(x, y, z)与原点间的距离 |0P = _x2+ y2+ z2.空间中 P(xi ,yi ,Zi) , P2(X2 , y2 , Z2)之间的距离 |PiP2|；xi X22+ yi y22+ zi Z22例i 在长方体 ABC ABCD中，AB=
2、BC= 2, DD= 3,点M是BiC的中点，点 N是AB的中点以D为原点，建立如下图的空间直角坐标系.写出点D, N, M的坐标；求线段MD MN的长度.反思与感悟 求空间两点间的距离的步骤 求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适 当的坐标系，确定两点的坐标.(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几 何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.跟踪训练1 如下图，在直三棱柱 ABC- ABC中，|Cq = |CB = |CA = 2, ACL CB D, E 分别是棱AB BiC的中点，F是AC的中点，求 DE
3、EF的长度.类型二求空间点的坐标例2 点A(4,5,6) , B( 5,0,10)，在z轴上有一点 P,使| PA = I PB，那么点P的坐标为.引申探究1. 假设本例中条件不变，问能否在z轴上找一点P,使得 ABP是以AB为底边的等腰三角形？2假设本例中“在z轴上改为“在y轴上，其他条件不变，结论又如何?反思与感悟1假设点到定点的距离以及点在特殊位置，那么可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标. 假设一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，那么可以列出关于点的 坐标的方程进行求解.跟踪训练2设点P在x轴上，使它到点PiO, ,2 3的距离是到点 F20,1，- 1的距离
4、的2倍，求点P的坐标.类型三 空间两点间距离公式的应用例3如下图，正方体棱长为 1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点 P在正方体的体对角线 AB上，点Q在正方体的棱 CD上.当点P 为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ的最小值.反思与感悟 利用空间两点间的距离公式， 将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，再分析函数即可.跟踪训练3 在xOy平面内的直线2x y = 0上确定一点 M使它到点P( 3,4,5)的距离最 小，并求出最小值.
5、C.(2 , 3,5)D.(3,0,4)A.C.3或一4D. 6 或一23.三角形的三个顶点A(2 ,1,4) , B(3,2 , 6) , Q5,0,2),那么过 A 点的中线长为()2.点 A(x, 1,2)和点B(2,3,4)，且|AB = 2、倚，那么实数x的值是()B. 6 或 2A. 11C. 11 ；24.如图，在空间直角坐标系中,B.于C. aB. 2 11D. 3不有一棱长为a的正方体ABC A B C D , A C的中点E与AB的中点F的距离为(A. 2a1D.?a5.点 A(1 , a, 5) , B(2a, 7，- 2)，那么 |AE| 的最小值为 .规律与方法 11
6、. 空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任 意两点间的距离，其推导过程表达了化空间为平面的转化思想.2. 假设两点坐标求距离，那么直接代入公式即可.假设两点间距离求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.合案精析知识点思考h + b2+ c.题型探究例 1 解 (1) D(0,0,0), N(2,1,0), M1,2,3)(2)| MD = 1 0 2+ 2 0 2+ 3 0 2=14,|MN = 1 22+2 12 +3 0 2= , 11.跟踪训练1解以点C为坐标原点，CA CB CG所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.I
7、Cq =| cb = |ca = 2,C(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2), B(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0) , E(0,1,2) , F(1,0,0), I DE = ? 1 0 2 +1 1 2+0 2.5,| EF =_2+ _1 0 2 + _2 0 2 = 6.例 2(0,0,6)解析 设 R0,o , z)，由 | pa = I PB，得=5 0 2+0 02+10 z解得z= 6.点P的坐标为0,0,6引申探究1解 与例2的结论一样，F0,0,6.2解设 F(0 , y, 0)，由 | PA = | FB|，得2 2
8、 22 2 2+0 y +10 0,4 0+5-y +6 0=；5 024解得y 亍点P的坐标为24(0，-石，0) 跟踪训练2解因为P在x轴上，所以设P点坐标为x, 0,0.因为 |PP| = 2|PR| ,所以.；x 0 2+0 ,22+0 32=2 : x 0+0 1+0+ 1,所以x= 1,所以点P的坐标为(1,0,0)或(一1,0,0).例3解由题图可知，只1，1, 1.Q点在CD上设 Q0,1 , z) , z 0,1,跟踪训练3解点M在xOy平面内的直线2x y= 0上, 设点 Ma,2a, 0),那么|MP =a+ 3 2 +2a 42+ 52=5a2 10a+ 50= :5 a 1 2+ 45,当a= 1时，|MP取最小值3 5，此时M1,2,0), 当点M坐标为(1,2,0)时，|PM最小，最小值为 3,5.当堂训练1. C 2.D3.B4.B5. 3 6解析| AB| =:2a 12 + 7 a 2+ 2 + 5 2=；5 a+12+ 54.当a= 1时，| AB|的值最小，最小值为 54= 36.