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1、课后提升训练十九数学归纳法(45分钟70分)、选择题(每题5分,共40分)1.用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，假设已假设n=k(k 2为偶数)时命题为真，那么还需要用归纳假设再证()A. n=k+1时等式成立B. n=k+2时等式成立C. n=2k+2时等式成立D. n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.相邻的两个偶数，假设前一个为k,那么下一个为k+2.2.(2021 海口高二检测)用数学归纳法证明门 +十 +- I1(n N),在验证n=1时,左边的代数式为B.C.D.1弋+-工+1(n N)中，当n=1时,3n+仁4,故n=1时，等式左边的项(n + 3)(n + 4)【补偿
2、训练】(2021 长春高二检测)用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(n N)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()A.1B. 1+2C. 1+2+3D.1+2+3+4(n + 3)(n + 4)【解析】选D.在等式1+2+3+(n+3)=二(n N)中，当n=1时,n+3=4,而等式左边是起始为1的连续的正整数的和，故当n=1时，等式左边的项为1+2+3+4.3.观察以下各式： a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,那么归纳猜测 a7+b7=()A.26B.27C.28D.29【解析】 选 D.观察发现,1+3=4,3+4=7,4+7=11
3、,7+11=18,11+18=29,所以 a7+b7=29.4. (2021 潍坊高一检测)假设把正整数按如下图的规律排序，那么从2021到2021的箭头顺序方向依次为( )145 L9 12/ t U 个/ 屮236710 1A. B. 7C. D.7【解析】选B.从题图可看出是以4为周期的循环,2021能被4整除，因此2021t202120215. 以下四个判断中，正确的选项是()A.式子1+k+k2+kn(k N*,n N*)中,当 n=1 时式子值为 1B.式子2n1*1+k+k +k - (k N,n N)中,当n=1时式子值为1+kC.式子(n N)中,当n=1时式子值为(k N
4、),那么 f(k+1)=f(k)+ - _ + - ： + 二D.设 f(k)= 一 1 I _ +【解析】 选 C.A错,n=1 时式子值为1+k;B 错,n=1 时式子值为k=1;C 正确；D3k + 2+3 花 + 3+3 花 + 4- k + 1错,f(k+1)=f(k)+6.设凸k边形的内角和为f(k),那么凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+.A.2 nB. n其内角和f(k+1)是k边形的内角和f(k)与三角形AiAA+i的内角和n的和m丄7. 设 f(n)=1+ 2+3+. +3n - l(n N),那么 f(n +1)-f(n)等于 ()1N1a.+ 2B丽3n +
5、11111 1C3n + l+3n 十 2 D3n+3斤十 l+3n 十 2【解析】选D.因为f(n)=1+ 2-卜3+ +3 几一 151111f(n+1)=1+ 2+3+3n - 1+3 轧+ 1+3n + 21 1 1所以 f(n +1)-f(n)=川+二上一-二11113【补偿训练】用数学归纳法证明不等式斤+ 1+吮+ 2 + .小十叽24的过程中，由n=k推导n=k+1时, 不等式的左边增加的式子是 .1 1 1 1【解析】 不等式的左边增加的式子是-2 .1答案:(2k 十 l)(2Jt + 2)8. (2021 衡水高二检测)用数学归纳法证明“ 5n-2n能被3整除的第二步中，n
6、=k+1时，为了使用假设，应将5k+1-2k+1变形为()A. (5 k-2 k)+4 X 5k-2 kk kkB. 5(5 -2 )+3 X 2k kC. (5-2)(5 -2 )k kkD. 2(5 -2 )-3 X 5【解析】 选 B.5k+1-2 k+1=5k X 5-2 kX 2=5kX 5-2 kX 5+2kX 5-2 k X 2=5(5 k-2 k)+3 X 2k.二、填空题(每题5分，共10分)9. (2021 合肥高二检测)用数学归纳法证明11.用数学归纳法证明：1 +r(n+1) (n+2) (n+n)=2 nx 1X 3x-x (2n-1)(n N), “从 k 到 k+
7、1 左端增乘的代数式为 .【解析】令 f(n)=(n+1)(n+2) (n+n),那么 f(k)=(k+1)(k+2)(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2),+ 1) (2fc + l)(2/t + 2)所以；=- I -=2(2k+1).答案:2(2k+1)【补偿训练】(2021 武汉高二检测)用数学归纳法证明12 2 2 2 2【解析】根据等式左边的特点，各数是 先递增再递减，由于n=k,左边=1+2+(k-1) +k +(k-1) + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+2+2+1 ,n=k+1时,左边=1+2+(k-1) +k+(k+1)
8、+k + (k-1) +2 +1 ,比拟两式，可知等式左边应增加的式+ - +(n-1) 子是(k+1) 2+k2.+n答案:(k+1) 2+k2+(n-1) 2+n(2n2 + l)+22+12=(n N)时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应增加的式子是,不等式成立， 2,k N*)时不等式成立当 n=k+1 时,1+ + J +-k+(k 十 1)22,n N时均成立.【拓展探究】将此题所证明的不等式改为1 1【证明】当n=2时，左边=,J+ :1),如何证明?假设当 n=k(k1,k N)时，不等式成立1+ 上 丨+ + + 1,右边=2,左边 右边,不等式成立. 1,且k
9、N)时结论成立，即当 n=k+1 时,a k+i=Sk+i-Sk=2(k+1)-a k+i-2k+a k=2+ak-a k+i,所以2a k+1 =2+ak,所以当n=k+1时结论也成立.所以ak+i2n- 1* 1 于是对于一切正整数 n N ,a n=-成立.空 *【补偿训练】 数列an的前n项和为Sn,满足2S=斤+n,a n0(n N),(1) 求ai,a 2,a 3的值,并猜测数列a n的通项公式.(2) 用数学归纳法证明(i)中的猜测.2【解析】由2Sn= n+n得2当 n=i 时,2a i=_ 丨+i,所以 ai=i.当 n=2 时,2S2= =+2,所以 a2=2.当 n=3
10、时,2S3= +3,所以 a3=3.猜测：数列a n的通项公式为an=n.2 当n=i时,ai=i满足2Si= l+i,所以an= n 成立.假设 n=k(k i,k N*)时,a k=k 成立, 那么当 n=k+i 时,2Sk+i=沖 斗 1+k+i.所以 2(a i+a2+ak+ak+i)= 口氐 + 】+k+i,a 22(i+2+3+k+ak+i)=氏*+ 1+k+i,k(k + 1)2X 2+2ak+i =耳 + i+k+i,整理得-2a k+i+(k+i)(i-k)=0,即a k+i-(k+i)a k+i-(i-k)=0.因为an0,所以 ak+i=k+1.所以当n=k+1时,等式成
11、立.由知对 n N*,an=n成立.【拓展延伸】“观察一归纳一猜测一证明模式的题目的解法(1) 观察：由条件写出前几项(2) 归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系(3) 猜测：猜测出通项公式(4) 证明：用数学归纳法证明猜测的形式，因为猜测不一定正确，所以要通过数学归纳法给出证明【能力挑战题】均为常数)等比数列an的前n项和为S,对任意的n N,点(n,S n)均在函数y=tx+r(t0 且t丰1,t,r的图象上(1)求r的值当 t=2 时，记 bn=2(log 2an+1)(n N),妇+ 1b? + 1bn + 1证明：对任意的n N*,不等式. T .成立【解析】(1)由题意:S
12、n=t n+r,当 n 2 时,Sn-1 =1 +r.n 1所以 an=S-Sn-1=t - (t-1),由于 t0 且 t 丰 1,所以n 2时,a n是以t为公比的等比数列又 a1=t+r,a 2=t(t-1),即=t,解得r=-1.n 1(2)当 t=2 时,由(1 )知 an=2-, 因此 bn=2n(n N*),左式右式,所以结论成立假设当n=k(k N)时结论成立,2k + 1那么当n=k+1时,2k +1,2k + 1 2k+ 32k 2(kTlj2k+ 3 2k+ 3市 1 2舗 + 1)=2十论+ 1.要证当n=k+1时结论成立,2k+ 3只需证“址+ 1八k + 2,2k+ 3即证 2 V(k + l)UT2j,所以当n=k+1时,结论成立.妬 + 1+ 1 bn + 1由可知,n N时,不等式 12 n 加+ 1成立.10. 对任意n N,3 4n+2+a2n+1都能被14整除，那么最小的自然数a=.【解析】当n=1时,3 6 * * *+a3能被14整除的数为a=3或5,当a=3且n=2时,3 10+35不能被14整除，故a=5.答案:5三、解答题(每题10分,共20分)