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1、2.2 向量的减法【学习目标丨1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法那么.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.问题导学知识点一相反向量 思考 实数a的相反数为一a,向量a与一a的关系应叫作什么?梳理 与a的向量，叫作 a的相反向量，记作 (1) 规定：零向量的相反向量仍是 .(2) - (- a) = a. a+ ( a) =.(4)假设a与b互为相反向量，那么 a=, b =, a+ b=知识点二 向量的减法 思考1根据向量的加法，如何求作a- b?思考2向量减法的三角形法那么是什么?梳理 定义：向量a加上，叫作a与b的差，即a- b=.求两个向量的运算，叫
2、作向量的减法.(2)几何意义：在平面内任取一点0,作6/= a, 0B= b,那么向量 a- b=，如下图. 文字表达：如果把向量 a与b的起点放在 0点，那么由向量 b的终点B指向被减向量a的终点 代得到的向量BA就是a b.知识点三|a| -1 b| , |a b| , | a| +1 b|三者的关系思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、 减法的几何意义，| a| - | b| , | a b| , | a| + | b|三者关系是怎样的？梳理 当向量a, b不共线时，作OA匕a, Xb= b,那么a+ b=洗如图(1)，根据三角形的三边关系，那么
3、有 | a| - | b| a+ b| b|，作法同 上，如图(3)，此时 |a+ b| =| a| -1 b|.故对于任意向量a, b,总有| a| - | b|a+ b| | a| +1 b|.因为 | a- b| = | a+ ( b)| ,所以 | a| | b| | a-b| | a| + | b| , 即 | a| | b| w| a b| w| a| + | b|.将两式结合起来即为| a| | b| w| a b| w| a| +1 b|.题型探究类型一向量减法的几何作图例1如图，向量a, b, c不共线，求作向量a+ b c.引申探究假设本例条件不变，那么 a b c如何作?
4、反思与感悟 在求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终 点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；假设两个向量的始点不重合，先通过平移使 它们的始点重合，再作出差向量.跟踪训练1如下图，向量a b, c d.类型二向量减法法那么的应用例2化简以下式子：(1) NQ- PQ- MM- MP(2)( XB- CQ - (AC- BD).反思与感悟向量减法的三角形法那么的内容：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.跟踪训练 2 化简：(1)( BA- BC (ED- EC);(2)( acxa (
5、 Sc- SO- xb .类型三向量减法几何意义的应用例3 | AB = 6, |AD = 9,求|AB- AD的取值范围.反思与感悟 如下图，在平行四边形 ABCD中，假设 辰 a, AD= b,那么AC a+ b, DB= ab.在公式 | a| -1 b| | a+ b| | b| 时，| a| -1 b|=| a+ b| ；当 a 与 b 方向相同时，| a+ b| = | a| + | b|. 在公式 | a| -1 b| | a- b| | b| 时，| a| -1 b|=| a- b| ;当 a 与 b 方向相反时，| a b| = | a| + | b|.跟踪训练3 在四边形
6、ABCDK 设辰 a, XD= b,且XC= a+ b,假设| a+ b| = | a-b|，那么四边形ABC啲形状是A.梯形B .矩形C .菱形D .正方形当堂训练1.如下图，在？ABCDh AB= a, AD= b,那么用a, b表示向量AC和誠别是A. a+ b 和 a- bB. a+ b 和 b- aC. a-b 和 b- aD. b-a 和 b+ a2 .化简OF-酣PS+ SP勺结果等于A. QPB. OQc.Spd.Sq3 .假设菱形 ABC啲边长为2，那么|AB- 計 CD =.4. 假设向量a与b满足|a| = 5, |b| = 12,那么| a+ b|的最小值为 , | a
7、- b|的最大值为 5. 如图，在五边形 ABCDI中，假设四边形 ACDE是平行四边形，且a, b, c 表示向量 BD BC BE SD及SeXB= a, AC= b, AIf= c,试用E厂规律与方迭 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义， 一XB= BA就可以把减法转化为加法.即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a b= a+ ( b).2 .在用三角形法那么作向量减法时，要注意差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量 解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.3.平行四边形ABCD勺两邻边AB AD分别为AB= a, AD= b,那么两条对角线表示的向量为 A
8、C= a+ b, BD= b a, DB= a b,这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.合案精析问题导学知识点一思考相反向量.梳理 长度相等、方向相反一a (1)零向量 (3)( a) + a 0 (4) b a 0知识点二思考1先作出一b,再按三角形法那么或平行四边形法那么作出a+ ( b).思考2 (1)两个向量a, b的始点移到同一点； 连接两个向量(a与b)的终点； 差向量a b的方向是指向被减向量的终点.这种求差向量ab的方法叫作向量减法的三角形法那么概括为“移为共始点，连接两终点, 方向指被减.梳理 b的相反向量a+ ( b)差(2)BA知识点三思考它们之间的关系为|
9、a| |b| | ab| O/a DC DO-ob=Ac ba- Dc DOb ob=AC BA- DC DB =BC- DCb DB= BCb CDb DB=BCF CB= 0.例 3 解 /1| AB | AD| i Ab- Ad i AB + |AD，且 |AD = 9, |AB = 6, 3| AB- Ad 15.当At与AB同向时，|AB-AD = 3；当At与AB反向时，| AB-AD = 15. I Kb- Ad的取值范围为3,15.跟踪训练3 B当堂训练1 . B 2.B3.24.7175解 四边形ACDE1平行四边形， CD- AE= c,BC=AC- Ab= b a,BE= AE- AB= c a,Ce=Ae- AC= cb, BD= BCb &= b a+ c.