新概念物理教程光学习题解答第一章.doc

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1、第一章几何光学 1几何光学基本定律太阳与月球的直径分别是l39x 104m和35qolm,设日全蚀时太阳到地面的距离为1.50x10月球到地面的距离为3.8xiom试计算地面上能见到日全蚀区域的面积 何把该区域的地面视为平面）。解忽略地球大气层对阳光的折射.按光的直线传播定律作几何投举图所示）.则地面上出现日全蚀的区域是半径为形面积由相似三角形的比例关系QB7 A7B,5T =VlBH R -d H-h _ R -rd = R-HCR r)H-h1以 = 0.695X10 6km,r = 1.75 x lokm,/=1.5 x 109km,A3.8x 10skm代入上式，算得d = 1.6 x

2、 103km _所以日全t*区域的面积为S=xd2 =78x 10 W2附图所示为一种液面激光控制仪。当液面升降时反射光斑移动，为不同部位的光电转换元件所接收：变成电讯号 第入控制系统。试计算液面升高时反射光斑移动的距离题2图解 按光的反射定律作光路于附图.则由图可得反射光线的位移量为力$ =08 OOZ sin2 ( / )2又逅=互于是得COS2As 2 Ah sin i*3.由立方体的玻璃切下一角制成的棱憶称为19直廊如附图（2所示。证明从斜面射入的光线经其它三反制后， 岀射线的方向总与入射线相反。设想一下这样的M可以在什么场合发挥作用Ji从斜面入射的光线经三个1角面 反射后岛从斜面出射

3、，其间光线共经历了 三个直角面的三次反射和斜面往返的二次 折射证明出射线和入射线方向相反可分 两步进行（1 ）先也明任意一很经三个直角面 反射以后的丸线总是和入U丸线平行且方fl 3 S向相反用矢量的柢念证明这个结论比较简单。加附图（厶）所示.设手个直角面分别为xy平面.惑平面和弊平面，入射光找*8 3 B先后经三个平囲反射后出射光线为 a。並设，少.4CCD分别为光线AB. BC. CD. .DE的单位矢則Afl=（ cos cos ( x -y )=(cosa, cos； oosy )因此ABr = 一 DE即光线和反向平行。=2 3。二2必=-ii又根据折射定律有sint =n sint

4、sin i n sinz 于長得 式中力为梭镜的折射率，因此偏向角为/ =r- Z4ZfX=用 一2用一（2a + +： 4-丄i i）J乙亍 2cr+%+1=2a 備向角恒等于2a,它与入射角和折射率死均无关.即与波 长也无关。这种棱镜虽然使光受到两次折射而仍无色散.因此. 可用于要求无色散的光路假转系统，5. 试证明：当一条光线通过平行平面玻璃板时.出射光 线方向不变.只产生侧向平移。当入射角几很小时.位移为式中落为琐璃板的折射率，t为其厚度证 对平行平板上下表面分别两次运用折射定律，并考虑到7申板上F是同一介质便可证明录后出射光线与当初入射光线的方向一致。如附图所示.根据几何关 系可得側

5、鬥色移童为djf =虫8sin（几一门r-r ( sifUCo$Ij COS；25 S=/( cosfijrfn存 cos/i利用折射定律上式可改写为sinh =力 sinD女佔（1-Khhl的条件下.戟小角近緻sinti tn 8办 8岛1于是有6.证朗X光线相催鏡过几个平行分界面的多SWM时， 岀射光线的方向只与入射方向及两边的折射率有关与中* 媒质无关。ii因为界面郵是平行的所区光线在同层媒质中上界面 的折射角与下界面的入射角相等。如图所示由折射定律有m ；sini 2=sinti 心 加 sinij=sini? si n/1心.心丨 i .sim 二sinii由此町见，最后出射光线的方

6、 向只与当初入射方向及两边介 质的折射率有关07.顶角a很小的棱镜 称为光楔证明光楔使垂直入射的光线产生偏向角6=5=1）血其中是光楔的折射率.证由于光线垂直入射故比线在第个界面不发生折射.flk仅在第二个界面有折射1:1如图.根据折射定律 rasin/j =sin22 以及儿何关系Qua.故 - JMsina =stnn当住很小时，有sina . sin：/ 讨则上式可写成na il所以偏向角为d 二一门=“=。=（幷 _1 J a题7图这个近似公代在干涉、衍射、偏振中经常要用到.我们应 晋记住它-8.附图所示是种求折射线方向的追迹作图法例如为了求）t线通过梭镜的路径.如图（）所示.可如图（

7、a以。为中心作二圆弧，半径正比于折射利，*(设八。作O尺平 行于入射线DE,作平行于棱撓第一界面的法线小M侧 0P的方向即为第一次折射后光线丘尸的方向外再作QP平行于第二界面的祛线则OQ的方向即为出射线PG的方向- 从而ROQ6为偏向角。试论证此法的依据。证如图所示.由题意知图(a )中fi, i(, h, H分别为第一界面与第二界面的入射角和折射角。故只需论证和冷“分别满足折射定律即町。 应用正弦定理于dORP、则有sin(x 一 和)sinf (OPnzsinf I =nsin/)z应用正弦定理于JOPQ,则有sin( x ,5)OP n二 jr =sini：OQ ri即故几.“和q. a

8、分别满足折射定律。.由于qRude, oqu FG . 即为偏向角。9利用上题的图.证明朵小偏向角的存住並证明棱镜 折射率的计算公式为.sin (a +dm) /2 Esin(Zicosa由儿何兌累（参见空附聖吋得上式中hAP-ARn cosx n2sin2xli =ncos a-x ） - J nf 2 n 2sinJ （ a - x （ b）产生址小倍向角时即Z/?OQ=dw时）d取极小值.其必耍条件是dxdha x2 11 cosar- 2d X整理得(:1、一ZiCosa)卑1 * ( A /iCO$ dx#当all时，由式（a） , ,（。得dk dh= dx dx把以上两式代入式（

9、C得#可以证明a 一二兰0,故ft是产生最小僞向角的2必要条杵，也是产生最小侑向角的充分条件。即“号时，b二从追迹图上题图（。）所示可知，当才二乙RPO=初2时，有 h = ii =亠（+ar）v ? 1釘二 b = a把以上两式代入折射定律表达式nfsinii = sin则得/ sin 5 十几）/ 2 n - n 一tsin（a/ 2 ）10.已知棱镜顶角为60,测得最小偏向角为53T4X求棱 镜的折射率。解 把数据代入上题所得公式，并取沪=1 ,即得.a +. 60 +5314,冷5sin - sinn =asinT11.顶角为50的三棱镜的最小偏向角是35,如果把它浸 入水中，最小偏向

10、角等于多少？（水的折射率为1.33）e解 设棱镜的折射率为刃，水的折射率为d.先求得50+ 351.60sin一2.50*sinTa +几5,0亠厂再由71 =死 &8inTa +岛r sin 二2么1.60.1?33sm555 sin25nf 21.33= 0.5080=sin10.5080= 30 32za2最后求出此棱镜放在水中的廉小偏向角为tfm=U4 1 2.如附图所示在水中有两条平行光线1和2,光线2 射到水和平行平板玻璃的分界面上。问：光线2.能否进入空气?(1) 两光线射到空气中是否还平行？(2 )如果光线1发生全反射，解由题6结论光线经平行分界面的多层介质时，出射方向只与两边

11、的折射率 有关。可知本题光线1和2 射到空气中仍保持平行。如图所示，当13 = 90时.也有2=90 所単光线12R不能进入空气光线2在玻璃与空气的界尬上发生全反射1 3.计算光在下列嫌质之间步行时的全反射辎界角：(1 从玻璃到空气，(2从水到空气；(3从玻璃到水。解 设空气、水.玻璃的折射率分别为? = 1-000,心= 1.333* 3 = 1.516 o则 (1 ) iH=sin1 sin-m1.0001.516I 丄型？ =48o36z1发生全反射时，光奴2也(2小=血2 =几认=畑瓷“n鵲=61 *1314设光导纤维玻璃芯和外套的折射率分别为拓和心（川力）,垂直端面外媒质的折射率为如

12、（见附图。试证明，能使光线在纤维内发生全反射的入射光束的最大孔径角必满足下式:（仇血伤称为纤维的数值孔径） 解根据折射定律，得到 nl sintfi = msinffi =川 cos 02二加1 -sin2tfi题 14 图因为光线在玻璃芯和外套的界面上发生全反射的条件为沏弘4r所以，欲使光线在纤维内发生全反射，仙必需满足15#n0siafit 用这种方法测液体的折射率.側量范围受到什么限制?上表面处处为散射源。 如图3）所示，在面 入射角较小的光线，在 /1C面出射时折射角较 大。以折射角下限厂出为90 o出肘方向观察 用的是一架接收平行光 用的望远镜，它能接收 从/C面出射的一察列 不同方

13、向的平行光束， 同一方向的平行光在望 远镜中会聚于一点。由于/C面出射光线的折射角有一下限厂，因此在视场中出现有明显分界统的半明半对图（0）中的E点写出折射定律为nxsm Z DEF = sint（加中的D点写出折射定律为njsin Z EDF = nsin90又因为ZEDF 二 90 - ZDEF故由以上三式得n - /ZfSin Z.EDF = ncos ZDEF二 4/ - sin汀、 nin 和是极限法测液体折射率的限制条件。如果液体相对棱 镜是高折射率.经面一次折射后就有各种方向的平行光束， 它们在AC面出射时就不可能在望远镜中出现有明显分界线的半 明半暗区。 2 息更斯原理1 在空

14、气中钠黄光的波长为5893A,问（1）其频率为梦少？（2）在折射率为1.52的玻璃中其波长为多少？ 解（1）光频.C 丄二 3 X 10：/ 一 I _ 声-5893 x 10=5. 09 x 10,4Hz式中九为光谱线的真空波长。（2）同一谱线在介质中的光波长久。_ 5893X 二二n 1.52 3877 久 2在熔凝石英中波长为5500A的光频率为多少？己知折 射率为1.460。解光频3.74 x 104 Hz173填充下姦中的空自,携线F线D线媒质ft 空水真空*折射率 1 )1.3375893(6.17x 104)(5.09xl0H)5.09X 1014光速（m s） 3 x 101)

15、2.24 x W1)(3 x 101)(2.25 * 10)解 设f. c.- 农，A ,拜分别为光的频率.真空中光 速.介质中光速.真空中波长、介质中波长、介质的拆射率。根 据下列关系式：代入表中所给有关数据，把计算结果填入表中空白（括号内数据）。从以上三题的数字计算中我们应该看到， 1）可见光波段的光频很高，量级达irH#相当于光扰动的周期为10 2 Ps量级。对干如此高频的振荡.目前尚无接收器能 瞬时响应.这就导致光讯号接收时的一系列统计平均问题。m ( A2B1 + BiCi + CTC2)是相等的稔这表明反射定律绐出的反射光束的方向，正好与等光程从 入射光算起)要求的方向是一致的煌1

16、-21证明折射尢束的方向是等光程方向。即证明上题附L O = L (AiBiD由次波源E向光线2作垂线，垂足标为Q山显然D 4 )2 = 3 Qi再比较不瓦，药可两段的光程，在直角三角形#A DiBi Bi 中，有3 = B Bi sin/i 9 rB ） = B Biriy sinZi .Bt Di z= Bi B2 sin 12 9 L（JBz Di ） = BBz n2Sin/2 由折射定律可知ni sinn = m sintz 于是 L （ A! Bi） = Z 所以光程L At B= m At A + n A Bi + mBi D.L QA1B2D2）二 m A2B2 4- niBi

17、Di + niDi D1 是相等的。这表明折射定律给出的折射光束的方向，正好与等光程（从 入射光算起）要求的方向是一致的。#- lOOlx （勒克斯）f o - 35 lx2若上題中电灯上町以垂直上下移动，问怎样的高 度使点的照度最大。解如图,设照明处3与灯泡垂足4的距离为人灯泡位不同高度将同时改变距离尸和倾角氛选为变量，则厂 Km趴照度公式直写为题2图 11光度学基本概念1 在离桌面lOm处有蛊10瞅 德拉的电灯厶设Z町看作是各向同性的 点光源，求桌面上两点的照度（见 附图）。按点光源照明时的照度公式ms並以I 100（坎德拉），3*彳二3501, r4 = 1.0m , cos血二co$

18、45r*= 1 /Z2、2 代入分别算出4, B两点 的照度为#对上式求导得de psintf（23sin2）解得sin0 =则可得毗时横向固定距离处的照度最大。以Z = lOm代入得0.7 m(1) 设天空为亮度均匀的朗伯体，其亮度为3, 试证明，柱篤天水面上的照度E = *B1:1(2) 在上面的计算中，与我们假设天空是怎样形状的发光 面有无关系？与被照射面的位置有无关系？(3) 试证明，一个理想漫射体受到照度为E的辐射时，反 射光的亮度B =H 3 图（G证 (1 )如附图 若天空为朗伯体，由互易关系， 亮度为的天空照射在水平面 元dU上的光通量如等于亮 度为力的面发射于整个天 空上的光通量的于是水平 面元的照度为=B/寿二需二壽 f BdsdQ2%0 =/ =1.5代入算出太阳象斑的 最 大辐射照度值为E 35x IO7 W /m 2蹩个光斑集中的光功率却为成中/ST光斑面积（忽略衍射效应）Z设/二1 m 取太阳面积力二，二用（1.4 * 10 2） 2kmS地球#