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1、4.3简单线性规划的应用【学习目标】1.掌握简单线性规划解题的根本步骤.2. 了解实际线性规划中的整数解求法3会求一些简单的非线性函数的最值.ET问题导学知识点一 用线性规划解决问题的过程1 寻找约束条件，2 建立目标函数，3 .画出可行域，4 .求出最优解.知识点二 非线性约束条件思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件x a2+ y b2w r2的可行域.梳理 约束条件不是 不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件.知识点三非线性目标函数x+ y 6,y 1思考 在问题“假设x、y满足xw4,求z =-的最大值中，你能仿照目标函数 zx 1yw 4,y 一 1=ax+
2、by的几何意义来解释 z =的几何意义吗？x I梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.目标函数目标函数变形几何意义最优解求法z = ax+ by ( abz 0)a z y一 bx+ b曰z是b平移直线y=我,b使2 2(x a) + (y b)2令 m= (x a) + (yb)2,那么目标函数为(vm2占与占八、J八、距离的2改变圆x a + yb2 = r2的半径，寻求可行域最先或最后与圆的ybx a点与定点连线的绕定点a, b旋转直 线，寻求与可行域最类型一 实际生活中的线性规划问题例1某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B两种原料，生产 1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示
3、，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为 3万元、4万元，求该企业每天可获得的最大利润.甲乙原料限额A吨3212B吨)128跟踪训练1预算用2 000元购置单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的 总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？类型二非线性目标函数的最值问题命题角度1斜率型目标函数引申探究1.把目标函数改为 z = 3y f,求z的取值范围.2x + 12 .把目标函数改为 z =1，求z的取值范围.2x+ y 2 0,例2实数x, y满足约束条件 x 2y+40,3x y 3w 0.试求z= y+1的最大值和最小
4、值.x + 1cx + dv+ f反思与感悟 对于形如的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问ax+ b题.x 1,那么z =以的取值范围是x跟踪训练2实数x, y满足y?0,)x y 0,A. 1,0B.(g, 0C. 1, +g)D.1,1)命题角度2两点间距离型目标函数x+ y1 0,例3 x, y满足约束条件x 2y + 40,3x y 3w 0,试求z= x2+ y2的最大值和最小值.反思与感悟 当斜率k、两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数 形结合思想方法的灵活运用.x 4y+ 3 0,跟踪训练3 变量x、y满足约束条件3x+ 5y 25 1.(1)
5、 设z = x,求z的最小值；x(2) 设z = x2 + y2,求z的取值范围；设z = x2 + y2+ 6x 4y+ 13,求z的取值范围.当堂训练x + y x,那么x2 + y2的最大值为()x 1,A. 10B. 8C. 16D. 102 .毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船欣赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所 付租金最少为元.船型每只船限载人数租金(元/只)大船512小船38x+ y 6,3.假设X、y满足约束条件xw4,yw 4,那么y 1z = xJ勺最大值疋x 1yw 1,4 .实数x,
6、 y满足约束条件x 1,规律与方法1画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤根本上是在图上完成的， 所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能标准2在实际应用问题中， 有些最优解往往需要整数解 比方人数、 车辆数等 应结合可行域与目 标函数微调3.对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x2+ y2是点x, y到点0,0的距离的平方，而非距离合案精析问题导学知识点二思考梳理二元一次知识点三y 1思考 z =的几何意义是可行域内的点(x, y)与点(1,1)连线的斜率.交点(x,梳理 在y轴上的截距在y轴上的截距最大(或最小)(x, y) (a, b)平方y)(a, b)斜率斜率题型探究例1解 设
7、该企业每天生产甲、乙各x、y吨，那么有3x+ 2yw 12,x + 2y w 8,x 0,y 0其可行域如图，其中 A(2,3),设企业每天可获利润为z= 3x + 4y,3 z那么 y= 4x+ 4易知A为最优解，Zmax= 3 X 2+ 4 X 3= 18.跟踪训练1解 设桌子、椅子分别买 x张、y把，目标函数z= x + y，把所给的条件表示成 不等式组，即约束条件为50x+ 20y w 2 000 ,y x, yw 1.5 x,x N, y N.200x = -LZ-, 50x+ 20y= 2 000 ,7 由解得y=x,200y =，x = 25, 解得 75y =兀，所以a点的坐标
8、为27, 2750x+ 20y= 2 000 , 由y= 1.5 x,所以B点坐标为25 , y.所以满足条件的可行域是以20020075A ，B 25，00，0为顶点的三角形区域由图形可知，目标函数z= x+ y在可行域内经过点B25, 75时取得最大值,x= 25, 但注意到X N, y N,故取y= 37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.例2解由于 z=y+1=x 1,故z的几何意义是点x, y与点M 1, 1连线的斜率，y + 1因此的最值是点x, y与点M 1, 1连线的斜率的最值,x + 1如下图，直线 MB的斜率最大，直线 MC的斜率最小,又 B(0,2) , C(1,0
9、), Z max kME 3 ,1Zmin= kMC 2* z的最大值为3，最小值为12.引申探究1.解 Z 31y+3其中k一1的几何意义为点x+2(x,y)与点N 2,1连线的斜率.由图易知，kNC k 1由 x= 1，3x+ 5y 25= 0,22解得A1,;5由 x=1,x 4y + 3= 0,解得 C1,1； 因为z = y= 匚0 ,所以Z的值即是可行域中的点与原点0连线的斜率.观察图形可知Zminx x 02=koB=.5z=X2+ y2的几何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin= 0C= ：2, dmax= 0B= 29,即 2 z w 29.2 2 2 2(3) z=x + y + 6x 4y + 13= (x + 3) + (y 2)的几何意义是可行域上的点到点(一3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到点(一3,2)的距离中，dmin= 1 ( 3) = 4 , dmax= * 3 5 2+2 2 = 8.所以 16W z 64.当堂训练11 D 2.1163.34. y 1设 kXT7， z |, 3跟踪训练2 D 作出可行域，如下图,