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1、第二章函数【学习目标】1.构建知识网络，理解其内在联系2盘点重要技能，提炼操作要点3体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力.U知识梳理A1 对函数的进一步认识(1) 函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型它的三要素是定义域、值域和对应关系函数的值域是由定义域和对应关系所确定的.(2) 研究函数要遵从“定义域优先的原那么，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示.(3) 函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法.在解决问题时，根据不同的需要， 选择恰当的方法表示函数是很重要的.(4) 分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数.(5) 函数与映射是不同的概念， 函数
2、是一种特殊的映射， 是从非空数集到非空数集的映射.在映射f: 2B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像.2 函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的，假设要证明f(x)在区间a, b上是增函数或减函数，必须证明对a,b上的任意两个自变量的值 xi,X2,当xi v X2时都有f (xi) v f(X2)或f(xi) f(X2) 成立；假设要证明f(x)在区间a, b上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的xi , X2，不满足定义即可单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且xi,X2 I，贝U(1) 假设函数f (X)在区间I上是单调函数，那么 Xi
3、= X2? f (Xi) = f(X2)(2) 假设函数f(x)在区间I上是单调函数，那么方程 f(x) = 0在区间I上至多有一个实数根.假设函数f (X)与g( X)在同一区间的单调性相同，那么在此区间内，函数f (X) + g(x)亦与它们的单调性相同.函数单调性的判断方法：定义法；图像法.3 函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f( -x)与f(x)的关系；二是用其图像判断，考察函数的图像是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提.类型一函数的三要素3.x , xw a,例1函数f (X) =2x , xa.(
4、1)当a= 2时，求f(x)的定义域、值域； 假设存在xi丰X2，使f (Xi) = f(X2)，求a的取值范围.反思与感悟分段函数也是函数，所以它的定义域、值域都分别是一个数集，求定义域、值域时要把各段相应的值合并在(2)中寻找不同的x，使其对应相同的 y时，也要把目光放在整个函数上.2x 6x + 6, x0, 跟踪训练1设函数f(x)=3x+ 4, x0 时,f (x)2.反思与感悟(I)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作 出图像辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值(2) 研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用跟踪训练2 函数f(x
5、)的定义域为D=x|xm 0，且满足对于任意xi,X2D,有f(xi X2)=f (xi) + f (X2).(1) 求 f(1) 的值； 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； 如果f(4) = 1, f(x- 1)1,1那么f(f 厂)的值为()1527A. 16 B . 168C. 9 D. 18d. Pn q= ?324.f(x) , g(x)分别是定义在 R上的偶函数和奇函数，且f(x) g(x) = x + x +1,那么f(i) + g(i)等于()A. 3 B . 1 C . 1 D . 335假设f(x)是偶函数，其定义域为(3,+ )，且在0,+)上是减函数，那么f(空)与f
6、(a2+ 2a+?的大小关系是()A.B.C.r 325f( Rf(a+ 2a+ Rf(矿3+ 2a+ 2325f( 2)?f(a2 + 2a+2)r 3 r 25D f( R w f(a+ 2a+)-规律与方法1 .函数是高中数学最重要的根底之一，函数的概念及其表示根底性强，渗透面广，常与其 他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的 相关问题.2. 单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题.解题捷径是结合题意选 一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向.3 . (1)函数图像的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域
7、、值域、单调性、奇偶性等 方面灵活判断，多可利用函数图像上点的坐标进行排除.应用函数图像的关键是从图像中提取所需的信息，提取图像中信息的方法主要有：定 性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图像上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题.定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；函数模型法，由所提 供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.合案精析题型探究例 1 解(1)f(x)的定义域为(g, a U(a,+s) = R.当a= 2时，y= x3在(g, 2上是增加的，x3 ( g,8.y= x2在(2 ,+g)上是增加的，2x (4 ,+g).f (x)的
8、值域为(一g, 8 U (4 ,+g) = R 当a0时，f (x)在(一g, a , (a,+g)上都是增加的，要使 X1 丰 X2 时，f ( xi) = f (X2),需 a3a2,即卩 ai.综上，a的取值范围是(一g, 0) U (i ,+g).2x 6x+ 6, x0,跟踪训练i D 函数f ( X)=的图像，如图，不妨设XiX2X3,那么X2,3x+4, x0X3关于直线x= 3对称，故X2 + X3= 6,且xi满足一3xi0,那么xi + X2 + X3的取值范围是一7 +33ii6xi + X2+ X3X2，令 x + y = xi, x= X2,那么 f (Xi) f (
9、X2) = f (Xi X2).XiX2, . Xi X20.又 x0 时，f(x)0,. f(Xi X2)0 ,即 f(xi) f (X2)2，即 f(x)f( x) + 2 = f ( x) + f( 3) = f ( 3 x),由(1)知f(x)在R上为减函数， f (x) f ( 3 x) ? x 3 x,3解得解集为x|x 2 .跟踪训练 2 解(1) v对于任意 X1,D,有 f (x1 X2) = f(xd + f(X2),.令 X1 = X2 = 1，得 f (1) = 2f (1), f(1) = 0.(2) f (x)为偶函数.证明：令 X1 = X2= 1 ,有 f(1)
10、 = f( 1) + f( 1),1 f( 1)=才=0.令 X1 = 1 , X2 = X,那么 f( X) = f ( 1) + f(x), f( X) = f (X) , f (X)为偶函数.(3) 依题设有 f(4 X 4) = f (4) + f (4) = 2,由知,f(x)是偶函数， f (x 1)2? f (| x 1|) f(16).又f (x)在(0,+)上是增函数. 0| x 1|16 ,解得15x17 且 xz 1. x的取值范围是x| 15x0,= 22x + 2X= x + 1 1, x4o i5 1,. f(3) = 32 3 3= 3,1 一1,31 1 1 2 8 f(F)= f(3) =1-(3)= 9.4. C f(1) + g(1) = f( 1) g( 1)32=(1) + ( 1) +1 = 1.252335. C 因为 a + 2a+ - = (a+ 1) +$,又f (X)在0,+)上是减函数，53所以 f(a2+ 2a+ -) fq3=f( 2).