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1、材料力学,目录,刘鸿文主编(第4版) 高等教育出版社,第三章 扭 转,第三章 扭 转,汽车传动轴,3.1 扭转的概念和实例,汽车方向盘,3.1 扭转的概念和实例,杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产生相对转动。,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,扭转受力特点及变形特点:,3.1 扭转的概念和实例,直接计算,1.外力偶矩,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知 轴转速n 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩Me,3.2 外力偶矩的计算 扭矩
2、和扭矩图,T = Me,2.扭矩和扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,用截面法研究横截面上的内力,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-),3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,解:,(1)计算外力偶矩,例题3.1,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率 PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.,由公式,(2)计算扭矩,(3) 扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.2
3、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,传动轴上主、从动轮安装的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同。,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.3 纯剪切,一、薄壁圆筒扭转时的切应力,将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；两端施以大小相等方向相反一对力偶矩。,圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。,观察到：,结果说明横截面上没有正应力,3.3 纯剪切,采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布。,由平衡方程 ，得,二、切应力互等定理,3.3 纯剪切,在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存
4、在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。,纯剪切,各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切,切应力互等定理：,3.3 纯剪切,三、切应变 剪切胡克定律,在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量 称为切应变。,当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比，这个关系称为剪切胡克定律。,G 剪切弹性模量(GN/m2),各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：,3.4 圆轴扭转时的应力,1.变形几何关系,观察变形：,圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一
5、个微小角度。,圆轴扭转的平面假设：,圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。,3.4 圆轴扭转时的应力,扭转角（rad）,dx微段两截面的 相对扭转角,边缘上a点的错动距离：,边缘上a点的切应变：, 发生在垂直于半径的平面内。,3.4 圆轴扭转时的应力,距圆心为的圆周上e点的错动距离：,距圆心为处的切应变：,也发生在垂直于 半径的平面内。,扭转角 沿x轴的变化率。,3.4 圆轴扭转时的应力,2.物理关系,根据剪切胡克定律,距圆心为 处的切应力：,垂直于半径,横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。,3.4 圆轴
6、扭转时的应力,3.静力关系,3.4 圆轴扭转时的应力,公式适用于： 1）圆杆 2）,在圆截面边缘上，有最大切应力,横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。,实心轴,3.4 圆轴扭转时的应力,与 的计算,空心轴,令,则,3.4 圆轴扭转时的应力,3.4 圆轴扭转时的应力,实心轴与空心轴 与 对比,3.4 圆轴扭转时的应力,扭转强度条件：,1. 等截面圆轴：,2. 阶梯形圆轴：,3.4 圆轴扭转时的应力,强度条件的应用,（1）校核强度,（2）设计截面,（3）确定载荷,3.4 圆轴扭转时的应力,例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm
7、、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930Nm,=70MPa.校核此轴的强度。,解：（1）计算抗扭截面模量,cm3,（2） 强度校核,满足强度要求,3.4 圆轴扭转时的应力,例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。,解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为时，两轴的许可扭矩分别为,若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有,3.4 圆轴扭转时的应力,在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。,可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。,实心轴和空心轴横截面面积为,已知：
8、P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴,例题3.4,3.4 圆轴扭转时的应力,空心轴,d20.5D2=23 mm,3.4 圆轴扭转时的应力,确定实心轴与空心轴的重量之比,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,实心轴,d1=45 mm,空心轴,D246 mm,d223 mm,P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解：1、计算各轴的功率
9、与转速,2、计算各轴的扭矩,例题3.5,3.4 圆轴扭转时的应力,求:各轴横截面上的最大切应力； 并校核各轴强度。,已知：输入功率P114kW,P2= P3=P1/2，n1=n2=120r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.=30MPa。.,T1=M1=1114 N m,T2=M2=557 N m,T3=M3=185.7 N m,3、计算各轴的横截面上的 最大切应力；校核各轴 强度,3.4 圆轴扭转时的应力,满足强度要求。,相对扭转角,抗扭刚度,3.5 圆轴扭转时的变形,单位长度扭转角,扭转刚度条件,3.5 圆轴扭转时的变形,许用单位扭转角
10、,rad/m,/m,扭转强度条件,扭转刚度条件,已知T 、D 和，校核强度,已知T 和，设计截面,已知D 和，确定许可载荷,已知T 、D 和/，校核刚度,已知T 和/，设计截面,已知D 和/，确定许可载荷,3.5 圆轴扭转时的变形,例题3.6,3.5 圆轴扭转时的变形,某传动轴所承受的扭矩T=200Nm，轴的直径d=40mm，材料的=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转角/=1 /m。试校核轴的强度和刚度。,传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80
11、GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?,解：,1.外力偶矩,例题3.7,3.5 圆轴扭转时的变形,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按强度条件,3.5 圆轴扭转时的变形,按刚度条件,4.直径d2的选取,按强度条件,5.选同一直径时,3.5 圆轴扭转时的变形,6.将主动轮安装在两从动轮之间,受力合理,3.5 圆轴扭转时的变形,3.7 非圆截面杆扭转的概念,平面假设不成立。变形后横截面成为一个凹凸不平的曲面，这种现象称为翘曲。,3.7 非圆截面杆扭转的概念,杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。,开口/闭口薄壁杆件扭转比较,3.7 非圆截面杆扭转的概念,小结,1、受扭物体的受力和变形特点,2、扭矩计算，扭矩图绘制,3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算,4、圆轴扭转时的变形及刚度计算,