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1、8.1 引言,第八章 变换、离散时间系统的 域分析,8.2 变换定义、典型序列的 变换,8.3 变换的收敛域,8.4 逆 变换,8.5 变换的基本性质,8.6 变换与拉氏变换的关系,8.7 利用 变换解差分方程,8.8 离散系统的系统函数,8.9 序列的傅里叶变换（DTFT）,8.10 离散时间系统的频率响应特性,8.1 引言,变换在离散时间系统中的地位和作用，类似于连续时间系统中的拉氏变换；,变换将差分方程转化为代数方程。,8.2 变换定义、典型序列的 变换,（一） 变换的定义,序列 的双边 变换:,以 为系数的 的幂级数,变换的收敛域,（二） 典型序列的 变换,序列 的单边 变换:,（1）
2、,收敛域：整个 平面,（2）,（3）,（4）,（5）,8.3 变换的收敛域,收敛域,下面讨论各种类型序列的 变换的收敛域。,（1）有限长序列,序列仅在有限的区间 具有非零的有限值,收敛域：,（a） 时,例：,收敛域：,（b） 时,收敛域：,（c） 时,（2）右边序列,收敛域：,（a） 时,收敛域：,（b） 时,（3）左边序列,收敛域：,（a） 时,收敛域：,（b） 时,（4）双边序列,例：,解：,求 并确定收敛域，其中 。,由于 在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包含任何极点。,通常， 的收敛域以极点为边界。对于多个极点的情况，右边序列之收敛域是从 最外面有限极点延伸至 （可能包含 ）；左
3、边序列之收敛域是从 最里面非零极点延伸至 （可能包含 ）。,8.4 逆 变换,是位于 收敛域之内的围绕坐标原点的逆时针的闭合积分路线。,围线积分法（留数法）：,幂级数展开法：,部分分式展开法：,仅适用于 为有理分式的情况,P433 例8-2,P434 例8-3、8-4,部分分式展开法,(2),(1),(3),例1：讨论 可能的收敛域，并求对应的序列。,解：,解：,极点,例2： ，求 。,右序列,左序列,常用 变换对：,（一）线性,8.5 变换的基本性质,（二）位移性,（1）双边 变换的位移特性,若,则,例：,（2）单边 变换的位移特性,若,则,若,则,解：,对差分方程两边同时取单边 变换，得,
4、（三）序列线性加权（ 域微分）,例： ，求 。,解：,（四）序列指数加权（ 域尺度变换）,特别地,例：,（五）初值定理,若 为因果序列，则,（六）终值定理,若 为因果序列，则,的极点全部在单位圆内，允许在 处有一阶极点。,条件： 存在，即：,（七）时域卷积定理,若,则,（八）序列反褶,例：,8.6 变换与拉氏变换的关系,（一） 平面和 平面的映射关系, 抽样角频率, 抽样间隔，,平面和 平面的映射关系：,1. 平面原点,任意,（单位圆内）,3. 左半平面,（单位圆外）,4. 右半平面,5. 平行于虚轴的直线,（圆）,（圆）,任意(正实轴),7. 平行于实轴的直线,8.7 利用 变换解差分方程,
5、解：,对差分方程两边同时取单边 变换，得,解：,令 ，对差分方程两边同时取单边 变换，得,解：,系统函数,令 ，对差分方程两边同时取单边 变换，得,离散时间系统的系统函数,8.8 离散系统的系统函数,（一）系统函数 的定义和求法,解：,解：,解：,（二）系统函数的零极点分布对系统特性的影响,（1）由系统函数的零极点分布确定单位样值响应,连续时间系统 的极点位置与 的关系：,时， 衰减；,时， 等幅；,时， 增长。,时， 单调变化；,时，8个序号为一个振荡周期；,时，4个序号为一个振荡周期；,时，2个序号为一个振荡周期。,单位圆上的二阶极点， 增长。,（2）离散时间系统的稳定性和因果性,离散LT
6、I系统BIBO稳定,的收敛域包含单位圆。,对因果LTI系统：,离散因果LTI系统稳定,的极点全部在单位圆内。,系统稳定；, 由 的极点分布判断因果LTI 系统的稳定性：,（1）极点全部在单位圆内,衰减，,系统临界稳定；,（2）单位圆上有一阶极点，其他极点全部在单位圆内,系统不稳定。,（3）有极点在单位圆外，或单位圆上有二阶或二阶以上极点,等幅，,增长，,因果、稳定,因果、非稳定,例：判断系统的因果性和稳定性。,（1）,（2）,（3）,（4）,非因果、稳定,非因果、稳定,P86 例8-19:,序列的傅里叶变换,8.9 序列的傅里叶变换（DTFT）,（一）定义、收敛条件,也称为离散时间傅里叶变换（
7、DTFT）,充分条件：,序列 的幅度频谱,序列 的相位频谱,例1：求 的DTFT，并画出幅度频谱。,解：,解：,例2：离散时间理想低通滤波器的频率特性 如图示，截止频 率 ，求它的傅里叶逆变换 （即单位样值响应）。,（二）序列的DTFT和抽样信号的傅里叶变换的关系,序列 的DTFT也就是抽样信号 的FT。,（1）线性,（2）时移,（三）DTFT的基本性质,（3）频移,（4）频域微分（序列线性加权）,（5）序列反褶,调制定理, 若 为实偶序列，则 为 的实偶函数。,（6）奇偶虚实性, 若 为实序列，则,的实部是 的偶函数，虚部是 的奇函数；,是 的偶函数， 是 的奇函数。,（7）时域卷积定理,（
8、8）频域卷积定理,（9）帕塞瓦尔定理,若,则,离散系统频响特性的意义？,8.10 离散时间系统的频率响应特性,稳定系统在正弦序列激励下，稳态响应随激励信号频率的变化情况。,幅度随频率的变化情况 幅频响应特性,相位随频率的变化情况 相频响应特性,设,则,设,则,则 产生的响应,（一）频响特性和系统函数 的关系,解：,例：因果LTI离散时间系统,求 通过系统产生的响应 。,：幅频响应特性,离散时间系统的频率响应特性,：相频响应特性,（二）频响特性的几何确定,解：,（1）,系统具有低通滤波特性,（2）,系统具有高通滤波特性,解:,例2：求图示二阶离散系统 的频率响应。,带通滤波网络,（三）离散时间系统的各种理想滤波特性,（a）低通,（b）带通,（c）高通,（d）带阻,（e）全通,例3 ：证明以下系统具有全通滤波特性。,证明：,具有全通特性的因果离散系统零、极点分布特征： （1）极点全部在单位圆内，零点全部在单位圆外； （2）零点与极点的模互为倒数，辐角相等。,例4：某因果离散时间系统的系统函数为,求使得系统为稳定的三阶全通系统的 a、b、c 之值。,极点：,零点：,解：,则：,