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1、第一章 非线性振动初步,第一节 无阻尼单摆的自由振荡 第二节 阻尼振子 第三节 受迫振荡,非线性振动初步,第一节 无阻尼单摆的自由振荡 1 小角度无阻尼单摆 2 任意角度无阻尼单摆振动 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,由牛顿第二定律： 非线性方程, 式中角频率：,1 小角度无阻尼单摆,数学表达式,(1),(2),(3),线性化处理 忽略3次以上的高次项 得线性方程,(4),(5),该式是振幅为P，角频率为 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。,引入代换 得： 一次积分后： 式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 看作为两个变量，则方
2、程是一个圆周方程，圆的半径为 ，振动过程是一个代表点沿圆周转动。,相图,(6),相图,相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。,能量方程 右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 ，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E 0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量E 相应
3、于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆(或椭圆)。 同一圆周(或椭圆)上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为椭圆点。,周期与摆角无关？ T0为零摆角极限下的周期 看看实验结果：,单摆周期,2 任意角度无阻尼单摆振动,定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形,单摆周期数学表达式,2 任意角度无阻尼单摆振动,任意摆角单摆周期与摆角的关系可采用如下方法求得,将方程(3)乘以 ，并对 积分，得,(7),在最大角位移 处， ，可求得积分常数,因此由(7)式得,(8),对(8)式积分，得,(9),设 t
4、 = 0 时 ，并设周期为 T，则在 t = T/4时应有 ，再利用三角函数公式,可得,(10),引入代换,(11),则有,进而可把(10)式变为,式中,(12),最后，可计算出,(13),忽略高次项，可得,(14),任意角度无阻尼摆轨线的数学表达式,由机械能守恒定律可知单摆的能量满足关系式,常量,(15),对上式进行无量纲化处理(即把 看作 t )，可得,常量,(16),由此解得,(17),1.坐标原点 附近相轨线为近似椭圆形的闭合道； 2.平衡点 为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线; 3.从 到 或相反的连线为分界线. 在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E
5、 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动,单摆完整相图,3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线,相图横坐标是以2为周期的， 摆角 是同一个倒立位置， 把相图上G点与G点重迭一起 时，就把相平面卷缩成一个柱 面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线 是柱面上的相轨线的展开图。,柱面上的单摆相轨线,3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线,第二节 阻尼振子 1 阻尼单摆 不动点 2 无驱杜芬方程,1. 阻尼单摆 不动点,无阻尼时： 设阻尼力与摆的速度成 正比： 取 得： 如果满足 则有：,数学表达式,设解为 得特征方程 l 为待定常数，特征方程解： 故
6、有： 通解为 最后有：,小摆角阻尼单摆的解,1. 阻尼单摆 不动点,相轨线 吸引子,1. 阻尼单摆 不动点,对阻尼单摆解,引入新变量 ( u, v),相轨线 吸引子,1. 阻尼单摆 不动点,阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在u,v平面上是向内旋转的对数螺旋线簇。在 平面内也与此类似。 能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从哪点出发，经若干次旋转后趋向坐标原点，原点为“吸引子”，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动点。,1. 整相平面被通过鞍点G与G的轨线分成三个区域。 2. 在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似。 3. 鞍点的位置仍在原处。,任意摆角下的相图,1. 阻尼单
7、摆 不动点,运动 从倒立开始往下摆，由于能量耗散达不到原有高度。 轨线 从一个鞍点出发到不了另一鞍点，分界线被破坏了。 相流 所有中间区域的相点流向坐标原点。原点是该区域的不动点，是该区域吸引子。左右两个区域也有相应的吸引子，它们分别处在该图左( -2p )和右(+2p )两侧。,2. 杜芬方程,数学上将含有 三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为： 例：弱非线性单摆属Duffing方程： 取： 得：,杜芬方程,研究无驱无阻尼杜芬方程： 积分得： 由系统能量 知：,势能曲线,2. 杜芬方程,势能曲线,2. 杜芬方程,势能： 讨论：由 知： 1. 当 时有一个平衡点： 2. 当
8、时有三个平衡点： 3. 平衡点 为两个能量最小点,相图,2. 杜芬方程,从杜芬方程势能曲线，画出( ）平面上的相轨线。 1. 对于 ，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道; 2. 对于 ,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 处是椭圆点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。 3. 对于 ,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同宿点。,相图,有阻尼： 1. 所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。 2. ，原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. ，原点是鞍点，坐标( )处两不动点，是吸引子。整个相平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。,阻尼方程相图,