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1、1, 数学分析续论 模 拟 试 题 复习辅导课件2005年月,2,一、单项选择题 （）设 为一数列，且存在一收敛子列 这时下面正确的是 D ； 可能收敛，但 A 不一定成立； 必定不收敛； 当预先假设了 收敛时，才有成立,3,理由 收敛的充要条件为： 的所有 子列 都收敛，此时才有成立；而当只有一个 子列收敛时，原数列不一定收敛 思考题 当假设 为一特殊的数列（例如 单调数列）时，结论将有何改变？,4,（），它等价于 B 当 ； 在 中除有限个项以外，其余所有 的项都落在邻域 之内； 都收敛； 中有无穷多个子列都收敛于 ,5,理由 与 的定义显然是等 价的；它也可说成是：“ 在邻域外， 至多只
2、有有限个项 ” 再有, 因 中未假设 的极限相等； 而中所说的 “无穷多个子列 ”并不等同于“ 所有子列 ”， 所以这些都是错误的,6,（）设 在 R 上为一连续函数这时下面正确 的是 A 当 为闭区间时，必为闭区间； 当为闭区间时，必为闭区间； 当 为开区间时，必为开区间； 以上 、 都不一定成立,7,理由 依据连续函数在闭区间上的最大（小）值 定理与介值性定理，可知 A 是正确的容易举出反例 , 说明 B 与 C 都是错的，例如： 思考题当把 与 中的所有 “闭区间” 改为 “开区间” 时，结论又将如何？,8,（）设 为一正项级数这时下面错误的 是 C 若 收敛，则 ； 若 ，则 收敛 ；
3、 C若 收敛，则 ； 以上、 中必有一个是错的,9,理由因为 是正项级数 收敛 的一个充分条件（不是必要条件）；而 是一般级数收敛的一个必要条件（不是充分 条件），所以错误的结论只有 C ,10,二、计算题 （）试求下列极限： 解 = ,11,求 解 利用性质 （其中 为 连续函数），借助洛必达法则，有 ,12,13,14,15,16,依据 Lagrange 乘数法，设 ， 且令 通过消去 ，容易得到方程 ，由此解 出 ,17,显然不合要求（三角形退缩为一点）；而当 时，这时所求三角形的面积为最大： 注 用 代入 , 将得到一个不等式 思考题 当把题中的圆改为椭圆 时，得 出的结果将会怎样？请
4、大家自己去算一算,18,三、证明题 （） 证明：方程 必有正根， 其中 为任意正数 证证明需要用到连续函数的介值性定理， 即若 上为一连续函数， ， 则 内必能取得 之间的 一切值,19,设 ，显然它在上连续 因 ，故由无穷大 量的定义，对于任意的 ， ，使得 ， 现取 ，于是有 根据介值性定理，必定 ，满足 ,20,（）证明：若 ， 收敛，则 亦 收敛 证由于 收敛，因此 ，于是当 足够大时， ，从而又有 依据 正项级数的比较判别法，推知 收敛,21,注 也可利用比较判别法的极限形式，由 ， 同样证得 收敛 注 当 为一般项级数时，不能直接使 用比较判别法事实上，上述命题一般不成立，例如： 为收敛，而 却为发散,22,bye-bye,