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1、构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考 查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。 那么如何构 造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120角或60角，常补形构造等边三角形。1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。 ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点,且 BE=CF，EF 交 BC 于 D，求证 DE=DF.点拔:若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三
2、角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。证明：过E作EG / AC交BC于G/ 仁/ACB，/ 2=Z F AB=AC/ B=Z ACB/ 仁/B BE=GE BE=CF GE=CF在厶EDG和厶FDC中/ 3=Z 4/ 2=Z FGE=CF DE=DF评注:此题过E作AC的平行线后，构造了等腰 BEG，从而达到转化线段的目的2、依据倍角关系构造等腰三角形例2:如图。 ABC中，/ ABC=2 / C, AD是/ BAC的平分线求证：AB+BD=AB腰三角形，问题即可解决证明：延长CB至E,使BE=BA，点拔:在已知条件中出现了一个角是另一个角的 2倍，可延
3、长CB,构造等连接AE BE=BAvZ ABC=2 / C, / ABC= / E+Z BAE=2 / E/ C=Z EAC=AEv AD 平分Z BACZ 1 = Z 2Z EAD= Z BAE+ Z 1 = Z E+Z 1 = Z C+Z 2=Z BDA EA=EDvED=EB+BD，EB=AB，AC=AE- AC=AB+BD评注:当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例 3,如图。 ABC 中，AB=AC，/ BAC=90, BF 平分/ ABC , CD丄 BD交BF的延长线于D，求证：BF=2CD点拔
4、:遇到BD平分/ ABC且BD丄CD，可延长CD、BA交于E,使角平分线BD又成为底边上的中线和高。证明：分别延长BA、CD交于点Ev CD 丄 BD/ BDC= Z BDE=90 / 1 + Z E=90vZ BAC=90 / 3+Z E=90在厶BAF和厶CAE中EAB=AC/ BAC= / CAE=90 BF=CE心 BDE和厶BCD中BD=BD/ BDE= / BDCCD=EDCE=2CDvBF=CE BF=2CD评注:当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时，通常延长此线段与角的另一边相交，我们就可以寻找到等腰三角形4、依据60角或120角，常补形构造等边三角形例 4,、如图。/ B
5、AD=120 BD=DC AB+AD=AC求证：AC平分/ BAD点拨:由AB+AD=A，应延长BA,将AB+ADM中成为一条线段，使AE=AD则/ EAD=60 ADE为等边三角形，余下的只要证/ CAD=60既得证明：延长BA到E,使AE=AD连接DEvZ BAD=120/ DAE=180-120=60又 AE=AD DAE是等边三角形 DE=AD Z E=60v BE=AB+AE AC=AB+ADAE=AD BE=AC在厶 BDE?3 CDA中BD=CDBE=CADE=AD BDEA CDAZ CADZ E=60vZ BAD=120 Z BACZ CAD=60 AC平分Z BAD评注:在三角形的问题中，120 角也是常见角，可以利用120 的外角找到60的角，经过添加线段的关系，构造等边三角形