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1、第三节 泰勒级数,二、泰勒定理,三、将函数展开成泰勒级数,一、问题的引入,四、典型例题,五、小结与思考,1,教育教学,一、问题的引入,问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？,如图:,2,教育教学,由柯西积分公式 , 有,其中 K 取正方向.,则,3,教育教学,4,教育教学,由高阶导数公式, 上式又可写成,其中,可知在K内,5,教育教学,令,则在K上连续,6,教育教学,即存在一个正常数M,7,教育教学,从而在K内,泰勒级数,8,教育教学,由上讨论得重要定理泰勒展开定理,9,教育教学,二、泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,泰勒介绍,10,教育教学,说明:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要
2、比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?),4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(为什么?),11,教育教学,因为解析，可以保证无限次可各 阶导数的连续性;,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就 要比实变函数广阔的多.,注意,问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？,12,教育教学,那末,即,因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.,13,教育教学,三、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,14,教育教学,例如，,故有,15,教育教学,仿照上例 ,16,教育教学,2. 间接展开法 :,借助
3、于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .,17,教育教学,例如，,18,教育教学,附: 常见函数的泰勒展开式,19,教育教学,20,教育教学,例1,解,四、典型例题,21,教育教学,上式两边逐项求导,22,教育教学,例2,分析,如图,23,教育教学,即,将展开式两端沿 C 逐项积分, 得,解,24,教育教学,例3,解,25,教育教学,例4,解,26,教育教学,例5,解,27,教育教学,例6,解,即
4、微分方程,对微分方程逐次求导得:,28,教育教学,29,教育教学,五、小结与思考,通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记 五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成 泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数 展开成泰勒级数.,30,教育教学,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,31,教育教学,奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,32,教育教学,泰勒资料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England,Brook Taylor,33,教育教学,作业：,P114 8. (2)(3).,34,教育教学,