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1、第十讲棋盘中的数学（一）什么是棋盘中的数学所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1），围棋盘（下图（2），还有国际象棋棋盘（下图（3）以这些棋盘为背景而提出 的问题统称为棋盘问题这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就 叫做棋盘中的数学问题解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统 称棋盘中的数学.-1|-1L0JLr1rnr-irILJLLLJr 厂1L11rkJHIr/3(2)业%作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题.例1这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）.黑方有一个“象”，它只能在 1,2, 3, 4, 5, 6, 7位置中的一个，红方有两个
2、“相”，它们只能在8,9， 10, 11, 12, 13, 14中的两个位置.4123问：这三个棋子(一个黑“象”和两个红“相”)各在什么位置 时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位则小方格正方形面积为1 平方单位.由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积 的一半所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所 在边的外接长方形面积的大小就可见端倪.直观可见，只须比较(3, 10, 12)或(2, 10, 12)与(3, 10, 13)或(2, 12, 14)这两类三角形面积就可以了.顶点为(3, WT 12)或(2, 10,
3、12)的三角形面积为，1-X 8X7= 2S.2顶点为(3, 10, 13)或(2, 12, 14)的三角形面积等于：丄 9X 6= 27.2所以顶点在(2, 10, 12)或(3, 10, 12)时三角形面积最大.答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10, 12的位置 时，以这三个棋子为顶点的三角形(2, 10, 12)或(3, 10, 12)的面 积最大，如下图所示.10412说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积.其实，这类问 题所在多有，我们把mxn的方格阵称为广义棋盘，贝冋以设计出许多 这类的问题.例2下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上 放，当按格点
4、摆成某个正方阵时，尚多余 12枚棋子，如果要将这个正方 阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差 9枚棋子才能摆满.二问：这堆棋子原有多少枚?解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的 9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分(如下图所示)，共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和恰是两个相邻自然数之 和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子这堆棋子 总数是102+ 12= 112 枚.答：这堆棋子原有112枚.说明：本题也可以列方程求解.设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：(m+ 1) 2-9= m2 + 12.即 2m+ 1= 21，解得m= 10.所以
5、棋子总数为102+ 12= 112枚.本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个 实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差 9枚棋 子，问这堆棋子原有多少枚？ ”应用围棋盘显得更加直观、具体.例3如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑 格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不 能第二次进入请问，蚂蚁能否从 A出发，经过每个格子最后返回到 A 处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由.%伤%n*亠十4i jLI*1A5p|(1) (1) 解：这种爬行路线是存在的具体的设计一条，如右图所示.例4在8X 8的方格棋盘中，如
6、下图所示，填上了一些数字 1，2, 3, 4试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字.211121443333442分析注意这个正方形的面积是8X 8二64个平方单位，因此切分后 的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成.解：将两个并列在一起的“ 4” 分别绕中心旋转90, 180和270 (1)所示.分开，先画出这段划分线，并将它，得到另外三段划分线，如下图2111214433344222111144331 334422(1) (1) 仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图(2)所示.(1) 从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上
7、图（3）,这个分块中要含1, 2, 3, 4各一个，且恰为16块小方格. 将上面的阴影部分绕中心旋转180。，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示.例5国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇 后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋 子，如下左图上虚线所示如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整 个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉.请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋 盘？解：本题是构造性的题目用五个子管住六十四格，如上右图所示 就是一种放置皇后的方案.例6如下图是半张棋盘，请
8、你用两个车、两个马、两个炮、一个相 和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八 个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所 能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置马走“日” 字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）.LJLJ|厂r11厂/1r解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的 阵势即可，如下图所示.本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是： 以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际 象棋盘更为一般的提法是 mxn方格上的数学问题. 这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类 型，这些问题一
9、般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题.习题十1在4X 4的棋盘中每一格分别填入字母 A、B、C、D 要求每 行、每列、两条斜线的四个格都恰有 A、B、C、D各一个.2. 把A、B、C、D四个棋子放在4X4的棋盘的方格里，使每行每 列只能出现一个棋子问共有多少种不同的放法？3. 下页第一图是16X 16棋盘，每个小正方格面积都是1，求图中 这只狗所占的图形的面积.4. 中国象棋规定马走“日”字.定义：在中国象棋盘上从点A到B马走的最少步数称为A与B的马步距离，记作| AB | m.如下图在3X 3 的棋盘格中，标出了 A、B、C、D、E五个点，则在| AB | m | AC | m,| AD | m,| AE | m中最大者是多少？最小者是多少？ 亠!= I ewtj u 沁s ( IUJULlU口unr 专 egCPaaMr LEO QU ElClf frBrwnnann5. 在6X 6的棋盘中至少要放入多少个棋子，（每个小方格内至多 放一个），才能使得随意划掉3行3列上的棋子后，在剩下的方格中至 少要留有一枚棋子？