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1、20182018年全国卷 （理科）年全国卷 （理科） 一、 单选题： 本题共一、 单选题： 本题共 1212小题,每小题小题,每小题 5 5分,共分,共6060分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.的. 1.1.【2018全国理1】 设z= 1-i 1+i +2i,则|z|= ( C ) A. 0B. 1 2 C. 1D.2 【解析】【解析】 z= 1-i 1+i +2i= (1-i)(1-i) (1-i)(1+i) +2i=-i+2i=i,则|z|=1. 【答案】【答案】 C. 2.2.【2018全国理2】 已知集合A=x|
2、x2-x-20,则R RA= ( B ) A. x|-1x2B. x|-1x2 C. x|x2D. x|x-1x|x2 【解析】【解析】 集合A=x|x2-x-20,可得A=x|x2,则： R RA=x|-1x2. 【答案】【答案】 B. 3.3.【2018全国理3】 某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番. 为更好地 了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如 下饼图： 则下面结论中不正确的是 ( A ) A. 新农村建设后,种植收入减少 B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍
3、 D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【解析】【解析】 设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a. A项,种植收入37%2a-60%a=14%a0,故 建设后,种植收入增加,故 A 项错误. B 项,建设后,其他收入为 5% 2a = 10%a,建设前,其他收入为 4%a,故10%a4%a=2. 52,故B 项正确. C 项,建设后,养殖收入为30%2a=60%a,建设前,养殖 收入为 30%a,故 60%a 30%a = 2,故 C 项正确. D 项,建设后,养殖收入与第三产业收入总和为 (30%+28%)2a=58%2a,经济收入为2a,故(58%2a)
4、2a=58%50%,故D项正确. 因为是选 择不正确的一项. 【答案】【答案】 A. 龙纹盒子龙纹盒子 第1页 共10页 4.4.【2018全国理4】 记Sn为等差数列an的前n项和. 若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= ( B ) A. -12B. -10C. 10D. 12 【解析】【解析】 根据题意得： 3(3a1+ 32 2 d)=a1+a1+d+4a1+ 43 2 d, 把a1=2,代入得d=-3,a5=2+4(-3)=-10. 【答案】【答案】 B. 5.5.【2018全国理5】 设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax. 若 f(x)为奇函数,则曲线y= f(x)在点(
5、0,0)处 的切线方程为 ( D ) A. y=-2xB. y=-xC. y=2xD. y=x 【解析】【解析】 函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x), 即-x3+(a-1)x2-ax=-(x3+(a-1)x2+ax)=-x3-(a-1)x2-ax. 所以， (a-1)x2=-(a-1)x2,可得a=1,所以函数 f(x)=x3+x,可得 f(x)=3x2+1, 曲线y= f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为： 1,则曲线y= f(x)在点(0,0)处的切线方程为： y=x. 【答案】【答案】D. 6.6.【2018全国理6】 在ABC
6、中,AD为BC 边上的中线,E 为AD的中点,则EB = ( A ) A. 3 4 AB - 1 4 AC B. 1 4 AB - 3 4 AC C. 3 4 AB + 1 4 AC D. 1 4 AB + 3 4 AC 【解析】【解析】 EB =AB -AE =AB - 1 2 AD =AB - 1 2 1 2 (AB +AC )= 3 4 AB - 1 4 AC . 【答案】【答案】A. 7.7.【2018全国理7】 某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的 对应点为A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M 到N 的路
7、径中,最 短路径的长度为 ( B ) A B A. 2 17B.2 5C. 3D. 2 【解析】【解析】 由题意可知几何体是圆柱,底面周长16,高为： 2,直观图以及侧面展开图如图： 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长 度： 22+42=2 5. 【答案】【答案】 B. 龙纹盒子龙纹盒子 第2页 共10页 8.8.【2018 全国 理 5】 设抛物线 C : y2= 4x 的焦点为 F,过点 (-2,0) 且斜率为 2 3 的直线与 C 交于 M, N 两点,则FM FN = ( D ) A. 5B.6C. 7D. 8 【解析
8、】【解析】 抛物线C :y2=4x的焦点为F(1,0),过点(-2,0)且斜率为 2 3 的直线为： 3y=2x+4,联立直线 与抛物线C :y2=4x,消去x可得： y2-6y+8=0,解得y1=2,y2=4,不妨M(1,2),N(4,4),FM =(0,2), FN =(3,4). 则FM FN =(0,2)(3,4)=8. 【答案】【答案】 D. 9.9.【2018全国理9】 已知函数 f(x)= ex,x0 lnx,x0 ,g(x)= f(x)+x+a. 若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ( C ) A. -1,0)B. 0,+)C. -1,+)D. 1,+) 【解析】【解析】
9、 由g(x)=0得 f(x)=-x-a,作出函数 f(x)和y=-x-a的图象如图： x y 当直线y=-x-a的截距-a1,即a-1时,两个函数的图象都有2个交点, 即函数g(x)存在2个零点,故实数a的取值范围是-1,+). 【答案】【答案】 C. 10.10. 【2018全国理10】 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成,三 个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC,直角边AB,AC. ABC 的三边所围成的区域记为 I,黑色部分记为,其余部分记为. 在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为 p1,p2,p3,则 ( A ) A B C A.
10、 p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D. p1=p2+p3 【解析】【解析】 如图， 设BC =2r1,AB =2r2,AC =2r3,r2 1=r 2 2+r 2 3, S= 1 2 4r2r3=2r2r3,S= 1 2 r2 1-2r2r3, S= 1 2 r2 3+ 1 2 r2 2-S= 1 2 r2 3+ 1 2 r2 2- 1 2 r2 1+2r2r3=2r2r3,S=S,P1=P2. 【答案】【答案】 A. 龙纹盒子龙纹盒子 第3页 共10页 11.11. 【2018全国理11】 已知双曲线C : x2 3 -y2=1,O为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的
11、两条渐近线的交点分别为M,N. 若OMN 为直角三角形,则|MN|= ( B ) A. 3 2 B. 3C.2 3D. 4 【解析】【解析】 双曲线C : x2 3 -y2=1的渐近线方程为： y= 3 3 x,渐近线的夹角为： 60,不妨设过F(2,0)的 直线为： y=3(x-2),则 y=- 3 3 x y= 3(x-2) ， 解得M( 3 2 ,- 3 2 ), y= 3 3 x y= 3(x-2) 解得， N(3, 3),则|MN|= (3- 3 2 )2+( 3 + 3 2 )2=3. 【答案】【答案】 B. 12.12. 【2018全国理12】 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直
12、线与平面所成的角都相等,则截此正方 体所得截面面积的最大值为 ( A ) A. 3 3 4 B. 2 3 3 C. 3 2 4 D. 3 2 【解析】【解析】 正方体的所有棱中,实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,如图： AB C D A1 B1 C1 D1 所示的正六边形平行的平面,并且正六边形时, 截此正方体所得截面面积的最大,此时正六边形的边 长 2 2 ,截此正方体所得截面最大值为： 6 3 4 ( 2 2 )2= 3 3 4 . 【答案】【答案】 A. 二、 填空题： 本题共二、 填空题： 本题共4 4小题,每小题小题,每小题5 5分,共分,共2020分.分.
13、13.13. 【2018全国理13】 若x,y满足约束条件 x-2y-20 x-y+10 y0 ,则z=3x+2y的最大值为6. 【解析】【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图： 3 2 1 43214321 3 2 1 x y 由z=3x+2y得y=- 3 2 x+ 1 2 z,平移直线y=- 3 2 x+ 1 2 z,由图象知当直线y=- 3 2 x+ 1 2 z经过点A (2,0)时,直线的截距最大,此时z最大,最大值为z=32=6. 【答案】【答案】 6 龙纹盒子龙纹盒子 第4页 共10页 14.14. 【2018全国理14】 记Sn为数列an的前n项和. 若Sn=2an+1,则S6
14、=-63 . 【解析】【解析】 Sn为数列an的前n项和,Sn=2an+1, 当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=-1, 当n2时,Sn-1=2an-1+1, 由-可得an=2an-2an-1,an=2an-1, an是以-1为首项,以2为公比的等比数列, S6= -1(1-26) 1-2 =-63. 【答案】【答案】 -63 15.15. 【2018全国理15】 从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选 法共有16种. (用数字填写答案) 【解析】【解析】 方法一： 直接法,1女2男,有C1 2C 2 4=12,2女1男, 有C2 2C 1 4=4,根据
15、分类计数原理可得,共有12+4=16种, 方法二,间接法： C3 6-C 3 4=20-4=16种. 【答案】【答案】 16. 16.16. 【2018全国理16】 已知函数 f(x)=2sinx+sin2x,则 f(x)的最小值是 - 3 3 2. 【解析】【解析】 由题意可得T =2是 f(x)=2sinx+sin2x的一个周期, 故只需考虑 f(x)=2sinx+sin2x在0,2)上的值域,先来求该函数在0,2)上的极值点, 求导数可得 f(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1), 令 f(x)=0可解得cosx= 1
16、2 或cosx=-1,可得此时x= 3 ,或 5 3 ； y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x= 3 ,或 5 3 和边界点x=0中取到, 计算可得 f ( 3 )= 3 3 2 , f()=0, f ( 5 3 )=- 3 3 2 , f(0)=0,函数的最小值为- 3 3 2 . 【答案】【答案】 - 3 3 2 . 龙纹盒子龙纹盒子 第5页 共10页 三、 解答题： 共三、 解答题： 共7070分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第1717 2121题为必考题,每个试题考生都必题为必考题,每个试题考生都必 须作答.第须作答
17、.第2222、 2323题为选考题,考生根据要求作答.题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题： 共(一)必考题： 共6060分。分。 17.17. 【2018全国理17】 在平面四边形ABCD中,ADC =90,A=45,AB =2,BD=5. (1)求cosADB； (2)若DC =2 2,求BC. 【解析】【解析】 (1)ADC =90,A=45,AB =2,BD=5. 由正弦定理得： AB sinADB = BD sinA ,即 2 sinADB = 5 sin45 ,sinADB = 2sin45 5 = 2 5 , AB BD,ADB A,cosADB =1-( 2 5 )2=
18、 23 5 . (2)ADC =90,cosBDC =sinADB = 2 5 , DC =2 2,BC =BD2+DC2-2BDDC cosBDC =25+8-252 2 2 5 =5. 18.18. 【2018 全国 理 18】 如图,四边形 ABCD 为正方形, E, F 分别为 AD, BC 的中点,以 DF 为折痕把 DFC 折起,使点C 到达点P的位置,且PF BF. (1)证明： 平面PEF 平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. A B C D E F P 【答案】【答案】 (1)证明： 由题意,点E、 F 分别是AD、 BC 的中点, 则AE = 1 2
19、AD,BF = 1 2 BC, 由于四边形ABCD为正方形,所以EF BC. 由于PF BF,EF PF =F,则BF 平面PEF. 又因为BF 平面ABFD,所以： 平面PEF 平面ABFD. (2)在平面PEF 中,过P作PH EF 于点H,连接DH, 由于EF 为面ABCD和面PEF 的交线,PH EF, 则PH 面ABFD,故PH DH. 在三棱锥P-DEF 中,可以利用等体积法求PH, DE/BF 且PF BF,PF DE, 又PDF CDF,FPD=FCD=90,所以PF PD, 由于DE PD=D,则PF 平面PDE,故VF-PDE= 1 3 PF SPDE, BF DA且BF
20、面PEF,DA面PEF, DE EP. 设正方形边长为2a,则PD=2a,DE =a, 在PDE 中,PE =3a,所以SPDE= 3 2 a2,故VF-PDE= 3 6 a3, 又SDEF= 1 2 a2a=a2,PH = 3VF-PDE a2 = 3 2 a,所以在PHD中,sinPDH = PH PD = 3 4 , 即PDH 为DP与平面ABFD所成角的正弦值为： 3 4 . 龙纹盒子龙纹盒子 第6页 共10页 19.19. 【2018全国理19】 设椭圆C : x2 2 +y2=1的右焦点为F,过F 的直线l与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,
21、求直线AM 的方程； (2)设O为坐标原点,证明： OMA=OMB. 【解析】【解析】 (1)c=2-1 =1,F(1,0),l与x轴垂直,x=1, 由 x=1 x2 2 +y2=1 ,解得 x=1 y= 2 2 或 x=1 y=- 2 2 ,A(1. 2 2 ),或(1,- 2 2 ), 直线AM 的方程为y=- 2 2 x+2,y= 2 2 x-2, (2)证明： 当l与x轴重合时,OMA=OMB =0, 当l与x轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,OMA=OMB, 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1),k0, A(x1,y1),B(x2,y2),则x12,x22,
22、直线MA,MB 的斜率之和为kMA,kMB之和为kMA+kMB= y1 x1-2 + y2 x2-2 , 由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB= 2kx1x2-3k(x1+x2)+4k (x1-2)(x2-2) , 将y=k(x-1)代入 x2 2 +y2=1可得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, x1+x2= 4k2 2k2+1 ,x1x2= 2k2-2 2k2+1 , 2kx1x2-3k(x1+x2)+4k= 1 2k2+1 (4k3-4k-12k3+8k3+4k)=0, 从而kMA+kMB=0,故MA,MB 的倾斜角互补,OMA=OMB, 综上OMA=OMB.
23、 龙纹盒子龙纹盒子 第7页 共10页 20.20. 【2018全国理20】 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作 检验,如检验出不合格品,则更换为合格品. 检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果 决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 p0,当p(0. 1,1)时, f(p)400, 应该对余下的产品进行检验. 龙纹盒子龙纹盒子 第8页 共10页 21.21. 【2018全国理21】 已知函数 f(x)= 1 x -x+alnx. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)存在两个极值点x1,x2,
24、证明：f(x1)- f(x2) x1-x2 0恒成立,即 f(x)0时,判别式=a2-4, 当02时,x, f(x), f(x)的变化如下表： 记x1= a-a2-4 2 ,x2= a+a2-4 2 , x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+) f(x)-0+0- f(x)递减递增递减 综上当 a 2 时, f(x) 在 (0,+) 上是减函数,当 a 2 时,在 (0, a-a2-4 2 ),和 ( a+a2-4 2 ,+) 上 是减函数， 在( a-a2-4 2 , a+a2-4 2 )上是增函数. (2)由(1)知a2,0 x11x2,x1x2=1, 则 f(x1)- f(x2)
25、=(x2-x1)(1+ 1 x1x2 )+a(lnx1-lnx2)=2(x2-x1)+a(lnx1-lnx2), 则 f(x1)- f(x2) x1-x2 =-2+ a(lnx1-lnx2) x1-x2 ,则问题转为证明 lnx1-lnx2 x1-x2 x1-x2,则lnx1-ln 1 x1 x1- 1 x1 ,即lnx1+lnx1x1- 1 x1 , 即证2lnx1x1- 1 x1 在(0,1)上恒成立,设h(x)=2lnx-x+ 1 x ,(0 x1),其中h(1)=0, 求导得h(x)= 2 x -1- 1 x2 =- x2-2x+1 x2 =- (x-1)2 x2 h(1),即2lnx
26、-x+ 1 x 0, 故2lnxx- 1 x ,则 f(x1)- f(x2) x1-x2 2,得0 x11x2,x1= 1 x2 , 可得 f(x2)+ f( 1 x2 )=0,即 f(x1)+ f(x2)=0, 要证 f(x1)- f(x2) x1-x2 a-2,只要证 -f(x2)- f(x2) x1-x2 a-2,即证2alnx2-ax2+ a x2 1), 构造函数h(x)=2alnx-ax+ a x ,(x1),h(x)= -a(x-1)2 x2 0, h(x)在(1,+)上单调递减,h(x)h(1)=0,2alnx-ax+ a x 0成立, 即2alnx2-ax2+ a x2 1)
27、成立. 即 f(x1)- f(x2) x1-x2 1的解集； (2)若x(0,1)时不等式 f(x)x成立,求a的取值范围. 【解析】【解析】 (1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|= 2,x1 2x,-1x1 -2,x1, 2x1 -1x1 或 21 x1 ,解得x 1 2 , 故不等式 f(x)1的解集为( 1 2 ,+), (2)当x(0,1)时不等式 f(x)x成立,|x+1|-|ax-1|-x0, 即x+1-|ax-1|-x0,即|ax-1|1, -1ax-11,0ax0,0 x 2 a , a2,0a2, 故a的取值范围为(0,2. 龙纹盒子龙纹盒子 第10页 共10页