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1、授课：XXX,1,第九章 资产组合理论,第一节 马科维茨资产组合理论概述 第二节 马科维茨模型,授课：XXX,2,第一节 马科维茨资产组合理论概述,一、前提假设 （1）单一期间是指投资者持有资产的期间是确定的，在期间开始时持有证券并在期间结束时售出。由此即简化了对一系列现金流的贴现和对复利的计算。 （2）终点财富的预期效用最大化 。因为财富最大化本身不是投资者的目标，而效用这一概念既包括了财富的期望值，也考虑了获得这种预期财富的不确定性，即风险效用的最大化才是投资者真正追求的目标。,授课：XXX,3,（3）证券市场是有效的。即该市场是一个信息完全公开、信息完全传递、信息完全解读、无信息时滞的市
2、场。 （4）投资者为理性的个体，服从不满足（餍足）和风险厌恶的行为方式；影响投资决策的变量是预期收益和风险两个因素；在同一风险水平上，投资者偏好收益较高的资产组合；在同一收益水平上，则偏好风险较小的资产组合。 （5）投资者在单一期间内以均值和方差标准来评价资产和资产组合。该前提隐含证券收益率的正态分布假设，正态分布的特性在于随机变量的变化规律通过两个参数就可以完全确定，即期望值和方差。,授课：XXX,4,二、风险厌恶型投资者的无差异曲线,投资者无差异曲线 资本市场的无差异曲线表示在一定的风险和收益水平下（即在同一曲线上），投资者对不同资产组合的满足程度是无区别的，即同等效用水平曲线，如图。图中
3、，纵轴E(r)表示预期收益，横轴为风险水平。 E(r) C B A E(r3) E(r2) E(r1) 1 2 ,授课：XXX,5,风险厌恶型投资者无差异曲线的特点 1，斜率为正。即为了保证效用相同，如果投资者承担的风险增加，则其所要求的收益率也会增加。对于不同的投资者其无差异曲线斜率越陡峭，表示其越厌恶风险：即在一定风险水平上，为了让其承担等量的额外风险，必须给予其更高的额外补偿；反之无差异曲线越平坦表示其风险厌恶的程度越小。,授课：XXX,6,2，下凸 。这意味着随着风险的增加要使投资者再多承担一定的风险，其期望收益率的补偿越来越高。如图，在风险程度较低时，当风险上升（由12），投资者要求
4、的收益补偿为E(r2)-E(r1)；而当风险进一步增加，虽然是较小的增加（由2 3），收益的增加都要大幅上升为E(r3)。这说明风险厌恶型投资者的无差异曲线不仅是非线性的，而且该曲线越来越陡峭。这一现象实际上是边际效用递减规律在投资上的表现。,授课：XXX,7,3，不同的无差异曲线代表着不同的效用水平。越靠左上方无差异曲线代表的效用水平越高，如图中的A曲线。这是由于给定某一风险水平，越靠上方的曲线其对应的期望收益率越高，因此其效用水平也越高；同样，给定某一期望收益率水平，越靠左边的曲线对应的风险越小，其对应的效用水平也就越高。此外，在同一无差异曲线图（即对同一个投资者来说）中，任两条无差异曲线
5、都不会相交。,授课：XXX,8,三、风险资产的可行集,通过给出风险资产的可行集，并从中分离出有效集，是从理论上确定投资者投资组合的另一基础性工具。 所谓风险资产的可行集（Feasible Set ）是指资本市场上由风险资产可能形成的所有投资组合的期望收益和方差的集合。将所有可能投资组合的期望收益率和标准差的关系描绘在期望收益率-标准差坐标平面上，封闭曲线上及其内部区域表示可行集。 假设由两种资产构成一个资产组合，这两种资产的相关系数为1121。当相关系数分别在121和121时，可以得到资产组合可行集的顶部边界和底部边界。其他所有可能的情况则在这两个边界之中。,授课：XXX,9,首先我们考虑如果
6、两种资产完全正相关，即121，则组合的方差为： p(w1)=w11+(1-w1)2 （4.1） 式中p、1和2分别为资产组合、资产1和资产2的标准差；w1为资产1在组合中的比重，(1-w1)即是资产2在组合中的比重。 组合的预期收益为： (w1)= w1+ (1-w1) （4.2） 当w11时，则有p=1，rp=r1 当w10时，即有p=2，rp=r2 因此，该可行集为连接（ ，1）和（ ，2）两点的直线。如图。,授课：XXX,10,E(rp) r1-,1 r2-,2 p 如果两种资产完全负相关，即12 =-1，则有： 和： (w1)=w1 +(1-w1) 当w1=2/(1+2)时，p=0,授
7、课：XXX,11,当w12/(1+2)时，p(w1)=w11-(1-w1)2,则可得到： W1=f(p) 从而有： (p)= +(1- ) = 同理： 当w12/(1+2)时，p(w1)=(1-w1)2-w11,则 (p)= 也就是说，完全负相关的两种资产所构成的组 合的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。 如图,授课：XXX,12,E(rp) r1-,1 r2-,2 根据以上推导，在各种可能的相关系数下，两种风险资产构成的可行集如图所示。由图可见，可行集曲线的弯曲程度取决于相关系数，当相关系数由1向1转变时，曲线的弯曲程度逐渐加大：当相关系数为1时，曲线是一条直线，即没有弯曲；当相关系数
8、为1时，曲线成为折线，即弯曲程度达到最大；当1121时，曲线即介于直线和折线之间，成为平滑的曲线。,授课：XXX,13,E(rp) ( ,1) 12=-1 12=1 12=0 ( ,2) 考虑到一方面在现实中我们在资本市场上很难找到完全负相关的原生性资产，另一方面，进行资产组合的目的之一就是通过降低资产之间的相关性来降低投资风险。因此在一个实际资产组合中一般不会存在相关系数为1或1的情况。也就是说，正常的可行集应是一条有一定弯曲度的平滑曲线。,授课：XXX,14,四、资产组合的有效边界,有效集原则 :（1）投资者在既定风险水平下要求最高收益率；（2）在既定预期收益率水平下要求最低风险。 为了更
9、清晰地表明资产组合有效边界的确定过程，这里我们集中揭示可行集左侧边界的双曲线FMH。该双曲线上的资产组合都是同等收益水平上风险最小的组合，如图，既定收益水平E(r1)下，边界线上的a点所对应的风险为4，而同样收益水平下，边界线内部的b点所对应的风险则上升为5。因此该边界线称为最小方差资产组合的集合。,授课：XXX,15,FMH双曲线左侧端点处的M点，其资产组合是所 有最小方差资产组合集合中方差最小的，被称为最 小方差资产组合MPV。图中，M点左侧的c点，其对应 的风险水平为1，但它脱离了可行集；M点右侧的d 点，则在同样收益E(r2)水平下，风险上升为3。 也就是说，同时满足前述两条有效集原则
10、的只剩下 弧MH边界,称为有效集，亦即资产组合的有效边界。 E(r) H E(r1) a b E(r2) c M d F 1 2 3 4 5 ,授课：XXX,16,练习,选择两只股票，（或者债券，或者基金等），自行计算其在某一时期的方差、协方差和期望收益，并构造出其有效前沿。,授课：XXX,17,五、最优资产组合的确定,由于有效边界上凸，而效用曲线下凸,所以两条 曲线必然在某一点相切，切点代表的就是为了达到 最大效用而应该选择的最优组合。 不同投资者会在资产组合有效边界上选择不同 的区域。风险厌恶程度较高的投资者会选择靠近端 点的资产组合；风险厌恶程度较低的投资者，会选 择端点右上方的资产组合
11、。如图。,授课：XXX,18,授课：XXX,19,第二节 马科维茨模型,构造最优投资组合的过程，就是在所有可以实施的组合集中，选择那些期望收益率固定时风险最小、或风险固定时期望收益率最大的组合。因此，这一过程是一个非线性规划问题。,授课：XXX,20,一、模型,1，假设构造风险最小的组合，则目标函数为： 式中wi，wj分别为证券i和j所占的比重（权数），ijijij，ij为证券i和j的相关系数。,授课：XXX,21,上式的约束条件为： 且 式中， 为证券i的期望收益， 为组合的期望 收益。 2，假设是两证券的组合，则该组合的期望收益 率和方差分别为： w1 +(1-w1),授课：XXX,22,
12、=w1212+(1-w1)222+2w1(1-w1)12 3，构造拉各朗日函数： L= - -w1 -(1-w1) 4，求最优解，得： 通过对上式求解，可得w1的唯一解或边界解，从而可得到w2的值，最终构造出组合。,授课：XXX,23,二、有效集方程组,对于均值为 的有效投资组合（允许卖空），其组合中n个资产的权重wi(i=1,2,n)与两个拉格朗日乘数，满足： （1） （2） （3） 公式（1）中有n个方程，再加上（2）、（3）两式，得到n+2个方程组成的方程组，相应地，有n+2个未知数wi,和。因此，求解后将得到均值为r-的一个有效投资组合的权数。,授课：XXX,24,例题,假设有3个不相
13、关的资产，其各自的均值分别为1，2，3，各资产的方差和协方差分别为1和0。确定各产的投资比例及该组合的方差。,授课：XXX,25,解：根据题意，有： 1222321；1223130。因 此，公式（1）变为： w1-=0 w2-2-=0 w3-3-=0 公式（2）、（3）变为： w1+2w2+3w3= w1+w2+w3=1 由公式（1）变形后的方程组解出w1,w2,w3，并 将其代入公式（2），（3）变形后的方程组，得 到：,授课：XXX,26,146 6+31 解该方程组，得： ， 。将该结果代入方程组1，得： w1=(4/3)-(r-/2) w2=1/3 w3=(r-/2)-(2/3) 据此
14、，求解标准差有： ,授课：XXX,27,马科维茨模型的矩阵表示,在矩阵形式下，最有资产组合的选择问题就可以写成如下优化问题： 其中，w是风险资产组合中各资产的权重构成的向量；V为风险资产收益率的方差协方差举证；e为风险资产组合中各资产期望收益率构成的向量；1为单位向量。 为了解这个最优化问题，构造Lagrange函数如下：,授课：XXX,28,该最优化问题的一阶条件为： 我们容易求得 其中：,授课：XXX,29,将上述答案带回原式，得到最优资产组合的权重： 其中，g和h为两个一维向量，其表达式分别为 从上式可以看出，如果一个边界组合的期望收益率等于0，那么这一资产组合中各资产的权重就是g。如果
15、一个边界组合的期望收益率等于1，组合中各项资产的权重就是g+h，因此，g和g+h就对应着投资组合边界上两个边界组合。 事实上，投资组合边界中任意资产组合都可以由任意两个期望收益率不相等的边界组合按照一定权重构建出来。,授课：XXX,30,资产组合风险分散化,一、资产收益率的相关性与资产组合的风险分散 当存在两个风险资产的时候，资产组合的期望收益等于组合中每个资产期望收益的加权平均值，即： 但是资产组合的方差并不是两个资产各自方差的加权平均值，而是： 可以看出，给定两项资产的期望收益率，如果这两项资产收益率的协方差是负的，那么资产组合的方差就比较小。 只要两项资产的相关系数不等于1，也即只要两项
16、资产不是完全正相关，资产组合的标准差就低于每个证券标准差的加权平均值。由它们组成的资产组合的风险-收益机会总是犹豫资产组合中各资产单独的风险-收益机会。,授课：XXX,31,资产组合包含N个风险资产的情况 该资产组合的方差为 可以看出，资产组合的风险可以分为两个部分：每个资产的方差和不同资产之间的协方差，前者反映了每个资产的风险状况对资产组合的贡献，后者则是不同资产相互作用对组合风险的影响。 上述矩阵形式中，对角线上是每个资产收益率的方差，矩阵其他位置上的元素则是不同资产收益率的协方差。 当资产组合有N个风险资产时，方差部分共N项，而协方差部分则有N2-N项。当N较大时，协方差项目将远远超过方
17、差项目。此时，资产组合的风险主要取决于资产收益率的协方差的大小。,授课：XXX,32,假设N项资产以相同比例构成资产组合，即每项资产的权重均为1/N，而且每项资产的方差都等于2，不同资产之间的相关系数等于,则资产组合的方差即为： 当N趋于无穷大的时候，方差部分趋于零，协方差部分趋于一个常数。由此可见，当资产组合资产数目较大时，资产间的相互影响是资产组合的主要风险来源。,授课：XXX,33,二、系统性风险与非系统性风险 随着资产组合中资产数量的增加，资产自身的风险对组合风险水平的影响越来越小，而不同资产之间的相互作用并不能随资产数量的增加而消失。 根据资产的这两种特性，风险可以划分为： 非系统性风险（个别风险）：反映资产本身特性，可以通过增加资产组合数目而最终消除 系统性风险（市场风险）：反映了各资产共同运动、无法通过资产组合中资产数目的增加而消除的风险,授课：XXX,34,作业,选择两只股票（或者债券，或者基金等），自行计算其在某一时期的方差、协方差和期望收益，并在给定预期收益率的条件下，确定各股票的投资比例和组合的方差。,35,Thank you!,