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1、1,2009.1.9,数学建模三角函数,2,基础知识及应用,（1）在 中，若 ，则,（3）任意角三角函数的基本关系式：,（4）,的图象、周期、最值及增减性区间。,（5）两角和与差的三角函数：,（2） 中,3,建模知识应用提示,凡与周期性振动有关或类似的问题，如电流、水波、声波、爆炸物爆炸后引起的振动等等，适宜建立三角函数模型。量的大小呈现周期性变化的问题，也可考虑建立三角函数模型。 一些与角有关的问题如视角、方位角，以及与旋转有关的问题也可以建立三角函数模型。 对于周期性变化的问题，一定要认真、准确、真实地搜集数据，要从不同渠道、不同角度去取得数据。,4,牛刀小试,如图，甲船从点A处出发沿正北
2、方向以每小时30海里的速度航行，点B在A的正北方向100海里处，乙船从点B出发，沿南偏东60的方向以每小时40海里的速度行驶，两船同时出发，经过_小时后，两船处于东西方向线上,5,例1,在45的山坡上有一风景点，该风景点到达山脚有两条路，一条是笔直到达山脚的小路，另一条是与这小路成45夹角的直线公路若某辆汽车的最大爬坡度数为n，问n为何值时该汽车才能安全到达该风景点？,解：设风景点的位置为点P，坡面与地面交于直线AB，两条路所在直线分别与AB交于R、Q，P在地面上的射影为O，连结PO、OQ、OR，则 ABOQ，PQO=45， RPQ=45 在RtPOQ中，PQ=OP 在RtPQR中， RQ =
3、 PQ =OP， PR=PQ=2OP 所以，在PRO中，sinPRO= 所以 PRO=30 故当n最小为300时，汽车能驶达风景点,6,例2,如图所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米)。,请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB及距离PA的公式希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少,7,例2,常见有两种测量方案。 方案1： P位于开阔地域，则测量方案如下图所示，被测量的数据为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角和。 设AB为
4、x，PA为y，则计算公式为,8,例2,方案2：若P处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个测量点(见图3113)，被测数据为PC和CD的长度，仰角和 设ABx，PAy，则计算公式为,说明：无论哪个方案都至少要测4个数据,9,例3,房间的门宽为0.9米， 墙厚为0.28米今有一家具其水平截面如图，问能否把此家具水平地移入房间内(说明理由),10,例3,解法一 如图，墙厚CD0.28米，家具的一边AB,只要h不超过门宽0.9米，则家具可水平地搬入屋内,从图中可见hAEsin，又AEAGGFFE，其中AG0.48，GFCDcos0.28cos，FEFCctg0.48ctg因此 hAEs
5、in(0.480.28cos0.48ctg)sin 0.48(sincos)0.28cossin,11,如图，设鼠从A点跳入水中，开始一直往圆心O点游去，这时猫只能在A点处不动。鼠运动过O点后，猫开始沿图中大圆运动。以O为圆心再作一小圆，半径r是大圆半径R的1/4，此时鼠在小圆内始终向着猫和圆心连线的方向远离猫运动，因鼠的速度是猫的速度的1/4，鼠在小圆内沿曲线总能到达小圆周上的一点M，此时猫在大圆周上的B点。此后鼠沿MN直线运动到N点需时间t1，猫从B点到N点需时间t2。则：,例4,一只老鼠为了躲避猫的追捕，跳入了半径为的圆形湖中猫不会游泳，只能沿湖岸追击，并且总是试图使自己离老鼠最近(即猫
6、总是试图使自己在老鼠离岸最近的点上)。设猫在陆地上的最大速度是老鼠在湖中游泳的速度的倍。问老鼠能否摆脱猫的追击?(如果老鼠上岸时猫不在老鼠上岸的位置，则认为老鼠摆脱了猫的追击),因为 ,，所以鼠可以逃脱猫的追捕。,12,新方案：其实，此题中运用了高中物理圆周运动的知识，只要鼠在半径小于R/4的圆内转动，它的角速度就比猫大。鼠从A点沿半径出发后，在进入R/4的圆内后就可开始转动，相同时间转过的角度就比猫大，总会到达离猫最远的地方（即比猫多转1800）。此后鼠在转动的同时，再逐渐扩大半径到R/4的圆周上，并保持与猫最远，此后再沿半径方向运动到岸边，猫一定追不上这只鼠的。,例4,13,再见！,14,例3,