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1、与直线.平面垂直有关的探求性问题在学习直线.平面垂直的判定与性质时，我们会 遇到很多与直线、平面垂直有关的探求性问题，下 面举例说明这类问题的解法.【例1】在矩形ABCD中，AB二1, BC二a,PA丄平面ABCD,且PA=1,问BC边上 是否存在点Q,使得PQ丄QD?为什么?分析 本题主要考查线面垂直的应用，关键是将PQ丄QD转化为DQ丄AQ即可，但AD=BC=a是变化 的.所以需对Q进行讨论.解析 VPA丄平面ABCD, PA丄QD假设BC边上存在一点Q,使得QD丄AQ,则就有QD丄平面PAQ,从而QD丄PQ.在矩形ABCD中，当AD =a2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q
2、,使AQ丄DQ.当时，才存在点Q,使得AQ丄QD,从而有PQ丄QD.点评 本题运用平面几何知识，借助以AD为直径的圆与BC交点的个数来推断点Q的存在性.【例2】四棱锥PABCD 中，ABAD, CDAD,PA丄平面ABCD, PA=AD=CD=2AB=2, M 为PC的中点.求证：BM /平面PAD；平面PAD内是否存在一点N,使MN丄平ffiPBD?若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由. 分析本题综合考查线面平行和垂直的判定等知 识，关键是正确合理运用条件中的数量关系和位置 关系.取PD的中点E，可证四边形ABME是平行 四边形，因此BM AE,问可证；问中的点N, 可作MN丄BE,
3、交AE于点N, N即为所求.证明取PD中点E,连接EM、AE,EM統*CD,而AB統*CD,AEM緬AB四边形ABM E是平行四边形.ABM AE.VAEC 平面 ADP,BM评面ADP,ABM 平面PAD解析TPA丄平面ABCD,PA丄AB.而AB丄AD,AB丄平面PAD, .AB丄PD.VPA=AD , E是PD的中点，PD丄AE.PD丄平ffiABME.作MN丄BE,交AE于点N.MN丄平面PBD.易知 BMEAM EN.而BM 二AE二血，EM 二丄 CD=1,2即点N为AE的中点.点评垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几 何的重点，一般来说，要证线面垂直（平行），需证 线线垂直（平
4、行），要证线线垂直（平行），需证线面 垂直（平行）.【例3】数学课上，张老师用六根长度均为a的塑料棒搭成了一个正三棱 锥(如图所示)，然后他将其中的两 根换成长度分别为殛和 品 的塑 料棒搭成了一个新的三棱锥，陈成同 学边听课边动手操作，也将其中的两根换掉，但没有成功，不能搭成三棱锥.假设张 老师与陈成同学都将BD换成了长为、/丸的塑料棒.(1) 试问张老师换掉的另一根塑料棒是什么，而陈成同学换掉的另一根塑料棒又是什么?请你用学到的数学知识解释陈成同学失败的原因;(2) 在搭成的新三棱锥中，试证：平ffiABD丄平面CBD；(3) 求新三棱锥的外接球的表面积.解析(1)张老师换掉的另一根塑料棒
5、是CD (或AD、EC、BA),而陈成同学换掉的另一根塑料棒 是AC根据题意作出如图所示的图形，其中图(1)表示陈 成同学想搭成的三棱锥.取AC的中点E,连结BE、DE. AB2+CB2=AC2=2a2,所以EE是RtAAEC斜边上/y逅的中线，得BE二亍 同理，DE=从而由BE+DE=V26/ a/36Z=BD ,不能构成三角形，所以图(1)错误.ADBA(2)如图(2),不妨设张老师换掉的另一根塑料棒是CD,贝|CD二血，取BD的中点F,连结AF. CF 因ABD是等腰三角形，所以AF丄BD 又ABCD是直 角三角形，ZBCD=90 ,所以CF=BF=DF.又AB二AC二AD,所以ABFM
6、ACF,从而AF丄CF. 又CF与BD确定平面BCD,所以AF丄平面BCD.又AF U平面ABD,所以平面ABD丄平面CBD.同理可证，当AD、BC或BA中的一条换成 九时， 也有平面ABD丄平面CBD由(2)可知：当CD二血时，三棱锥的外接球的球 心必在直线AF上.设球的半径为R,因为BF&L , AB二a,1爲2所以 AF=寸,由疋=(+(R a)2, 得 R=a.22同理，当AD、EC或BA中的一条等柜“时，也有R=a.所以新三棱锥的外接球的表面积为S二4 Ji a2.点评本题考查立体几何的有关知识，第(1)问就 属于探究性问题，因棱CD、AD、BA、BC与棱BD 都是相邻的，所以它们的地位是一样的，因此考虑 陈成同学换掉的另一根塑料棒是AC,再证之;返回“面面垂直”的判断可转化为“线面垂直”的判 断.