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1、芇2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷二)蚇理科数学节本卷须知：莂1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两局部.第I卷1至3页，第n卷3至5页.蚈 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置肅 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效莅 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回蒂第I卷.聿选择题：本大题共12小题，每题分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目 要求的.螇(1)z =(m 3) (m -1)i在复平面内对应的点在第四象限，那么实数 m的取值范围是肄 (A) (_31) ( B)(T，3)(C) (1，+二)(D)，-3)蒂
2、(2)集合 A =1,2,3， B 二x|(x 1)(x-2) ： 0,x Z，那么 aU B 二蒀(A) 1 (B) 1， (C) 01,2,3 (D) 71 ,2,3芅(3)向量(1,m)，b=(3,-2)，且(a + b)b， 贝U m=袃(A) - 8 ( B) 6 (C) 6 ( D) 822薂(4)圆x y 2x-8y13=0的圆心到直线ax y -0的距离为1，那么a=43薇(A)3 ( B)4 (C)3 ( D) 2羆 ( 5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动， 那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为蚁(A) 24(
3、 B) 18( C) 12( D) 9蚂(6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的外表积为羇(A) 20 n( B) 24 n( C) 28 n( D) 32 n蒄(7)假设将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，那么平移后图象的对称轴为蚄(A) x=- (k Z) (B) x=+(k Z) ( C) x= (k Z) (D) x=+(k Z)螂(8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，假设输入的x=2,n=2，依次输入的a为2, 2, 5,那么输出的s=莈(A) 7 (B) 12 (C) 17 (D) 34膆(9)假设
4、 cos( - a )=，贝y Sin2 a =蒃(A)( B)( C)-( D)-袂(10)从区间b,1随机抽取2n个数x1,x2，Xn,y1 ,y2，yn，构成n个数对(音，力)，(x2,y2),xn,yn，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，那么用随机模拟的方法得到的圆周率二的近似值为4n 2n4m2m蝿 (A)m(B) m(C) n(D)n1M 在 E上, MF1 与 x轴垂直，sin. MF2F1,32 2薄(h)F1, F2是双曲线-每=1的左，右焦点，点a b那么E的离心率为膂(A 、2(B)-(C).3(D)22羂 ( 12 )函数f(X)(X J R)满足f( X) 2-
5、f(x),假设函数y = _1与y f (x)图像的交点为(Xi,yJ,(X2, y2),(Xm, ym),那么(人 yj 二i -1膀(A) 0 ( B) m ( C) 2m (D) 4m莆第II卷芅本卷包括必考题和选考题两局部.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) 题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.肁二、填空题：本大题共3小题，每题5分4 5莇(13) ABC的内角 A B C的对边分别为 a、b、c，假设cosA二工，cosC= ，a=1，贝U b=.5 13肇(14) a、B是两个平面，m n是两条直线，有以下四个命题：羄(1)如果 mn，ml
6、a， n/ B，那么 a 丄 B.肁(2)如果 m a， n / a，那么 ml n.螈(3)如果 a / B，m- a，那么 mil B，?蒆(4)如果m/ n，a / B，那么m与a所成的角和n与B所成的角相等.螃其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)賺(15)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5，那么甲的卡片上的数字是。腿(16)假设直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线 y=ln (x+1
7、)的切线，贝U b=。膈三.解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.薂17.(此题总分值12分)芁Sn为等差数列的前n项和，且an=1，S7 =28.记bn=lgan丨，其中X1表示不超过 X的最大整数，如10.9】=0,如99 】=1 .薀(I )求 b!， b11, b101 ；蚅II 求数列 的前1000项和薅18.此题总分值12分莁某险种的根本保费为 a 单位：元，继续购置该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度 的出险次数的关联如下：蚆上年度出险次 数莇0莃1蒁2肇3袅45薁保费蒈 0.85a薇a膅 1.25a蚀 1.5a衿 1.75a羅2a羄设该险种一续保人
8、一年内出险次数与相应概率如下:蚀一年内出险次 数芀0螇1蚃2螀3莇4膅K 5蒂概率袀 0.30螈 0.15袇 0.20蒅 0.20羀 0.10袈 0.05肄I求一续保人本年度的保费高于根本保费的概率；羃 II 假设一续保人本年度的保费高于根本保费，求其保费比根本保费高出60%勺概率;螀III 求续保人本年度的平均保费与根本保费的比值艿19.本小题总分值12分5螆如图，菱形 ABCD勺对角线 AC与BD交于点O, AB=5 AC=6点E,F分别在AD,CD上，AE=CF , EF交BD于点4H.将厶DEF沿 EF折到 D EF的位置，ODh0O.蚂I 证明：D H _平面ABCD蝿 II 求二面
9、角B - D A - C的正弦值.蚀20.本小题总分值12分膄椭圆2 2E：X_ 乂=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点，斜率为kk0的直线交 E于A,M两点，点 N在E上，MAL NA.螅(I )当 t=4 ,AM =AN时，求 AMN的面积;衿(II )当2AM = AN时，求k的取值范围积.?数方程坐标系，求C的极(X = tCOSCT腿(II )直线l的参数方程是1(t为参数)，1与C交于A、B两点,AB I =，求l的斜率。袇(21)(本小题总分值12分)祎(I)讨论函数f(x)的单调性，并证明当 x0时，(x_2)exx2 . 0;x +2xe ax a蒄(|)证明：当a 0,1)时
10、，函数g(x)=2 (x 0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)x的值域.罿请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，做答时请写清题号 芈(22)(本小题总分值10分)选修4-1 :集合证明选讲蚈如图，在正方形 ABCD E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合)，且DE=DG过D点作DF丄CE垂足为F.芃(I)证明：B,C,E,F四点共圆；聿(II)假设AB=1, E为DA的中点，求四边形 BCGF的面虿(23)(本小题总分值10分)选修44:坐标系与参肆在直线坐标系xoy中，圆C的方程为(x+6) 2+y2=25.肂(I)以坐标原点为极
11、点，x轴正半轴为极轴建立极坐标方程；肀(24)(本小题总分值10分)，选修45 :不等式选讲1 1螇函数f(x)= I x- - I + I x+ I, M为不等式f(x) V 2的解集肅I 求M;艿II 证明：当 a,b M时，I a+b I vI 1+ab I。膆2021年普通高等学校招生全国统一考试芅理科数学答案袃第I卷荿 一. 选择题：薇 1【答案】 A羇 2【答案】 C薂 3【答案】 D蚃 4【答案】 A羈 5【答案】 B蒅 6【答案】 C蚅 7【答案】 B螃 8【答案】 C荿 9【答案】 D膇 10【答案】 C蒄 11【答案】 A袂 12【答案】 C螀第n卷薅二、填空题21膃(13
12、)【答案】13羂(14)【答案】袇(15)【答案】1和3芇(16)【答案】1-ln2羂三.解答题羂17.(此题总分值12分)芈【答案】(I) 6=0, =1 , b101 = 2 ； (n) 1893.螅【解析】羅试题分析：(I)先求公差、通项 a.,再根据条件求 d, bn, D01; (n)用分段函数表示 bn ,再由等差数列的前n项和公式求数列 小奁的前1000项和.肂试题解析：(I)设an的公差为d，据有7 21d -28，解得d =1.1 10,10 乞 n 100,100 乞 n ：1000, n =1000.虿所以an的通项公式为an = n.0,1蒆n因为bn二n I 2,3,
13、螄所以数列bn的前1000项和为1 90 2 900 3 1 =1893.膀【结束】羄18.此题总分值12分薂【答案】I根据互斥事件的概率公式求解；n由条件概率公式求解；川记续保人本年度的保费为X ,求X的分布列为，在根据期望公式求解.节【解析】芆试题分析：蚆试题解析：I设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于根本保费，那么事件A发生当且仅当一年内出险次数大于 1，故 PA =0.2 0.2 0.1 0.05 =0.55.芁n 设B表示事件：“一续保人本年度的保费比根本保费高出60% ，那么事件B发生当且仅当一年内出险次数大于 3,故 PB =0.1 0.05=0.15.莂又 pAB=pB，故
14、 PB|A二鵲_P(B) 0.15 _ 3 p(A)_0.55 _11蚇因此所求概率为-.11肄川记续保人本年度的保费为 X，那么X的分布列为莄因此续保人本年度的平均保费与根本保费的比值为1.23蒂考点：条件概率，随机变量的分布列、期望肇【结束】祎19.(本小题总分值12分)肃【答案】(I)详见解析;2.9525薁【解析】葿试题分析：1 1 . .(I)证AC/EF，再证D H _OH，最后证D H _平面ABCD ； (n)用向量法求解.AE CF芄试题解析：(I )由得 AC _ BD , AD=CD，又由AE =CF得竺=汇，故AC/EF .AD CD袂因此 EF _ HD，从而 EF
15、_ DH .由 AB =5, AC =6 得 DO 二 B0 二.AB2 - AO2 = 4 OH ae 1薁由 EF / / AC 得 = =.所以 OH = 1， D H = DH = 3.DO AD 4袀于是 OH =1，DH OH 2 =32 12 =10 二 DO2，羆故DH _ OH袅又 DH EF，而 OH EF = H，蚁所以DH _平面ABCD.羇(II )如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系 H -xyz，那么H 0,0,0 ，TTT,A -3, -2,0 ，B 0,-5,0，C 3,T,0，D 0,0,3，AB = (3,-4,0)，AC 二
16、 6,0,0 ，AD 二 3,1,3 .设口=：沟,乙是平面ABDn 二 x2, y2, z2 是平面 ACDm n是 cos ： m, nm的法向量，那么 -4In的法向量，贝U 4in_7苗-14爲=0，即3X| 一4%，所以可以取 m = 4,3,5.设3为+比+3乙=0AD =0AC，即 产2，所以可以取 黑=0,3,1.于3x2 + y2 + 3z2 = 0AD =010匚25 sin :：: m,n二冬95.因此二面角B-DA-C的正弦值 是252、-9525蚈考点：线面垂直的判定、二面角蚄【结束】螁20.本小题总分值12分莈【答案】I144 ; H32,2 .49膅【解析】蒃试题
17、分析：I先求直线 AM的方程，再求点 M的纵坐标，最后求 AMN的面积；n设M x1,y1 , 将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去 y，用k表示x1，从而表示| AM |，同理用k表示| AN |，再 由 2 AM = AN 求 k.袁试题解析：2 2(1 )设M X1, y1 ，那么由题意知y1 - 0，当t = 4时，E的方程为-1 , A：-2,0 .43n螈由及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为一因此直线AM的方程为y=x，2.4x2 y21212袇将x = y -2代入1得7y2 -12y=0.解得y = 0或y，所以y.4 3771 1212144賺因此.AMN的面积=2丄
18、上12 =世.2 7749羁(II )由题意 t 3, k 0,.t,0 .2 2腿将直线AM的方程y =k(x 、t)代入 午 青=1得3 tk2 x2 2 ttk2x t2k2 - 3t = 0 .厂t2k2莅由Xr- , t2得片3 tk2&(3-tk2 )=z，故 AM3 tk26 2 k23 tk2芄由题设，直线AN的方程为y = l(x + JT )，故同理可得 AN k6kt 1 k23k2 t 2肁由2 AM = AN得上万3+tk2k3，即 k 3k 莆当k = ： 2时上式不成立，肇因此t二3k ?k -1. t 3等价于二亠二一2*10賺因此k的取值范围是迈2.螇考点：椭
19、圆的性质，直线与椭圆的位置关系蒅【结束】螂21本小题总分值12分膀【答案】I详见解析；nI, e.膈【解析】芇试题分析：I先求定义域，用导数法求函数的单调性，当x0,=时，fx . f0证明结论；n用导数法求函数gx的最值，在构造新函数h(a)=丄,Xo +2又用导数法求解袅试题解析：I f x的定义域为_：, 一2 一-2, ：芀且仅当x =0时，fx=0,所以fx在_：, _2,-2, ：单调递增,蕿因此当 x (0,时，f (x) f(0) - -1,蚅所以(x 2)ex(X 2),( x -2)ex x 2 . 0薄II g(x)二(x -2)ex a(x 2)2xx - 22 (f
20、(x) a),x莀由(I )知,f(x) a单调递增，对任意 a 0,1), f (0) a =a -1 ： 0, f(2) a =a _ 0,羀因此，存在唯一0, 2,使得fx，a=0,即gx=0.莇当 0 x ： x0 时，f (x) a : 0, g(x) ： 0, g(x)单调递减;莃当 x X。时，f(x) a 0,g(x) 0,g(x)单调递增.蒀因此gx在x = x0处取得最小值，最小值为XoxXX肇于是h=x，由七心汴 0化单调递增袄所以，由Xo(0, 2,得 12x022 2薀使得haX膂因为旦单调递增，对任意x +22e,存在唯一的4X。(0,2, a 二 f(x。)0,1
21、),1,所以ha的值域是一,2e2蒇综上，当a - 0,1时,1 e2 gx有 ha， ha的值域是一，.2 4薆考点：函数的单调性、极值与最值膄【结束】蚀请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，做答时请写清题号袈22本小题总分值10分选修4-1 :几何证明选讲1肄【答案】I详见解析；n丄.2羃【解析】蒆试题分析：I证厶DGF -ICBF,再证B,C,G,F四点共圆；n证明Rt BCG - Rt BFG ,四边形BCGF的面积S 是 GCB面积S GCB的2倍.肅试题解析：I 因为DF _EC,所以ADEF ：CDF ,DF DE DG 蒂那么有 GDF =
22、/DEF =/FCB,CF CD CB蒈所以 DG . CBF,由此可得.DGF二/CBF,薅由此.CGF . CBF =180,所以B,C,G,F四点共圆蒆II 由B,C,G,F四点共圆，CG _CB知FG _ FB，连结GB，羀由 G 为 Rt DFC 斜边 CD 的中点，知 GF =GC ,故 Rt.iBCG - Rt.iBFG ,因此四边形BCGF的面积S 是 GCB面积S GCB的2倍，即卩考点：三角形相似、全等，四点共圆【结束】23本小题总分值10分选修4 4 :坐标系与参数方程2Vl5【答案】I 12cost 11 =0 ；n.3【解析】试题分析：I 利用= x2 y2, x=c
23、osn可得C的极坐标方程；II 先将直线I的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得 I的斜率.试题解析：I 由x= Pcos y = Psin。可得C的极坐标方程 P2+12Pcos日+11 = 0.II 在I中建立的极坐标系中，直线 I的极坐标方程为v - :三R 由代B所对应的极径分别为 匚,J,将I的极坐标方程代入 C的极坐标方程得于是匚 J =T2cos :，C11, 所以I的斜率为或一上.3, tan :83 3考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式【结束】(24)(本小题总分值10分)选修4 5:不等式选讲【答案】(I) M二X| -1 ： X ：
24、1 ; (H )详见解析.【解析】111 1试题分析：(I )先去掉绝对值，再分 X ,X 和X 三种情况解不等式，即可得 I ； (II )采用2 2 2 2平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a , bM时，a+b |1十ab ._2x,x 兰-,211试题解析：(I ) f(X)=丿1,一一 CX -，2212x,x 色一.、 21当x 时，由f (x) 2得2x ： 2,解得x祚一1 ;211当 x 时，f (x) ： 2 ;221当x时，由f (x) 2得2x 2,解得x ： 1.2所以 f (x) :：: 2 的解集 M 二x | -1 ： x : 1.(II )由(I )知，当 a,b M 时，一1 ： a ： 1, -1 ： b : 1，从而(a b)2 -(1 ab)2 =a2 b2 -a2b2 -1 =(a2 -1)(1 -b2) ： 0 ,因此 |a b|1 - ab|.考点：绝对值不等式，不等式的证明.【结束】