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1、1,第三章 时域瞬态响应分析,时域分析概述 一阶系统的瞬态响应分析 二阶系统的瞬态响应分析 二阶系统系统性能指标 高阶系统的瞬态响应分析,2,第三章 时域瞬态响应分析,时域分析概述,时域分析根据控制系统在一定输入作用下的输入量时域表达式，来分析系统的稳定性，瞬态过程性能和稳态误差。,瞬态响应：在某一输入信号的作用下，系统输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。,稳态响应：在某一输入信号的作用下，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。,特点:(1)直接在时域中对系统进行分析校正，直观，准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息； (3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。,3,时域分析概述,典型输
2、入信号,脉冲信号 (突变过程),加速度信号(飞船),阶跃信号 （工业过程）,斜波信号 （天线、雷达）,正弦信号(通信),其中单位阶跃信号是最为基本、最常见且最易产生的信号；被选为衡量系统控制性能的好坏的基准输入，并据此定义时域的性能指标。,4,时域分析概述,时域性能指标,稳：(基本要求 )系统受脉冲扰动后能回到原来 的平衡位置; 快: ( 动态要求 )过渡过程要平稳，迅速; 准: ( 稳态要求)稳态输出与理想输出间的误差要小。,延迟时间 t d :阶跃响应第一次达到终值的50所需的时间 上升时间 t r :阶跃响应首次上升到稳态值 所需的时间。对于 响应无振荡的系统是阶跃响应从稳态值的10%上
3、 升到90 %所需的时间。 峰值时间 t p : 阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间 调节时间 t s : 阶跃响应达到并保持在终值 5误差带内所需 的最短时间 超 调 量 MP : 峰值超出终值的百分比,MP,5,三、一阶系统的时间响应,1、 一阶系统（惯性环节）,极点（特征根）：-1/T,2、一阶系统的单位脉冲响应,6,一阶系统单位脉冲响应的特点,瞬态响应：(1/T )e t /T ；稳态响应：0；,xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；,对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。,7,3、一阶系统的单位阶跃响
4、应,8,一阶系统单位阶跃响应的特点,响应分为两部分,瞬态响应：,表示系统输出量从初态到终态的变化过程 （动态/过渡过程）,稳态响应：1,表示t时，系统的输出状态,xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大， 且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差；,xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统 响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以 通过实验测量惯性环节的时间常数T；,9,时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95% 98%时，认为系统响应过程基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。,将一阶系统的单位阶跃响
5、应式改写为：,即ln1-xo(t)与时间t成线性关系。,该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。,10,4、一阶系统的单位速度响应,11,一阶系统单位速度响应的特点,瞬态响应：T e t /T ；稳态响应：t T；,经过足够长的时间(稳态时，如t 4T)，输 出增长速率近似与输入相同，此时输出为： t T，即输出相对于输入滞后时间T；,系统响应误差为：,12,5、三种响应的比较,系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。,注意到：,对一阶系统：,13,即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。,同
6、样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。,这种输入输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。,14,例1: 一阶系统的结构如图，已知 Kk= 100, KH= 0.1, 试求系统的调节时间ts (5%),如果要求ts= 0.1s， 求反馈系数。,解：,闭环传递函数,得:,t s=3T=30.1,=0.3,若要求:,t s=0.1 s,则:,t s=30.01/KH=0.1,KH =0.3,一阶系统的瞬态响应分析,15,二阶系统的瞬态响应分析,微分方程:,传递函数:,方框图：,数学模型：,阻尼比,无阻尼自由振荡频率,闭环形式:,显然求出标准形
7、式的性能指标表达式，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。,16,传递函数：,其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡 周期， 为阻尼比； n1/T为系统的无阻尼固有频率。,二阶系统的特征方程：,极点（特征根）：,17,欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 01,具有一对共轭复数极点：,系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：,称为阻尼振荡频率。,18,临界阻尼二阶系统： 1,具有两个相等的负实数极点：,系统包含两类瞬态衰减分量：,过阻尼二阶系统： 1,具有两个不相等的负实数极点：,系统包含两类瞬态衰减分量：,19,零阻尼二阶系统： 0,具有一对共轭虚极点：,系统时域响应含有复指数振荡项：,负阻尼二阶系统：
8、 0,极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。,20,单位阶跃响应,二阶系统的瞬态响应分析,显然值不同，两个根的性质不同，有可能为实根、复根或重根，相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。,根的分布：,21,二阶系统的单位阶跃响应,1 (过阻尼),(两不相等负实根),系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。,1,1,22,特征方程还可为:,当 时，,极点为：,式中,这里，,因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为：,二阶系统的单位阶跃响应,23,二阶系统的单位阶跃响应,=1 (临界阻尼),(两相等负实根),系统输出无振荡和超调，=1时系统的响应
9、速度比1 时快，输出响应最终趋于稳态值1。,1,=1,24,二阶系统的单位阶跃响应,=0 (无阻尼),(两共轭虚根),系统输出为无阻尼等幅振荡，震荡周期为wn。,1,=0,25,二阶系统的单位阶跃响应,01 (欠阻尼),(两不相等负实根),1,1,26,二阶系统的单位阶跃响应,不同值时系统的单位阶跃响应总结,基本结论: 在 01 则系统响应迟缓，调节时间变长，快速性变差；若过小，虽然响应的起始速度较快，tr 和tp 小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间 ts 亦长。,1,=0,1,=1,1,27,28,二阶系统的性能指标,性能指标分析,二阶系统的性能指标主要针对在欠阻尼状态下的二阶系统的
10、单位阶跃响应进行讨论和计算的。,1,tr,tp,Mp,ts,ess,主要性能指标有：,1.上升时间 tr,2.峰值时间 tp,3.超 调 量 Mp,4.调节时间 ts,5.稳态误差 ess,29,1. 上升时间tr,即,根据定义有,则,二阶系统的性能指标,1,tr,当 一定时， 越小， 越小； 当 一定时， 越大， 越小。,30,2. 峰值时间 tp,即,二阶系统的单位阶跃响应为,则,二阶系统的性能指标,当 一定时， 越小， 越小； 当 一定时， 越大， 越小。,根据定义有：,1,tp,31,3. 超调量 Mp,即,超调量根据定义为,则,二阶系统的性能指标,增大， 减小。通常为了获得良好的平稳
11、性和快速性，阻尼比 取在0.4-0.8 之间,相应的超调量约为 25%-2.5%。,与 的关系曲线,1,tp,MP,32,4. 调节时间 ts,即,根据定义调节时间为,可得：,二阶系统的性能指标,1,ts,误差带,在设计系统时, 通常由要求的最大超调量决定,而调节时间则由无阻尼振荡频率 来决定。,调节时间与系统极点的实部成反比。系统极点距虚轴距离越远，调节时间越短。,33,在 之间，调节时间和超调量(25%1.5%)都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。,34,5.稳态误差ess,稳态误差根据定义为,二阶系统的性能指标,1,35,二阶系统的单位脉冲响应,=0 (无阻尼),二阶系统
12、的单位脉冲响应,01 (欠阻尼),= 1 (临界阻尼),1 (过阻尼),36,二阶系统的单位斜坡响应,=0 (无阻尼),二阶系统的单位斜坡响应,01 (欠阻尼),= 1 (临界阻尼),系统误差为:,系统稳态误差为:,37,例3: 给图示机械系统施加f=8.9N的阶跃力，质量块的位移曲线y(t)如图所示。试确定系统的参数m,k和c的值？,二阶系统的性能指标,解:,（1）建立系统的数学模型,微分方程：,38,传递函数:,二阶系统的性能指标,在阶跃力作用下响应的拉氏变换为:,由响应曲线可知:稳态值为 0.03 m,超调量为,峰值时间为,根据,39,(2) 求k,利用终值定理：,(3) 求m和c,二阶
13、系统的性能指标,40,解：1）,41,2）对比二阶系统的标准形式：,42,例6 某系统传递函数为：,为了将调节时间减小为原来的1/10，同时系统维持原有的增益，采用增加负反馈的办法，改造后的系统方框图如下。试确定参数K1和Kh的取值。,43,解：期望的系统闭环传递函数为：,引入负反馈后，系统闭环传递函数为：,对比上述两式，求得： Kh0.45 ；K110,44,高阶系统的时间响应,1、高阶系统的单位阶跃响应,考虑系统,45,假设系统极点互不相同。,其中，a, aj为Xo(s)在极点s = 0和s = -pj处的留数； bk、ck是与Xo(s)在极点 处的留数有关的常数。,当Xi(s)=1/s时
14、，,46,其中，=arctg(bk/ck)。,2、高阶系统的单位阶跃响应的特点,高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系 统的响应函数叠加而成。,如果所有闭环极点都在 s 平面的左半平面内，即所有闭环极点都具有负实部( pj 、 kk大于零)，则随着时间t，xo()=a。 即系统是稳定的。,47,极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态 分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；,3、系统零极点分布对时域响应的影响,通常如果闭环零点和极点的距离比其模值 小一个数量级，则该极点和零点构成一对 偶极子，可以对消。,48,系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其
15、对应的瞬态分量的强度将变小，所以一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。这对零极点称为偶极子。,综上所述，对于高阶系统，如果能够找到 主导极点（通常选为一对共轭复数极点，即二阶系统），就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为二阶系统 进行处理。,主导极点（ 距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。,49,误差分析和计算,1、控制系统的偏差与误差,考虑图示反馈控制系统,偏差信号(s),(s)= Xi(s)B(s) Xi(s)H(s) Xo(s),偏差信号(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号
16、B(s)之差，即：,50,误差信号E(s),误差信号e(s)定义为系统期望输出Xor(s)与系统实际输出Xo(s)之差，即：,E(s)= Xor(s) Xo(s),控制系统的期望输出Xor(s) 为偏差信号(s)0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出： Xo(s)Xor(s),由：(s)=Xi(s)H(s)Xor(s)0,可得：Xor(s)Xi(s)/H(s),对于单位反馈系统，H(s)1，Xor(s)Xi(s),偏差信号(s)与误差信号E(s)的关系,对单位反馈系统：E(s) (s),51,2、稳态误差及其计算,稳态误差ess,稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t）下的差值，即误差信号e(t) 的稳态分量：,当sE(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：,52,稳态误差的计算,系统在输入作用下的偏差传递函数为：,即：,利用拉氏变换的终值定理，系统稳态偏差为：,稳态误差：,