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1、方差分析(轻化版),1,第 一 章 方 差 分 析,授课老师：王 一 非 QQ:46478797,计算机在轻化专业中的应用,方差分析(轻化版),2,单因素方差分析,多因素方差分析,研究生产条件的改变对产品的质量和产量有无显著影响,显著作用的因素在什么时候对生产起最好的影响,方差分析(轻化版),3,在一项试验中，若只有一个因素的水平在改变，而其他因素的水平固定不变，试验的目的在于比较因素各水平上指标值之间的差别，这就叫做单因素试验问题。,方差分析(轻化版),4,离差（偏差）：对试验进行多次测量得到的一组数据，由于受到各种因素的影响，各个测量值通常都参差不齐，它们之间的差异称为偏差。 偏差平方和公
2、式 偏差平方和表示每个试验数据与其平均值的偏离程度的一个总的度量，它的数值越大，表示测量值之间的差异越大。 优点能充分利用测试数据所提供的信息 缺点随着测量数目的增多而增大 为了克服这一缺点，用方差来表征偏差的大小,公式为 V=S/f f为自由度，独立的偏差数目，样本所包含的数据个数减去受约束的条件数 方差优点充分利用测试数据所提供的信息 避免对测量数目的依赖性,方差分析(轻化版),5,设因素A有m个水平A1, A2,Am，对水平Ai（i=1，2，m）重复做r次试验，得到试验指标的观察值,方差分析(轻化版),6,SA表示在Ai水平下的试验数据平均值和总平均值之间的差异，叫因素A偏差平方和，它主
3、要是由试验条件改变引起的。如果因素A水平的改变对试验指标没有影响，则所有试验数据的值相等，即SA等于零。 Se表示在Ai水平下试验数据与该水平下试验数据平均值间的差异，它是由随机误差引起的，叫误差平方和。如果没有试验误差，则每个水平下试验数据与该水平下试验数据平均值应该相等，即Se等于零。 ST表示全部试验数据与总平均值之间的差异，又叫总偏差平方和。如果没有试验误差，且因素A水平的改变对试验指标没有影响，则所有试验数据的值相等，即ST等于零。,方差分析(轻化版),7,1、总偏差平方和的分解 水平Ai下的样本均值（试验结果平均值）为 样本数据的总平均值为 总偏差平方和为,方差分析(轻化版),8,
4、方差分析(轻化版),9,ST=SA+Se,方差分析(轻化版),10,2、平均偏差平方和（方差）与自由度 为了消除数据个数的多少给平方和带来的影响，采用偏差平方和除以相应的自由度，两者之比称为平均偏差平方和，也称为均方和或均方或方差。 总偏差平方和的自由度fT fT=n-1 因素偏差平方和的自由度fA 为水平数减1 误差平方和的自由度fe 各平均偏差平方和为,方差分析(轻化版),11,3、用F检验法进行显著性检验 根据数学原理，对因素偏差平方和与误差偏差平方和进行合理的比较，就能分析出因素对试验结果的影响程度、性质。 令 FA=VA/Ve 均方之比FA是一个统计量，它服从于自由度为（fA, fe
5、）的F分布 如果FA的值接近于1，则说明因素A水平的改变对试验指标的影响与试验误差对试验指标的影响相近，可以认为因素A水平之间没有显著差异或因素对指标的影响不显著。 对于给定的显著水平值，从F分布表中查出临界值F(fA, fe)，如果F F(fA, fe)，说明因素A变化的影响大于误差的影响，即该因素影响显著。,方差分析(轻化版),12,4、制定方差分析表 单因素方差分析表,方差分析(轻化版),13,例：考察生产某化工产品时反应温度A对回收率（%）的影响。 单因素二水平试验：A1=30oC, A2=40oC 只各做一次试验，误差较大 能否说A2效果比A1好 虽然平均值的代表性强一点，受误差的影
6、响小一点，但由于不知道误差的大小，仍旧不能判断这个差别是否是由于因素水平的改变所引起的。,方差分析(轻化版),14,如何做一个合理的判断 对误差影响的大小或误差引起的指标波动有个定量估计 对指标总的波动以及因素水平改变引起的指标波动也应给以数量表示 全部10个试验数据与总平均值y = (75+78+85)/10 = 75.7之差的离差平方和反映了指标观察值的总的波动，记为S2T，那么 S2T = (75-75.7)2+ (75-75.7)2 + (75-75.7)2 = 1294.10 如果因素水平改变对指标不发生影响，也不存在试验误差，那么全部试验数据应一致 S2T 为零 S2T 是由因素水
7、平引起的指标波动和误差引起的指标波动两部分组成的。,方差分析(轻化版),15,如果没有试验误差，A1的5个数据应该相同，A2的5个数据也应该相同 试验误差对指标的影响的大小或误差引起的指标的波动可用误差离差平方和S2e来表示 S2e = (75-71.4)2+ (78-71.4)2 + (83-71.4)2 + (89-80.0)2+ (62-80.0)2 + (85-80.0)2 = 1109.20 A1的平均收率为71.4近似表示水平1各次试验对指标的影响 A2的平均收率为80.0近似表示水平2各次试验对指标的影响 S2A = 5(71.4-75.7)2+ 5(80.0-75.7)2 =1
8、84.90 反映了因素的水平的改变引起指标波动的大小 S2T = S2e + S2A,方差分析(轻化版),16,试验次数（数据的个数的影响） 采用平均离差平方和S2A /fA与S2e /fe进行比较 fA，fe分别称为S2A 与S2e的自由度（离差平方和试中独立数据的个数） 对于S2e 而言，其中的10个数据满足两个关系式 (75+78+60+61+83)/5=71.4 (89+62+93+71+85)/5=80.8 fe = 10-2 = 8 对于S2A 而言，其中的2个数据满足一个关系式 (71.4+80.8)=75.7 fA = 2-1 = 8,方差分析(轻化版),17,为了便于计算 f
9、A定义为因素离差平方和的自由度，为水平数-1 fe定义为误差平方和的自由度，为水平数*（重复次数-1） 即水平数*重复次数-水平数,方差分析(轻化版),18,进行比较 FA值接近1因素水平的改变对指标的影响和试验误差对指标的影响相近 因素水平之间没有显著差异,方差分析(轻化版),19,？FA多大时认为因素对指标的影响显著 在一些假定条件下，可以证明FA服从自由度为（fA, fe）的F分布。对于给定的显著水平，查F分布表可得一临界值F（fA, fe），若FA F（fA, fe），则认为因素A对指标的影响显著。 本例中， FA=1.33，对=0.05，查表得F0.05（1，8）= 5.3 在水平=
10、 0.05下，反应温度A对回收率的影响不显著 （或反应温度之间没有显著差异）,方差分析(轻化版),20,F分布表-对于不同的值 通常有： = 0.01，0.05，0.10 一般说来，F值与对应临界值之间的差距越大，说明该因素对试验结果的影响越显著，或者说该因素越重要。,方差分析(轻化版),21,1.在数量上将因素对指标的影响和误差对指标的影响加以区分并作出估计,2.将它们进行比较,3.判断：因素各水平之间的差异是否显著,方差分析(轻化版),22,方差分析(轻化版),23,方差分析(轻化版),24,方差分析(轻化版),25,两因素无重复试验,两因素等重复试验,方差分析(轻化版),26,设有两个因
11、素A和B，A有m个水平：A1,A2,Am，B有r个水平：B1,B2,Br，试验设计时把每个因素的每个水平都搭配到，在A因素和B因素的每个组合水平（Ai，Bj）下，做一次试验（无重复），共进行了mr次试验，得到试验指标的观察值,方差分析(轻化版),27,1、总偏差平方和的分解 水平Ai下的试验结果平均值 水平Bj下的试验结果平均值 样本数据的总平均值 总偏差平方和,方差分析(轻化版),28,将ST改些并分解得 则有 ST=SA+SB+Se SA为因素A的偏差平方和，反映了A因素水平改变时对试验结果的影响 SB为因素B的偏差平方和，反映了B因素水平改变时对试验结果的影响 Se为误差平方和,方差分析
12、(轻化版),29,2、平均偏差平方和与自由度 总自由度 fT=总的试验次数-1=mr-1=n-1 因素的自由度为因素水平数减一，即 fA=m-1 fB=r-1 误差的自由度 fe=fT-fA-fB=（m-1）（r-1） 因素平均偏差平方和 VA=SA/(m-1) VB=SB/(r-1) 误差平均偏差平方和 Ve=Se/(m-1)(r-1),方差分析(轻化版),30,3、用F检验法进行显著性检验 计算F值 FA=VA/Ve FB=VB/Ve 对于给出的，从F分布表中查出F(fA,fe)，F(fB,fe),方差分析(轻化版),31,为了计算方便，常采用两因素无重复试验方差分析表,方差分析(轻化版)
13、,32,例：一种火箭使用了四种燃料，三种推进器做射程试验。每种燃料和每种推进器的组合各做了一次试验，得火箭射程如表所示。试问不同的燃料、不同的推进器分别对射程有无显著影响？,方差分析(轻化版),33,方差分析表 从表中可以看出，误差的平均偏差平方和比因素A和B的都大，所以F值较小。根据误差平均偏差平方和的意义，它主要反映了随机误差所引起的波动的大小，应该是不大的，而现在竟出现较大的值，可能是没有考虑两种因素搭配起来的作用交互作用的缘故。但是上述试验对每种搭配只做了一次试验，不能分辨出交互作用，将在下面讨论。,方差分析(轻化版),34,设有两个因素A和B，A有m个水平：A1,A2,Am，B有r个
14、水平：B1,B2,Br，试验设计时把每个因素的每个水平都搭配到，在A因素和B因素的每个组合水平（Ai，Bj）下，做n次试验，每个观察值记为xijk(i=1,2,m;j=1,2,r;k=1,2,n)共进行了mrn次试验，得到试验指标的观察值,方差分析(轻化版),35,1、总偏差平方和的分解 计算总偏差平方和,方差分析(轻化版),36,1、总偏差平方和的分解 计算因素偏差平方和,方差分析(轻化版),37,方差分析(轻化版),38,1、总偏差平方和的分解 计算试验误差平方和,方差分析(轻化版),39,2、平均偏差平方和与自由度 总自由度 fT=总的试验次数-1=mrn-1 因素的自由度为因素水平数-
15、1，即 fA=m-1 fB=r-1 因素交互作用自由度为交互作用因素自由度乘积 fAB= （m-1）（r-1） 误差的自由度 fe=fT-fA-fB-fAB=mr（n-1） 因素平均偏差平方和 VA=SA/fA VB=SB/fB VAB=SAB/fAB 误差平均偏差平方和 Ve=Se/fe,方差分析(轻化版),40,3、用F检验法进行显著性检验 计算F值 FA=VA/Ve FB=VB/Ve FAB=VAB/Ve 对于给出的，从F分布表中查出F(fA,fe)，F(fB,fe)， F(fAB,fe),方差分析(轻化版),41,为了计算方便，常采用两因素有交叉作用方差分析表,方差分析(轻化版),42,例：在前面的例子中，对于燃料和推进器每种组合各做了二次试验，得火箭射程如表所示。试问不同的燃料、不同的推进器分别对射程有无显著影响？哪种搭配最好,方差分析(轻化版),43,方差分析(轻化版),44,方差分析表,方差分析(轻化版),45,方差分析表 因素A,B和交互作用AB均显著 A4与B1, A3与B2搭配的效果最好,方差分析(轻化版),46,方差分析(轻化版),47,（1）三线表 （2）标准偏差 （3）实际中，一个多因素试验往往进行单因素分析，但是在一个图/表中表示,方差分析(轻化版),48,方差分析(轻化版),49,方差分析,全面试验法,部分实施法,