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1、猎犬追狐狸试题的多视角解析（九江市第一中学许冬保江西九江 332000）V1IA 4 FB1试题第6届全国中学生物理竞赛预赛试题：如图 1所示，有一只狐狸以 不变速度vi沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率 V追击，其运动方 向始终对准狐狸.某时刻狐狸在 F处，猎犬在D处，FD丄L,试求此时 猎犬的加速度的大小.2解析解析1:矢量方法分析1图1猎犬追狐狸狐狸、猎犬视为质点，猎犬作平面曲线运动，经极短时间At，速度方向改变角度0,可作出速度矢量三角形，如图2所示，由图中角度关系得Vy ：tLV2猎犬的加速度解得Va 二AtV1V2L解析2:平面直角坐标系中分析建立图3示的直角坐标系，经时间 速度
2、V2分解，有Vx且tan v -过.Lt速度方向改变角度为0将=V2Sin , Vy = V2 cos：.对时间t求导,得加速度LV2V1 At FAvv1v2ax =+ L当t=0时加速度大小为3ayV1V2 Vt图2猎犬追狐狸矢量图图3猎犬追狐狸直角坐标系分析V1V2x解析3:平面极坐标系中分析设D点为极点，DF为极轴，如图4所示, 犬出发点计时，经极短时间 速度V2分解为沿径向及横向的分量 视为圆弧，则v ,ccs建立极坐标系. t质点沿平面曲线运动到P处，在V .? v由于时间极短，v - = V2COS , v = V2 sin且,tan）：二:皿,2LP处的加速度猎P处DP2L图4
3、猎犬追狐狸在极坐标系中分析“齐巻v也第1页共3页由此可得在极短时间内,d . d .、a v , ： p v 心= dtdtd p d : 亠 也因此，有 dtdtdtAo ,vdtdvr dt d vcpa：；.=_v dv2sin-v - v2 sin也dt2L2L+ v p = (v2 COS ) 也 + (v2 cos申)-vidt dt2L2L L平sin沁cosJ 0，得a,r = 0 , a二+2 . a即在D处的向心加速度.解析4:自然坐标系中分析猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故作匀速率曲线运动，由向心力公式犬所在处的曲率半径由于r不断变化，故猎犬的加速度大小、方向
4、均在不断变化.题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于 v2大小不变，求出D点的曲率半径即可.猎犬作匀速率曲线运动，在一段极短的时间.:t内，猎犬运动的轨迹可近似看成是一段圆弧，如图5所示，设其半径为 r，则加速度为2a =v2，其方向与速度方向垂直在.迸时间内，设狐狸与猎犬分别r到达F 与D ，猎犬的速度转过的角度为0, 0 = 沁rV1图5猎犬追狐狸在自然坐标系中分析而狐狸跑过的距离可近似为vt、解得r二也Lvi VjV2所以猎犬的加速度大小为aL3评议猎犬追狐狸，猎犬作平面曲线运动，对平面曲线运动的研究，有矢量方法及坐标系分析的方法由以 上解答可以看出，矢量方法是一个较简单的分析方法，但考生
5、由于受到平时练习题的定势思维的影响，往 往在坐标系中求解，对于平面直角坐标系及极坐标系，因运算过程烦琐，而未能求得最终结果对于在自 然坐标系中分析，难点在于如何求曲率半径？要求考生能用微元法（化曲为圆）及小角度运算的方法进行 分析.矢量运算及坐标系的选择是研究平面曲线运动的两大数学工具质点的平面曲线运动， 移、速度、加速度均是矢量，矢量的运算是基础，有时利用矢量方法进行分 析，会收到意想不到的功效至于在具体问题的分析中，选择什么样的坐标 系，要依据问题的性质和研究的方便来确定.一般地，当加速度为常量（如 重力加速度），应选取直角坐标系；当加速度总指向空间一点时，选取极坐标 系较方便；当质点的轨
6、迹已知时（如限定在某曲线轨道上运动），可选用自然坐标系2.所涉及到的位图6猎犬追狼h I A何处追上狼？（答案：轨迹是以O点去追击狼.若追击 O点始终在同一直线上，则猎犬是沿什么轨迹运动的？在 OD为直径的圆周，猎犬在 D处追上狼.） 第2页共3页附同类训练题：一只狼沿半径为 R的圆形岛边缘以逆时针方向匀速跑动， 如图6所示，狼过A点时，一只猎犬以相同的速率从 过程中，狼、犬、基金项目中国教育学会物理教学专业委员会研究课题：物理习题教学及其评价的研究（编号 yb15004）参考文献1何述平.匀速圆周运动向心加速度的教学研究J.物理教师2011 （12） : 20242 杨维纮力学与理论力学（上册） M 北京：科学出版社， 200824第 3 页共 3 页