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1、精 品 数 学 课 件,北 师 大 版,4.3几何法反证法,1.几何法 通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法. 点拨 利用几何法的关键是根据不等式的结构特点构造相应的几何图形.,做一做1 若a,bR,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是() A.0, 10 B.-2 10 ,2 10 C.- 10 , 10 D.-2 5 ,2 5 解析:由a2+b2=10,得点(a,b)是以原点为圆心,以 10 为半径的圆上的点. 设a-b=t,则t为斜率为-1的直线在x轴上的截距,由图可知当直线与圆相切时,t取最值,此时圆心到直线的距离d= | 2 = 10 ,故|t|=2
2、5 ,即tmin=-2 5 ,tmax=2 5 . 答案:D,2.反证法 反证法证不等式是先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的反面成立,以此为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结果,从而断定假设错误,因而确定要证的不等式成立. 它的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论.,点拨 反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面我们列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设. 对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原
3、则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.,做一做2 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是() A.假设至少有一个钝角 B.假设没有一个钝角 C.假设至少有两个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析:由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”,故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至少有两个钝角,故选C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究一用几何法证明不等式 利用几何法证明不等式的关键是构造几何图形.先要研究所证不等式两边的结构特点,再把
4、其中的字母当作图形的边长,最后用几何图形中的不等关系来表示所要证明的不等式. 典型例题1 已知a0,b0,c0,求证: 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 ,当且仅当 1 = 1 + 1 时取等号. 思路分析:从三个根式的结构特点,容易联想到余弦定理,于是可构造图形,利用余弦定理来证明.,探究一,探究二,探究三,证明:如图所示,作OA=a,OB=b,OC=c,AOB=BOC=60,则AOC=120,AB= 2 + 2 ,BC= 2 + 2 ,AC= 2 + 2 . 由几何知识知,AB+BCAC, 故 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 , 当且仅当A,B,C三点共线时取等号. 此时有
5、1 2 absin60+ 1 2 bcsin60= 1 2 acsin120, 即ab+bc=ac. 故当且仅当 1 = 1 + 1 时取等号. 点评 赋予待证不等式中代数式几何意义,是利用几何法证明不等式的前提.,探究一,探究二,探究三,变式训练1已知x,y,z0,求证: 2 + 2 2 + 2 + 2 3 2 + 2 . 证明:构造三棱锥V-ABC,且VA=x,VB=y,VC=z,AVB=45,BVC=30,CVA=60. 如图所示, 则AB= 2 + 2 2 ,BC= 2 + 2 3 , CA= 2 + 2 . 因为在ABC中,AB+BCCA, 所以 2 + 2 2 + 2 + 2 3
6、2 + 2 .,探究一,探究二,探究三,探究二用反证法证明不等式 1.用反证法证明,就是从结论的反面出发,要求结论反面的情况只有有限多种,然后证明这种反面的结论都是不可能的,是与已知条件、已知事实或已证明过的定理相矛盾的. 2.要证不等式MN,先假设MN,由题设及其他性质推出矛盾,从而肯定MN成立.凡涉及的证明不等式为否定性命题,唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时,可考虑使用反证法.,探究一,探究二,探究三,3.用反证法证明不等式要把握三点: (1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的. (2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据
7、这一条件进行论证;否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法. (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.,探究一,探究二,探究三,典型例题2 已知a,b,c(0,2),求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能同时大于1. 思路分析:“不能同时”包含情况较多,而其否定“同时大于”仅有一种情况,因此用反证法证明. 证法一:假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a同时大于1, 即(2-a)b1,(2-b)c1,(2-c)a1, 三式同向相乘,得(2-a)a
8、(2-b)b(2-c)c1. a(0,2),2-a0, (2-a)a 2+ 2 2 =1.同理(1-b)b1,(1-c)c1. (2-a)a(2-b)b(2-c)c1,当且仅当a=b=c=1时等号成立, 与假设矛盾,故原结论成立.,探究一,探究二,探究三,证法二:假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a同时大于1. a(0,2),2-a0. 又b(0,2), (2)+ 2 (2) 1. 同理 (2)+ 2 , (2)+ 2 都大于1. 三式相加,得33,矛盾. 故原结论成立. 点评 结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语的证明问题,比较适合应用反证法证明.因为此类问题的反面比较具体.,
9、探究一,探究二,探究三,典型例题3 已知f(x)=x2+bx+c,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 1 2 . 思路分析:问题从正面证明不易入手,适合应用反证法证明. 证法一:假设|f(1)| 1 2 ,|f(2)| 1 2 ,|f(3)| 1 2 , +,得- 11 2 2b+c- 9 2 ,与矛盾, 假设不成立, |f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 1 2 .,探究一,探究二,探究三,证法二:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 1 2 , 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2. 而|f(1)|+2|f(2)|
10、+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)|f(1)+f(3)-2f(2) =(1+b+c)+(9+3b+c)-2(4+2b+c)=2, 两式显然矛盾, 假设不成立, |f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 1 2 . 点评 1.在所要证明的问题中含有“至多”“至少”等字眼时,常使用反证法证明. 2.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推,探究一,探究二,探究三,变式训练2已知函数f(x)=x2-x,xR,若正数m,n满足mn1,证明:f(m),f(n)至少有一个不小于零. 证明:假设
11、f(m)0,n0, m-11矛盾, 假设不成立,即f(m),f(n)至少有一个不小于零.,探究一,探究二,探究三,探究三易错辨析 易错点利用反证法证明问题时,因否定不全面而致错 典型例题4 如图所示,已知在ABC中,CAB90,D是BC的中点. 求证:AD 1 2 BC.,探究一,探究二,探究三,错解:证明:假设AD 1 2 BC. 因为AD 1 2 BC,BD=DC= 1 2 BC, 所以在ABD中,ADBD. 从而BBAD,同理CCAD, 所以B+CBAD+CAD, 即B+CCAB. 又因为B+C=180-CAB, 所以180-CABCAB, 即CAB90,这与题设条件矛盾. 故假设不正确
12、. 所以AD 1 2 BC.,探究一,探究二,探究三,错因分析:利用反证法证明问题时,否定要全面彻底,对否定的每一种情况都要推出矛盾,才算证明完毕.本题中,“AD 1 2 BC”. 正解:证明:假设AD 1 2 BC. (1)若AD= 1 2 BC. 由平面几何中的定理“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半,那么这条边所对的角为直角”知CAB=90,与题设矛盾,所以AD 1 2 BC.,探究一,探究二,探究三,(2)若AD 1 2 BC.因为BD=DC= 1 2 BC, 所以在ABD中,ADBD. 从而BBAD. 同理CCAD, 所以B+CBAD+CAD, 即B+CCAB. 又因为B+C=1
13、80-CAB, 所以180-CABCAB, 即CAB90,这也与题设矛盾. 由(1),(2)可知AD 1 2 BC.,1 2 3 4 5,1.用反证法证明:如果整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个偶数.下列假设中正确的是() A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数 答案:B,1 2 3 4 5,2.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1内至少有一个值c,使f(c)0,则实数p的取值范围是() A. 3, 3 2 B. 2, 1 5
14、 C.(-1,0)D. 1 2 , 2 3 解析:若f(x)在-1,1内没有满足f(c)0的数c, 则 (1)0, (1)0, 解得 1 2 或1, 3或 3 2 . 此时p的取值范围是 |3或 3 2 ,取补集即得实数p的取值范围,即 |3 3 2 . 答案:A,1 2 3 4 5,3.若a,b,cR+,则三个数a+ 1 ,b+ 1 ,c+ 1 () A.都大于2B.都小于2 C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2 解析:假设a+ 1 ,b+ 1 ,c+ 1 都小于2, 则(a+b+c)+ 1 + 1 + 1 6. 1 +a2,b+ 1 2,c+ 1 2, (a+b+c)+ 1 + 1
15、 + 1 6, 当且仅当a=b=c=1时取等号,这与假设矛盾, 三个数中至少有一个不小于2. 答案:D,1 2 3 4 5,4.设a,bR,给出下列条件: a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1. 其中能推出“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是(填序号). 解析:对于,a,b均可小于1;对于,a,b均可等于1;对于,a,b均可为负数;对于,若a,b都不大于1,则a+b2,与矛盾.故若成立,则“a,b中至少有一个实数大于1”成立. 答案:,1 2 3 4 5,5.已知x,y,z(0,1).求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)SBDF+SDCE+SAEF,得11sin 60 x(1-y)sin 60+y(1-z)sin 60+z(1-x)sin 60.整理,得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1. 即得证.,