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1、精 品 数 学 课 件,北 师 大 版,第二章几个重要的不等式,1柯西不等式,1.简单形式的柯西不等式,点拨 定理1的几点说明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)20,所以二维形式的柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. (2)二维形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系,不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学和物理中有重要作用. (3)根据二维形式的柯西不等式,我们还可以得到如下的常用结论: 2 + 2 2
2、+ 2 |ac+bd|; 2 + 2 2 + 2 |ac|+|bd|. 其中,式中当且仅当ad=bc时等号成立,式中当且仅当|ad|=|bc|时等号成立.,做一做1 已知a,b0,且a+b=1,则( 4+1 + 4+1 )2的最大值是() A.2 6 B. 6 C.6D.12 解析:( 4+1 + 4+1 )2 =(1 4+1 +1 4+1 )2 (12+12)(4a+1+4b+1) =24(a+b)+2 =2(41+2)=12, 当且仅当 4+1 = 4+1 , 即a=b= 1 2 时等号成立. 答案:D,2.一般形式的柯西不等式 (1)定理2: 设a1,a2,an与b1,b2,bn是两组实
3、数,则有( 1 2 + 2 2 + 2 )( 1 2 + 2 2 + 2 )(a1b1+a2b2+anbn)2,当向量(a1,a2,an)与向量(b1,b2,bn)共线时,等号成立. (2)推论(三维形式的柯西不等式): 设a1,a2,a3,b1,b2,b3是两组实数,则有( 1 2 + 2 2 + 3 2 )( 1 2 + 2 2 + 3 2 )(a1b1+a2b2+a3b3)2.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时,等号成立. 点拨 (1)三维形式的柯西不等式是二维形式的柯西不等式的推广,是二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式过渡的桥梁,是从平面向量的几何背景到
4、空间向量的几何背景的拓展. (2)根据从特殊到一般的认识过程,由二维和三维形式的柯西不等式,类比猜想出一般形式的柯西不等式.,做一做2 已知 1 2 + 2 2 + 2 =1, 1 2 + 2 2 + 2 =1,则a1x1+a2x2+anxn的最大值是() A.1B.2 C.3D.4 解析:(a1x1+a2x2+anxn)2( 1 2 + 2 2 + 2 )( 1 2 + 2 2 + 2 )=11=1, a1x1+a2x2+anxn的最大值是1. 答案:A,探究一,探究二,探究三,探究一利用柯西不等式证明不等式 利用柯西不等式证明不等式时,有时需要将数学表达式进行适当变形,常见的变形技巧有下面
5、几种: (1)结构的巧变 应用柯西不等式证题的关键是要善于构造两组数:a1,a2,an;b1,b2,bn.柯西不等式的左端的乘积中的每一项恰好是每组数平方之和,即( 1 2 + 2 2 + 2 )( 1 2 + 2 2 + 2 ),右端正好是这两组数对应项的乘积之和的平方,即(a1b1+a2b2+anbn)2. (2)常数的巧拆 在运用柯西不等式时,根据题中的数字特征,对常数进行巧拆是一种常用技巧.,探究一,探究二,探究三,(3)位置的巧换 柯西不等式中的量ai,bi具有广泛的选择余地,任意两个元素ai,aj(或bi,bj)的交换,可以得到不同的不等式,因此,在证明时根据需要重新安排各量的位置
6、,按照特定的顺序对应,这种形式上的变更往往给解题带来意想不到的方便. (4)项的巧添 有些问题表面上看不能应用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或值为常数的项,就可以运用柯西不等式来解.,探究一,探究二,探究三,典型例题1 设a,bR+,且a+b=2. 求证: 2 2 + 2 2 2. 思路分析:利用柯西不等式证明不等式,需要观察不等式的结构特点,本题可以看作求 2 2 + 2 2 的最小值,因而需出现(a2+b2)(c2+d2)的结构.把 2 2 + 2 2 视为其中的一个括号内的部分,另一部分可以是(2-a)+(2-b).,探究一,探究二,探究三,证明:根据柯西不等式,有 (2-a)+(2
7、-b) 2 2 + 2 2 =( 2 )2+( 2 )2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 2 2 =(a+b)2=4, 当且仅当a=b=1时等号成立. 2 2 + 2 2 4 (2)+(2) =2, 原不等式成立. 点评 根据题设条件,综合利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换等方法往往可以发现问题的本质,找到解题突破口.,探究一,探究二,探究三,典型例题2 已知a,bR+,且a+b=1. 求证:(ax+by)2ax2+by2. 思路分析:采用柯西不等式的向量形式. 证明:设m=( x, y),n=( , ), 则|ax+by|=|mn|m|n| = ( ) 2 +( ) 2 ( ) 2
8、+( ) 2 = 2 + 2 + = 2 + 2 , 故(ax+by)2ax2+by2.,探究一,探究二,探究三,点评 使用向量形式的柯西不等式时要注意向量模的计算公式|= 2 + 2 (其中=(x,y)对数学式子变形的影响.,探究一,探究二,探究三,变式训练1已知3x2+2y26,求证:2x+y 11 . 证明:由柯西不等式,得 (2x+y)2( 3 x)2+( 2 y)2 2 3 2 + 1 2 2 =(3x2+2y2) 4 3 + 1 2 6 11 6 =11. 于是2x+y 11 . 当且仅当 3 2 3 = 2 1 2 ,即 = 4 3 时等号成立.,探究一,探究二,探究三,探究二利
9、用柯西不等式求最值 利用柯西不等式求最值,关键在于构造两组数,向着柯西不等式的形式转化. 典型例题3 设x,y,zR,且 (1 ) 2 16 + (+2 ) 2 5 + (3 ) 2 4 =1.求x+y+z的最大值和最小值. 思路分析:根据柯西不等式的形式对式子进行变形,注意等价性.,探究一,探究二,探究三,解:根据柯西不等式,知42+( 5 )2+22 1 4 2 + +2 5 2 + 3 2 2 4 1 4 + 5 +2 5 +2 3 2 2 , 当且仅当 1 16 = +2 5 = 3 4 ,即x= 21 5 ,y=-1,z= 19 5 或x=- 11 5 ,y=-3,z= 11 5 时
10、等号成立, 251(x+y+z-2)2,|x+y+z-2|5, -3x+y+z7, 即x+y+z的最大值为7,最小值为-3.,点评 当式子中有根号、平方等形式时,经常应用柯西不等式求解.,探究一,探究二,探究三,变式训练2在半径为R的圆内,求周长最大的内接长方形. 解:如图所示,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为 4 2 2 ,于是ABCD的周长 l=2(x+ 4 2 2 ) =2(1x+1 4 2 2 ). 由柯西不等式,得 l2x2+( 4 2 2 )2 1 2 (12+12 ) 1 2 =2 2 2R=4 2 R, 当且仅当 1 = 4 2 2 1 , 即x= 2 R时等号成立. 此时
11、,宽为 4 2 ( 2 ) 2 = 2 R,即ABCD为正方形,故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为4 2 R.,探究一,探究二,探究三,探究三易错辨析 易错点应用柯西不等式求最值时,因不注意等号成立的条件而致错 典型例题4 已知函数f(x)=x+ 1 ,x2,4,求f(x)的最小值. 错解: + 1 1 + 1 + 1 2 =4, x+ 1 2, f(x)的最小值为2. 错因分析:应用柯西不等式求最值时,等号成立时须 = 1 1 ,即x= 1 ,即x=1.但12,4,所以不符合题意.,探究一,探究二,探究三,正解:易证f(x)=x+ 1 在2,4上为增函数, 故f(x)的最小值为f(2)
12、=2+ 1 2 = 5 2 .,1 2 3 4 5,1.已知a,bR+,则 2 si n 2 + 2 co s 2 的最小值为() A.a2+b2B.2ab C.(a+b)2D.4ab 解析: 2 si n 2 + 2 co s 2 = 2 si n 2 + 2 co s 2 (sin2+cos2) sin sin+ cos cos 2 =(a+b)2, 当且仅当 sin cos= cos sin, 即 =tan2时等号成立. 答案:C,1 2 3 4 5,2.已知a+b=1,则a2+b2的最小值为() A.1B.2 C. 1 2 D.无最小值 解析:由柯西不等式,知(a2+b2)(12+12
13、)(a+b)2. a+b=1, a2+b2 1 2 ,当且仅当a=b= 1 2 时等号成立. 答案:C,1 2 3 4 5,3.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P= + ,Q= + + ,则P与Q的大小关系是. 解析:P= + ( ) 2 +( ) 2 2 + 2 = + + =Q. 答案:PQ,1 2 3 4 5,4.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值是. 解析:2x+y= 2 2 x+1y ( 2 ) 2 + 1 2 ( 2 ) 2 + 2 = 3 2 2 + 2 = 3 . 答案: 3,1 2 3 4 5,5.求函数f(x)= 6 + 12 的最大值. 解:由柯西不等式,得 ( 6 + 12 )2(12+12)( 6 )2+( 12 )2=12, 即 6 + 12 2 3 , 当且仅当 6 = 12 , 即x=9时等号成立,所以f(x)取得最大值2 3 .,