《2019学年【北师大版】选修4-5数学：2.2《排序不等式》课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019学年【北师大版】选修4-5数学：2.2《排序不等式》课件.pptx（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精 品 数 学 课 件,北 师 大 版,2排序不等式,1.定理1 设a,b和c,d都是实数,如果ab,cd,那么ac+bdad+bc,此式当且仅当a=b(或c=d)时取等号. 2.定理2 (1)顺序和、乱序和、逆序和: 设实数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足a1a2a3,b1b2b3,则a1b1+a2b2+a3b3a1 1 +a2 2 +a3 3 a1b3+a2b2+a3b1,其中j1,j2,j3是1,2,3的任一排列方式.上式当且仅当a1=a2=a3(或b1=b2=b3)时取“=”号. 通常称a1b1+a2b2+a3b3为顺序和,a1 1 +a2 2 +a3 3 为乱序和,a1b3+a
2、2b2+a3b1为逆序和(倒序和).,(2)定理2(排序不等式): 设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn,则(顺序和)a1b1+a2b2+anbn(乱序和)a1 1 +a2 2 +an (逆序和)a1bn+a2bn-1+anb1. 其中j1,j2,jn是1,2,3,n的任一排列方式.上式当且仅当a1=a2=an(或b1=b2=bn)时取“=”号.,点拨 在排序不等式的证明中,用到了“探究猜想检验证明”的思想方法.这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了“一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法,所以可以结合像平
3、时班级排队等一些常识的事例来理解.对于出现的“逐步调整比较法”,要引起注意,研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时,这种方法对理解相关问题是比较简单易懂的.,做一做 若abc,xyz,则下列各式中值最大的一个是 () A.ax+cy+bzB.bx+ay+cz C.bx+cy+azD.ax+by+cz 解析:由于abc,xyz,因此由排序不等式:逆序和乱序和顺序和,得ax+by+cz最大,故选D. 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究一利用排序不等式证明不等式 利用排序不等式证明不等式时往往要构造数组.在构造数组时,自己可以根据题目的要求和需要来限定数组间的一些关系,对于一些大小顺序,在不影
4、响一般性的前提下,也可以设定. 典型例题1 已知a,b,c为正数,abc,求证: 1 1 1 . 思路分析:由于题目条件中已明确abc,故可以直接构造两个数组证明.,探究一,探究二,探究三,证明:ab0, 1 1 . 又c0, 1 0,从而 1 1 . 同理,bc0, 1 1 . a0, 1 0,于是得 1 1 . 从而 1 1 1 . 点评 可利用条件abc构造两个数组,再应用排序不等式证明.,探究一,探究二,探究三,典型例题2 设a1,a2,an是1,2,n的一个排列,求证: 1 2 + 2 3 + 1 1 2 + 2 3 + 1 . 思路分析:构造出数组,利用排序原理证明. 证明:设b1
5、,b2,bn-1是a1,a2,an-1的一个排列,且b1 1 2 1 1 , 且b11,b22,bn-1n-1,c12,c23,cn-1n. 利用排序不等式,有 1 2 + 2 3 + 1 1 1 + 2 2 + 1 1 1 2 + 2 3 + 1 . 故原不等式成立.,探究一,探究二,探究三,点评 根据待证问题的结构特点构造出合适的数组是求解问题的关键.,探究一,探究二,探究三,典型例题3 若x0,求证:1+x+x2+x2n(2n+1)xn. 思路分析:题目中只给出了x0,但对于x1,x1没有明确,因而需要进行分类讨论. 证明:(1)当x1时,1xx2xn,由排序不等式:顺序和反序和,得 1
6、1+xx+x2x2+xnxn1xn+xxn-1+xn-1x+xn1, 即1+x2+x4+x2n(n+1)xn. 又因为x,x2,xn,1为序列1,x,x2,xn的一个排列,于是再次由排序不等式:乱序和反序和,得 1x+xx2+xn-1xn+xn11xn+xxn-1+xn-1x+xn1, 得x+x3+x2n-1+xn(n+1)xn.,探究一,探究二,探究三,将和相加,得 1+x+x2+x2n(2n+1)xn. (2)当0 xx2xn, 仍然成立,于是也成立. 综合(1)(2)可知,1+x+x2+x2n(2n+1)xn. 点评 在没有给定字母大小的情况下,要使用排序不等式,必须限定字母的大小顺序,
7、而只有具有对称性的式子才可以直接限定字母的大小顺序,否则要根据具体情况分类讨论.,探究一,探究二,探究三,变式训练已知0 1 2 (sin 2+sin 2+sin 2). 证明:0coscos0, sincos+sincos+sincos sincos+sincos+sincos = 1 2 (sin2+sin2+sin2).,探究一,探究二,探究三,探究二用排序不等式解决实际问题 若实际问题中的一些数据具有一定的顺序,解题时可考虑将它转化为应用排序不等式解决的数学问题.如求一些数据的最大值、最小值等问题. 典型例题4 某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件,5件及2件,现在选择商店中单
8、价为3元,2元和1元的礼品,则至少要花多少钱?最多要花多少钱? 思路分析:由于所买礼品的件数与单价都具有大小顺序,故可应用排序不等式解决. 解:由排序不等式,知 花钱最少为15+24+32=19(元), 花钱最多为12+24+35=25(元). 故至少要花19元,最多要花25元.,探究一,探究二,探究三,探究三易错辨析 易错点应用排序不等式时,因忽视等号成立的条件而致错 典型例题5 已知a1,a2,a3,b1,b2,b31,2,且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,试求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范围. 错解:不妨设1a1a2a32,c1,c2,c3为b1,b2,b3
9、的一个排列,且1c1c2c32,则a1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3, 3a1b1+a2b2+a3b312, a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为3,12. 错因分析:由于a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3也不全相等,故排序不等式中的等号不成立.,探究一,探究二,探究三,正解:(以上解答同上面) 3a1b1+a2b2+a3b312. 又a1,a2,a3不全相等,且b1,b2,b3不全相等, 故等号不成立, a1b1+a2b2+a3b3的取值范围为(3,12).,1 2 3 4,1.已知a0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,
10、N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是 () A.MNB.MNC.MND.MN 解析:取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和; 而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知,“顺序和”大于“乱序和”. 答案:B,1 2 3 4,2.已知a,b,c都是正数,则 + + + + + . 解析:设abc0,则 1 + 1 + 1 + , 由排序不等式, 知 + + + + + + + + + + , + + + + + + + + + + , 由+,得 + + + + + 3 2 . 答案: 3 2,1 2 3 4,3.已知a,b,x,yR+,且 1 1 ,xy,则 + + (填“”或“ 1 ,ba0. 又xy0,bxay, + + = (+)(+) 0, + + . 答案:,1 2 3 4,4.设a,b,cR+,求证: 1 + 1 + 1 1 2 + 1 2 + 1 2 . 证明:不妨设abc0,则0 1 1 1 . 取乱序和为 1 + 1 + 1 , 由排序不等式:乱序和顺序和,得 1 + 1 + 1 1 2 + 1 2 + 1 2 , 当且仅当a=b=c时等号成立.,