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1、第二章 谓词逻辑Predicate Logic,前言,苏格拉底三段论(Socrates syllogism)： 所有人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 （Socrates, 古希腊哲学家,公元前470前399） (孔子,中国伟大哲学家,公元前551前479),前言,在命题逻辑中，如果 设：P：凡人都是要死的； Q：苏格拉底是人； R：苏格拉底是要死的。 前提：P,Q，结论：R。 则(PQ)R表示上述推理， 这个命题公式不是重言式。,前言,在谓词逻辑中，如果 设：H(x)：x是人。 M(x)：x是要死的。 a：苏格拉底。 前提：(x)(H(x) M(x)，H(a) 结论：M(
2、a) (x)(H(x)M(x)H(a)M(a),前言,主语 谓语 客（个）体 谓词,客体可以独立存在，它可以是具体的，也可以是抽象的。 而用来描述客体的性质或关系的即是谓词。 为了刻画命题内部的逻辑结构，就需要研究谓词逻辑（Predicate Logic）。,前言,比如： P：张三是大学生 Q：李四是大学生 以上这些命题都具备有一个共同的特征就是：x是大学生。 P(x)就可以代表这一类的命题。 P(x) ： x是大学生，a：张三， b：李四， P(a)：张三是大学生 P(b)：李四是大学生,2-1 谓词的概念与表示,2-1.1 谓词的概念 定义1：谓词（predicate） 在命题中，用以刻画
3、客体词的性质或客体词之间关系的词即是谓词，谓词相当于命题中的谓语部分。 例如： 他是三好学生 “他”是个体，“是三好学生”是表示个体性质的谓词 5大于3 “5”和“3”是个体，“大于”是表示个体之间关系的谓词,2-1.2 谓词的表示：,用大写英文字母 A,B,C,D,表示谓词，用小写字母表示客体。 前面的例子可表示为： (1) A(x): x是三好学生，h:他， A(h): 他是三好学生 (2) G(x,y): x大于y， G(5,3): 5大于3,2-1.3如何利用谓词表达命题：,用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体两个部分。比如： A(x)可以表示“x是A”类型的命题，表达了客体的性质，称
4、为一元谓词 。 B(x,y) 可以表示“x小于y”类型的命题，表达了客体之间的关系，称为二元谓词， 。 L(x,y,z) 可以表示“点x在y与z之间”类型的命题，表达了客体之间的关系，称为三元谓词。 用P(x1,x2,xn)表示n元谓词，在这里n个客体变元的顺序不能随意改动。,2-2 命题函数与量词,2-2.1 命题函数 一般来说，当谓词P给定， x1,x2,xn是客体变元 ，P(x1,x2,xn) 不是一个命题，因为他的真值无法确定，要想使它成为命题，要用n个客体常项代替n个客体变元。 P(x1,x2,xn) 就是命题函数。 比如L(x,y)表示“x小于y”，那么L(2,3)表示了一个真命题
5、“2小于3”。而 L(5,1)表示了一个假命题“5小于1”,2-2.1 命题函数,定义1：简单命题函数(simple propositional function)： 由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z) 简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等取特定的客体才确定了一个命题。 对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特殊情况。,2-2.1 命题函数,比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词，L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表示“2小于3”是0元谓词。 因此可以将
6、命题看成n元谓词的一个特殊情况。 0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命题都可以用0元谓词表示。,2-2.1 命题函数,定义2：复合命题函数（compound propositional function）： 由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式。 命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含义完全相同。 举例说明：P56例，例,2-2.1 命题函数,定义3：谓词填式 单独一个谓词不是完整的命题，把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。 例如：P(x)表示x3，则P(1)、 P(2)、 P(5)分别表示1大于3，2大于3，5大于3，P(1)、 P(2)、 P(5)即是谓词填式。,2-2
7、.1 命题函数,定义4：谓词表达式 简单命题函数与逻辑联结词组合而成。 示例分析 P59 (1) a),b),c) 设W(x):x是工人，z:小张，则原命题表示为：W(z) 设S(x):x是田径运动员， B(x):x是球类运动员，h:他，则原命题表示为： S(h) B(h) 设C(x):x是聪明的，B(x):x是美丽的，a:小莉，则原命题表示为： C(a) B(a),注意：命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定客体时，才能成为一个命题。但是客体变元在哪些范围取特定的值，对命题函数以下两方面有极大影响： (1) 命题函数是否能成为一个命题； (2) 命题的真值是真还是假。,2-2.1 命题函数
8、,个体域(universe of discourse)： 在命题函数中，命题变元的论述范围称为个体域。 全总个体域： 个体域可以是有限的，也可以是无限的，把各种个体域综合在一起，作为论述范围的域，称为全总个体域。,2-2.2 量词,例题：符号化以下命题 所有人都要死去。 有的人的年龄超过百岁。 以上给出的命题，除了有个体词和谓词以外，还有表示数量的词，称表示数量的词为量词。量词有两种： 全称量词(universal quantifier) 存在量词(existential quantifier),2-2.2 量词,定义1全称量词(universal quantifier) 用符号“”表示，“x
9、”表示对个体域里的所有个体。(x)P(x)表示对个体域里的所有个体都有属性P。 表达“对所有的”，“每一个”，“对任一个”，“凡”，“一切”等词。 The universal quantifier , an upside-down A, is used to build compound propositions of the form (x)P(x), which we read as “for all x, P(x).” Other translations of are “for each,” “for every,” “for any.” The compound propositio
10、n (x)P(x) is assigned truth value as follows: (x)P(x) is true if P(x) is true for every x in U;otherwise (x)P(x) is false.,2-2.2 量词,定义2存在量词(existential quantifier) 用符号“”表示。x表示存在个体域里的个体。(x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性质P。 符号“”称为存在量词，用以表达“某个”，“存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。 The existential quantifier , a backward E is
11、used to form propositions like （x）P(x), which we read as “there exists an x such that P(x),” “there is an x such that P(x),” or “for some x, P(x).” The compound proposition （x）P(x) has these truth values:（x）P(x) is true if P(x) is true for at least one x in U; （x）P(x) is false if P(x) is false for e
12、very x in U.,2-2.2 量词,唯一存在量词（unique quantifier）： “恰好存在一个”，用符号“!”表示。,2-2.2 量词,现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号化之前必须确定个体域。 第一种情况个体域D为人类集合。 设：F(x) ： x是要死的。 G(x)： x活百岁以上。 则有(x) F(x) 和 (x) G(x) 这两个命题都是真命题,2-2.2 量词,第二种情况个体域D为全总个体域。 不能符号化为(x)F(x)和(x)G(x)，因为: (x)F(x)表示宇宙间一切事物都要死的，这与原命题不符。 (x)G(x)表示宇宙间一切事物中存在百岁以上，这与原命题不
13、符。,2-2.2 量词,因此必须引入一个新的谓词，将人分离出来。在全总个体域的情况下，以上两个命题叙述如下： (1) 对于所有个体而言，如果它是人，则它要死去。 (2) 存在着个体，它是人并且活过百岁以上。 于是，再符号化时必须引入一个新的谓词 M(x)：x是人。 称这个谓词为特性谓词。,2-2.2 量词,定义：特性谓词 在讨论带有量词的命题函数时，必须确定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓词。 利用特性谓词，对以上两个命题进行符号化 (1) (x)( M(x)F(x) ) (2) (x)( M(x)G(x) ),使用量词时应注意的问题：,在讨论有量词
14、的命题函数时如果事先没有给出个体域，那么都应以全总个体域为个体域。 对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。对存在量词，特性谓词常做合取项。,举例说明：,例1“有些人是要死的”. 解1：采用全体人作为个体域. 设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x) 解2：采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死的. 原命题符号化成: (x)(M(x) G(x),例2 “凡人都是要死的”. 解1: 采用全体人作为个体域. 设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x) 解2: 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死的. 原
15、命题符号化成: (x)(M(x) G(x),例3: “存在最小的自然数”。 解1: 采用全体自然数作为个体域. 设: G(x,y): xy; 原命题符号化成: (x)(y)G(x,y) 注意量词顺序: (y)(x)G(x,y): “没有最小的自然数”. 解2: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): xy; 原命题符号化成: (x)(F(x) (y)(F(y) G(x,y),例4: “不存在最大的自然数”。 解: 设: F(x): x是自然数; G(x,y): xy; 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y) 或: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y),例
16、5: “火车比汽车快”。 解: 设: F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y) 或: (x)(y)(F(x)G(y)H(x,y),例6: “有的汽车比火车快”。 解: 设: F(x): x是汽车; G(x): x是火车; H(x,y): x比y快 原命题符号化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y) 或: (x)(y)(F(x)G(y)H(x,y),例7: “有些病人相信所有的医生”。 解: 设: F(x): x是病人; G(x): x是医生; H(x,y): x相信y 原命题符号化成:
17、(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y),例8: “存在唯一的对象满足性质P”。 解: 设: P(x): x满足性质P 原命题符号化成: (!x)P(x) 或: 设: P(x): x满足性质P; E(x,y):x和y是同一个个体 原命题符号化成: (x)( P(x) (y)( P(y)E(x,y) ) ),2-3 谓词公式与翻译,书上已经给出谓词，命题函数，谓词表达式。在数理逻辑中需要对能够进行谓词演算的公式进行准确的定义。这样以后我们不再说谓词，命题函数，谓词表达式等, 而只研究谓词公式。,2-3.1 谓词逻辑字母表：,个体常项: a, b, c, , a1, b1, c1, 个体变项:
18、 x, y, z, , x1, y1, z1, 函数符号: f, g, h, , f1, g1, h1, 谓词符号: F, G, H, , F1, G1, H1, 量词符号: , , ! 联结词符号: , , , , 括号与逗号: (, ), ，,2-3.2 谓词公式,定义：谓词公式（谓词演算的合式公式）用wff表示（well form formulation) （1）A(x1,x2,xn)称为原子谓词公式，原子谓词公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则(A)是一个谓词公式。 （3）若A和B都是谓词公式，则(AB) ，(AB)， (AB)， (AB)和都是谓词公式。 （4）如果A是谓词公式，x是A中出现的任何变元，则(x)A，(x)A，和(!x)A都是谓词公式。 （5）只有经过有限次的应用规则(1)，(2)，(3)，(4)所得到的公式是谓词公式。,2-3.2 谓词公式,举例说明： 以下都是谓词公式 x(F(x)y(G(y)H(x,y) F(f(a,a),b),2-3.3 翻译,见P61 例1,