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1、第10页共7页B.31D.63解析：选B 法一：设首项为 a1,公比为q，因为an 0,所以q 0,由条件得a1 q2= 4, a1q a1q5= 64,解得戶1=1所以S5= 31,故选q= 2,B.专题检测（八）等差数列、等比数列A组一一“6+ 3 + 3”考点落实练一、选择题1.（2019全国卷川）已知各项均为正数的等比数列 an的前4项和为15,且a5= 3a3+ 4ai,则 a3=（）A. 16B.8C.4D.2如0, q0, 解析：选C 由题意知 価+ a1q+ a1q2+ ag3= 15,、a1q4 = 3a1q2+ 4a1,a1= 1,2丄解得/a3 = a1q = 4.故选
2、C.q = 2,2. (2019湖南省五市一校联考)已知数列an满足2an = an-1+ a“+ 1(n2) + a4 + a6= 12,a1 + a3 + a5= 9,贝V a1 + 比=()A.6B.7C.8D.9解析：选B 法一：由题意知，数列an是等差数列，设公差为d ,则a1 + d + a1 + 3d+ a1 + 5d= 12,a1= 1,1解得彳所以a1 + a6= a1+ a1+ 5d= 7,故选B.a1 + a1 + 2d+ a1 + 4d = 9,d = 1,法二：由题意知，数列an是等差数列，将 a2+ a4 + a6= 12与a1 + a3+ a5= 9相加可得 3(
3、a1+ a6) = 12 + 9 = 21,所以 a1 + a6= 7,故选 B.3. (2019福州市质量检测)等比数列an的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3= 4,a2a6= 64,则 S5=()A.32C.64法二：设首项为a1，公比为q,因为an0，所以q0，由a2a6= a4= 64, a3= 4,得q=2, a1= 1，所以 S5= 31,故选 B.4. 数列an中，ai= 2, a2= 3, a*+1 = a* a*-i(n2, n N ),那么 a2 019 =()A.1B. 2C.3D. 3解析：选 A 因为 a*+1= a* a*-1(n2)，所以 an= a*-1
4、 a*-2(n3),所以 an+1= a* a* -1= (an- 1 a -2) an- 1= an-2(n3).所以 an+ 3= an(n N )，所以 an + 6= an+ 3= an,故an是以6为周期的周期数列.因为 2 019= 336X 6+ 3,所以 a2 019= a3= a2 a1 = 3 2= 1.故选 A.5. (2019届高三 西安八校联考)若等差数列a*的前n项和为Sn,若&SS5,则满足SSn+1S7S5，得 S7 = S3 + a7S5，所以 a70 ,所以$3 =13 (a1 + a13)2=13a70,所以 S12S130,即满足SnSn +10的正整数
5、n的值为12,故选C.6.已知数列an满足 an+2a*+1 = a*+1 a*, n N*，且玄5=寺，若函数 f(x)= sin 2x+ 2cos2x 、2记yn= f(an)，则数列yn的前9项和为()A.0B. 9D.1C. 9解析：选C由已知可得，数列an为等差数列,f(x)= sin 2x+ cos x+1,x) = sin(2 n 2x) + cos( n x) + 1 = sin 2x cos x+ 1 , f( n x) + f(x) = 2,v a1+ a9= a2+ a8= = 2a5=n,. f(a1) + + f(a9)= 2X 4+ 1 = 9,即数列yn的前 9
6、项和为 9.二、填空题37.(2019全国卷I )记Sn为等比数列a*的前n项和，若a1= 1, S3 =,则S4 =.解析：设等比数列的公比为q,则an = a1 qn 1 = qn1.3 3a1 = 1 , S3=，a1 + a2+ a3= 1 + q + q =:,4 42 1 即 4q + 4q + 1 = 0,. q =-,5答案：58.(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn,若a2= 3, Ss=- 10，贝V as =, Sn的最小值为.解析：t a2= a1 + d= 3, Ss= 5a1 + 10d = 10,a = 4, d = 1, a5= a + 4d =
7、0, an= a + (n 1) d= n 5.令an0，则n0；当nw 6时，an 0.所以Sn的最小值为S5= Se= 30.11. (2019广西梧州、桂林、贵港等期末)设Sn为等差数列an的前n项和,S9= 81.(1) 求an的通项公式；若S3, a14, Sm成等比数列，求S2m.S9 = 9a5= 9 (a1+ 4d)= 81,a1 = 1,解：(1)$a2 + a3= 2a1 + 3d= 8,d= 2,故 an= 1 + (n 1) x 2= 2n 1.n (1 + 2n 1)2(2) 由(1)知，Sn=2= n. S3, a14, Sm成等比数列， S3 Sm = a,即 9
8、m2 = 272，解得 m= 9,故 S2m= 182= 324.12. (2019广州市调研测试)设Sn为数列an的前n项和，已知a3= 7, an2(n 2).(1) 证明：数列an+ 1为等比数列；(2) 求数列an的通项公式，并判断 n, an, Sn是否成等差数列？解：(1)证明：T a3= 7, a3 = 3a2 2 , a2= 3,an = 2an- 1 + 1 ,-a1 = 1 ,an+ 12an-1 + 2a+7 = o+1 = 2( n2),an1十 i an1十 i数列an+ 1是首项为a1+ 1= 2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,an+ 1= 2n,a2 +
9、a3= 8,2an-1 + a2 - an= 2n 1,n= 2时1n 2,n+ Sn 2an= n + (2“ 1 n 2) 2(2“一 1) = 0,-n+ Sn= 2an,即n, an , Sn成等差数列B组一一大题专攻强化练n*1.(2019湖南省湘东六校联考)已知数列an满足an +1 3an= 3 (n N )且a1= 1(1)设bn= 3?1，证明：数列 bn为等差数列；3设Cn= ，求数列 Cn的前n项和Sn.an解：(1)证明：由已知得 an +1= 3an + 3*，得 bn+1 = 3* =3 = nn 1 + 1 = bn + 1,333所以 bn+Lbn= 1，又 a
10、1= 1,所以 b1 = 1,所以数列bn是首项为1,公差为1的等差数列(2)由(1)知，bn = 31 = n,所以n 1an = n 3,cn =3n 1所以Sn =1 X3n 3131=21卞=2 22.(2019全国卷I )记Sn为等差数列an的前n项和已知&= as.(1)若a3= 4，求an的通项公式；若a10，求使得Sn an的n的取值范围解: (1)设an的公差为d.由 S9= a5得 a1 + 4d= 0.由 a3= 4 得 a1 + 2d = 4.于是 a1 = 8， d = 2.因此an的通项公式为an= 10 2n.(2)由(1)得 a1 = 4d，故 an= (n 5
11、)d，n (n 9) dSn =2.由a10知dan等价于n2 11n + 10 0，解得1 n 10，所以n的取值范围是 n|1W n2 020成立的最小正整数 n的值.解：(1)令 n= 1 得，a1 2a2 + a3= 0,解得 a2= 5.又由 an 2an+1 + an+2 = 0 知，an+ 2 an +1 = an+1 an= = a? a = 2,故数列an是首项a1 = 3，公差d = 2的等差数列,是 an= 2n+ 1,bn= a2n1= 2n+ 1.(2)由(1)知,bn= 2n+ 1.是 b1 + b2+ bn= (21 + 22+ + 2n) + n = =(!_：)+ n= 2n+1+ n 2.1 2令f(n) = 2n+1 + n 2,易知f(n)是关于n的单调递增函数,又 f(9) = 210 + 9 2 = 1 031, f(10) = 211+ 10 2= 2 056 ,故使b1 + b2+- + bn 2 020成立的最小正整数 n的值是10.