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1、WORD格式.资料专题：椭圆的离心率，利用定义求椭圆的离心率e =-或- i )ala丿1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 e =,32专业.整理222，椭圆=1的离心率为4m解析当焦点在x轴上时,.4 - m2当焦点在y轴上时,m-415 丁16m -，3综上m 或333,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是4，已知m,n,m+n成等差数列,m n，mn成等比数列，则椭圆尸2，椭圆n =42n =2m n解析由n2 = m2 n 二mn式02 2=1的离心率为m n2 2务每=1的的离心率为m n5,已知 丄=1(m0. n .0)则当mn取得最小值时，
2、椭圆m n2 2Xy6,设椭圆 亍=1 (a b0)的右焦点为F1，右准线为11,若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点ab1距离，则椭圆的离心率是一。2，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1,在Rt ABC中， A =90 , AB二AC =1，如果一个椭圆过 A B两点，它的一个焦点为 C,另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率e二.6 - .32,如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB1与BF交于D,且/ BDB1 则椭圆的离心率为()解析b (_b) _ T 二 a2 _ c2 = ac 二 e = 5-a c2M N两点，椭圆的左焦点为F1,直线3,以椭圆的右焦
3、点 F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于MF与圆相切，则椭圆的离心率是,3 -1变式(1):以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心I MFI = I MO，则椭圆的离心率是2 2x y4,椭圆 尹 + -=1(ab 0)的两焦点为椭圆的离心率e?Fi、F2，以FlF2为边作正三角形，O并且与椭圆交于M N两点，如果若椭圆恰好平分正三角形的两边，则解：TI F1F2 I =2c I BF1 I =c I BF2 I = 3c c+2 2Xy变式(1):椭圆 君 + b=1(ab 0)的两焦点为 F1、 寸3c=2a - - e= aF2，点P在椭圆上，使厶OPF为正三角
4、形，求椭圆离心率?解：连接 PF2 ,贝,OF I = I OF I = I OP| , / F1PF2 =902 2x y变式(2) 椭圆-ar + b丁=1(ab 0)的两焦点为F1、PF2 / AB,求椭圆离心率？b2PF1 I = I F2 F1 I =2c I OB I =b I OA I =a ae=-5将上题中的条件“ PF2 / AB”变换为“ PO / 2-2. a =5c变式(3):图形如上图，e= 3-1F2 , AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且 PF丄X轴,PF 2 / AB .1 = I F2 F1 I a又/ b=/a2-c 2AB (O为坐标原点)”2 2x
5、y相似题：椭圆厂+ 2-=1(ab 0) , A是左顶点，F是右焦点，a b解 ：I AO I =a I OF I =c I BF I =a I ABa2+b2+a2 =(a+c) 2 =a 2+2ac+c2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以 a2B是短轴的一个顶点，/ABF=90，求 e?2+e-仁0 e= -1 + 2 5 e= =2(舍去)22厂变式(1)：椭圆才 + yb=1(ab 0) , e= 1 + 2 5 , A 是左顶点,F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求/ ABF?点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类e=2=
6、的椭圆为优美椭圆。性质：(1)/ ABF=90(2) 假设下端点为 B ,则ABFB四点共圆。(3) 焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式(2):2 2椭圆x . y =1(ab0)的四个顶点为 A、B C、D,若四边形 ABCD勺内切圆恰好过椭圆的焦点，则 a2 b2椭圆的离心率e=提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c,又等于直角三角形AOB斜边上的高，.由面积得：ab二r. a2b2,但r =c2 24,设椭圆筈与=1(a .b V)的左、右焦点分别为 R、F2，如果椭圆上存在点 卩，使F1PF2 -90，求离心率e a2 b2的取值范围。解：设 Px,y ,F1 -c,0 , F2
7、 c,0法1:利用椭圆范围。由RP_F2P得x2 y2 =c2，将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得x2a2c2 _a2b2a2(c2a2)a2 -b2由椭圆的性质知0乞x2 : a2，得以e 三,1) o2附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围(与法1类似)法2:判别式法。由椭圆定义知 | PF11 | PF21 = 2a = | PF112 -1 PF2|2 - 2| PF1 |PF21 = 4a2，又因为FfF290 ，可得 I PF1I2 - | PF2 I2=| F1F2 I2=4c2，则 I PF1 II PF2 I=2(a2 -c2) =2b2，二PF1， PF2是方程z
8、2 -2az 2b2 =0的两个根，U A = 4a2 -8(a2-c2) _0 =e22 c 2 a1旨一二2解法3:正弦定理设记.PF1F .IPF1 |PF 一由正弦定理有sin!IF1F2Isin :sin 90 I PF1 | | PF21sin：亠sin := IF1F2 I又因为 I | - | PF2 | = 2a, I 耳 F2 |= 2c，且?-90 则g si cos；：2si nc1)4ji0 :2二二 3 二， a + b 0)的两焦点为点，且/ PF1F2 =5 / PF2F1 ,求椭圆的离心率 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。I F1F2 |I F1P
9、I解：由正弦定理：sin丹sin F 1F2PPF2sin PF1F2根据和比性质:丨F1F2丨=sin F iPF =I FiP | + | PF2 IsinF 1F2P+S in PF 1F2变形得:I F1F2 |I PF. | + | FiP |sin F 1PF2sin F 1F2P +si n PF1F22c二=e2ae=/ PF1F2 =75 Z PF2F1 =15sin 90=寸6sin75 +sin15 3点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sin F 1PF2e=sin F 1F2P +sin PF 1F2变式：椭圆2 2討 + =1(ab 0)的两焦点为F1(
10、-c, 0)、F2 (c,0) , P 是椭圆上一点，且Z F1PF2 =60，求椭圆离心率e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。解：设Z F1F2P=a，则Z F2F1P=120 - a1 11。 w e12sin( a +30 ) 22e=sin F 1PF= sin60 =sin F 1F2P +sin PF 1F2sin a +sin(120 - a )22xv变式(3):过椭圆r 2 =1( a b 0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P , F2为右焦点，若ab-F1PF2 =60，则椭圆的离心率e的值K解析：因为P(-c, 士一)a，再由.F1PF2 = 60有空二2a,从而
11、得e = c 3aa 3变式：若代B为椭圆占十b 0)的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使 AQ12。0，求此椭圆离心率的最小值。丄 岂e ： 13x22变式：8、椭圆-V21 a b 0上一点A关于原点的对称点为B, F为其右焦点，若a bAF _ BF，设r ji ji ABF，且：五，4，则椭圆的离心率的取值范围为AFBF为平行四边形且为矩形,AF =2csin ： , BF =2ccos： , 2csin 二 11 Necos： = 2a ,所以e = asiw+c。曲应sin 4I Tt Tt a I_12 4Ze。23解析：设F 为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形6,如图，在
12、平面直角坐标系 xoy中，A2, B1, B2为椭圆22 a焦点，直线AB2与直线EF相交于点t,线段OT与椭圆的交点 圆的离心率为WORD格式.资料=1 ,专业.整理直线A1B2的方程为 -1，直线B1F的方程为-a b 丄=1 ，两式联立得T的坐标,b(a c), c -ba-c a-c所以中点 M的坐标为acb(a c)2(a-c)丿，因为点M在椭圆上，代人方程得 4c2 (a c)2 = 4 a - c 22e210e -3=0* 0,12 27，椭圆a+-的取值范围？分析： MF - MF =0 .以F1F2为直径作圆,解： cb 0)的两焦点为,画图可知点 M的轨迹是以2.222
13、Va =b +c 2c 0eb 0)恰过F2点，求e的取值范围？分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找 思路2:根据图形中的边长之间的不等关系，求2x8,椭圆弋a的两焦点为Fi(-c , 0)、F2 (c,0) , P为右准线2ax= 上一点，F1P的垂直平分线c解法一:b2既(2T，竺)2丿2b2T-c，2ME =-(a、b、c的不等关系。e2F1(-c , 0) F 2 (c,0) P(2 f a贝 y PF1 =-(+c, yc2a,y 0 ) cM(a(-+c)-(b22T-c)+0 )2PF1 ME =0(旦+c,c2y022=0a -3c 一 c2a| PF? |
14、-cc2 a2 则二3 eb 0)，过左焦点2x10，椭圆ra椭圆的离心率e的值解：设 | BF1 | =m 贝U| AF | =2a-am |Fi且倾斜角为60的直线交椭圆与 AB两点，若丨FiA | =2 | BFi | ,求在厶AFF2及厶BF1F2中，由余弦定理得:| =2a-m-c2=m(2a-c)2 22(a -c )=m(2a+c)BF2f 2Ja:2ac 12两式相除：+T =厂e=3练习题:2 21,椭圆笃 爲-1(a b 0)上有一点b解析：M Fi,F2是椭圆的两个焦点，若MF 1 MF2二2b2，求椭圆的离心率.由椭圆的定义，可得 MF j + MF2 =2a又MF 1
15、 MF2=2b2 ,所以 MF 1 ,MF2是方程2 2 2 2x -2ax 2b =0 的两根，由& =(-2a) -4 2b22-0,可得 a -2b ,2 2 2即a - 2(c -a )所以ce =一a所以椭圆离心率的取值范围是,1)2f32,在厶 ABC 中，A=90”, tanB 若以 A,4AB 解析AB =4k, AC =3k,BC =5k,e 二AC +BCB为焦点的椭圆经过点c,则该椭圆的离心率23,已知F1,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若.PF1F2 : PF2F1 :. F1PF2 =1:2:3,贝毗椭圆的离心率 为-解析.3 -1三角形三边的比是1:、.3:
16、24,在平面直角坐标系中，椭圆作圆的两切线互相垂直，则离心率a2厂逅解析 一 2a = e =c222xy22 = 1(abe =a b 0)的焦距为2，以o为圆心，a为半径的圆，过点2a,0c5,在厶ABC 中，A =30,| AB|=2,S ABC = .3 若以A B为焦点的椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率1S abc 二? 1 AB Z AC 1 sin A = . 3.| AC |=2 .3|BC h ,1 AB 厂I AC |订2 | ABAC |cosA = 2_T3i| AC| |BC2、3 2 _2-|AB|26,已知椭
17、圆2 =1(a0)的左、右焦点分别为Fi i c,0 , F2 c,0，若椭圆上存在一点P使a b则该椭圆的离心率的取值范围为sin PF1F2sin PF2F1解析在样1F2中，由正弦定理得為;PFisinPF2F1，则由已知，得a c ，即 aPF1 cPF2PF2 PF1cPF2|-|PF2=2a，=cPF2，由椭圆的定义知a22，由解法三知 ca ： PF2 = 2 ： a c二21 ： e ：1 椭圆的离心率5 21,1。c ac a2 27,已知椭圆M :笃 2 -1(a b，0)的左、右焦点分别为Fi j c,0 , F2 i c,0 j, P为椭圆M上任意一点，且PFLPF2a
18、 bPFi即 PF2 二PF +PF2 =2a ,a2*22“2小22一21.,2c _a c 3c = 2c a 4ce -2/ 2 、ab0)的焦距为2,以0为圆心，a为半径作圆，过点 ,0作 ce = 1，右焦点为F (c,0)，方程ax2 bx - c = 0的两个实根分别2，其中c = .a2 -b2，则该椭圆的离心率的取值范围为的最大值的取值范围是| c2,3 c2解析:设 PX0,y0，则PFiPF2 -_c-x, -y_c-X0,-y =冷2y。2-c2，而X02 - y。2 二PO2 乞a2, PhLPF 的最大值为 a2 -c2,22 28,在平面直角坐标系中， 椭圆芯=1(a b圆的两切线互相垂直，则离心率e=22 29,设椭圆Xr 色-1(a b 0)的离心率为a b为 X1 和 X2，则点 P(X1, X2) ( A )A.必在圆x2 寸=2内C.必在圆x2 y2 =2外2 2E.必在圆x y =2上D.以上三种情形都有可能