专题数列求和讲义.doc

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1、v1.0可编辑可修改127专题：数列求和(一)主要知识:1 直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。(1)等差数列的求和公式：Sn亜 竝 na, n(n 1)d2 2nai, q= 1,(2)等比数列的求和公式a， a“qai (1- qn)i-q,1.(切记：公比含字母时一定要讨论)2公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比 数列的前n项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的平方和立方数列等)也可以直接使用 公式求和.n.2,2 2k12k 132川n(n1)(2n 1)6nk313 23k 133III n3n

2、(n221)3.倒序相加法：类似于等差数列的前 n项和的公式的推导方法， 如果一个数列 an的前n项中首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.4错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.若？ Skip Record If.?,其中？ Skip Record If.?是等差数列，？ Skip Record If.?是公比为？ Skip RecordIf.?等比数列，令 ？ Skip

3、Record If.?，则？ Skip Record If.? ? Skip Record If.?两式错位相减并整理即得.5 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相.适用于类互抵消，于是前？ Skip Record If.?项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法似？ Skip Record If.?(其中？ Skip Record If.?是各项不为零的等差数列，？ Skip Record If.?为常数)的数列、部分无理数列等 .用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法(1) ? Skip Record If.

4、，特别地当? Skip Record If.时,? Skip Record If.1 1(2)_n k 、n，特别地当Vn k 7n kSkip Record If.?时,(3) an2n22n 1 2n 1,11 112 2n 1 2n 1(4) an(5)pq丄(丄丄)(pq p p qq)6.分组转化求和法：有一类数列？ Skip Record If.?，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列？ SkipRecord If.?是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列“ nan1 f n类型，可采98 97 川 2 15050.或常见的特殊

5、数列，然后分别求和，再将其合并即可7.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如用两项合并求解.例如，Sn 1002 992 982 972 川22 12 100 99.易错提示利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面:(1) 裂项过程中易忽视常数，如1容易误裂为-J ，漏掉前面的系数 -;n(n 2)2 n n n2 n 22(2) 裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误.应用错位相减法求和时需注意：给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论;在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.主要方法：1求

6、数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2求和过程中注意分类讨论思想的运用；3.转化思想的运用;捲式能、分组求和議St In.分组转化法求和的常见类型(1)若an= bn土 6 且bn , 6为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和.bn n为奇数(2)通项公式为an=亠曲亠的数列，其中数列bn ,6是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.利Cn, n为偶数例1.【2016北京文15】已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23 ,b39 ,a!b,曲bq.(1) 求an的通项公式；(2) 设Cn an bn，求数列cn的前n项和【答案】(1) an2n 1 n 1,2,

7、3,;(2) n23n 12b、 g. h【解析】(1)等比数列的公比g = 7L = -=3 f所以二二二1b4=hq - 27. 知弓竜设等差数列耳的公差为丛因为珂二y=所1 + 13=27,即/ = 2一所以 = 2w-l(=l,2I3a-n 1n 1(2)由(1)知，an 2n 1, bn 3 .因此 Cn an bn 2n 1 3从而数列 q 的前n项和Sn 1 3 5 2n 11 33n 1n 1 2n 11 3n2 3n 1n 21 32已知数列an的前n项和S =*n N. 求数列an的通项公式; 设bn = 2an+ ( -1) nan,求数列bn的前2n项和.解：(1)当

8、n= 1 时，ai= Si = 1;2 2当 n2 时，an= S-S-一屮-(一 +( n-二n, 故数列an的通项公式为an= n. 由(1)知an= n,故bn= 2n+ ( - 1)nn,记数列bn的前2n项和为, 则 T2n= (21 + 22+ 22n) + ( - 1 + 2- 3+ 4+ 2n).记 A= 21 + 22+ 22n, B= 1+ 2-3 + 42n,则心书)=2 + - 2,2n+ 1B= ( - 1+ 2) + ( -3 + 4) + -(2n 1) + 2n = n,/1X2,21、2/ n1、2(X)(X2)(xn)xxx故数列bn的前 2n 项和 T2n

9、 = A+ B= 22n+1+ n-2.练习.求和：Sn 111111111Snn个解：3k11 1 1 10102k10(10kk个91Sn- (101) (102 1)(10n11) -(1010299思路分析：通过分组，直接用公式求和。1)1J) n110(1(9n 1) n10n 1 9n 108199Sn(X2-4 2)x(x4丄 2)x/ 2n(x2nx1 2)(X2x2n)(丄丄24x x(1)当1 时，Snx2 (x2n1)x212( 2n “、2n2n2n 2(x 1)(x1)n 22nx (x 1)(2)当1 时,Sn4n即an = 3，所以an =3, n=1,3n1,

10、n2.(2)因为 anbn= log 3an,1所以bi= 3,_ _ _ 1当 n2 时，bn = 3 log 33 = (n 1)3 ，所以bi= 3； 当 n2 时，Tn= bi + b?+ b3 + + bn1 i 2i n=3+ 1 X3 1 + 2X3 2+-+ (n 1) X31 ,所以 3Tn= 1 + 1 X30+ 2X31 + + (n 1) X32 n,两式相减，得2 2Tn= 3+ (30+ 31+ 32+-+ 32n) (n 1) X31n32 1 31n1n 13 6n+ 33+13(n1) X3 = 6 2X3，136n + 3所以Tn= 12 n4X3 经检验，

11、n= 1时也适合.13综上可得Tn= 13 6n+ 34X3(2015 湖北,V1.0凹B#凹祿涔3n(2) M dvk于a宀書 n 寻aTn. OnS + SH so- 尊3関测皿 L2 + 9d“ 20君aQ.H2? H 9a.孺笳 L JML 2d2 du9alDI(2n+79) anH2n_k 9 玮M fh2 2 nfho -col(2)dvhaan2n1玮cnd 3 5 7 9 2nlTn 丄 + 5+ 7+7+7+.:+ 21厂 一 3 5 7 9 2n一5TnH5+w+7+7+7+:.+ 2 =厂 1 1 1 2n丄5TnH2+5+7+.:+ 呻u玮TnH62n + 3In1用

12、裂项法求和的裂项原则及规律裂项原则:般是前边裂几项,后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项，前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.例3.求和Sn(2n(2n)21)(2n1)解：ak(2k)2(2k)2Sna1【1-2】设(1)求(2)令【答案】(2k1)(2ka2anSn为等差数列anbn(1)1)an的通项公式;1an 1an 2Tnan2n 1(2k1)(2k1)1 1 1字1 3) (3J)的前n项和，已知a1b2bn,若(n N )； (2) 5.(2k1)( 2k（的a1326 ,1)12n 11 12 (2k 1的）1)n 2(1S981.3

13、0Tn m 0对一切n N*成立,【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式，前n项和公式，列方程组求解即可;试题解析：(1)：等差数列 an 中，a1 a13 26, S9 81,求和，分析Tn单调性即可求参数的范围2a79a513,9,求实数m2n(n 1)2n 1的最小值.（2）采用裂项相消的方法v1.0可编辑可修改ana59 2 n 5 2n(2 I： bnan 1 an 22n11 2n12n 112n 3，- Tn12n 12n11 随着2n 3n增大而增大,二Tn是递增数列，又12n 30，二 Tn1915(2015 安徽文,18, 12分）已知数列an是递增的等比数列，且a

14、1+色=9, a2&3 = 8.an+ 1n =（1）求数列an的通项公式;设S为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn.ShSi + 1解：(1)由题设知 a1 a4= a2 aa= 8,又a1 + a4= 9,可解得a1= 1,a4= 8a1 =a4=8,1（舍去）-由a4= aq3得公比q= 2,n1 n1故 an = ag = 2a1 (1 qn) s=1严=2n - 1.an+1 S+1 S 1 又 bn=SS二=ss+1 = S. s+J 所以 Tn = b1 + b2+ + bnv1.0可编辑可修改111111 1STS； +S2 -+S3十+ S_ S+11 1

15、1=S1_ 打=2nTTi.巩固练习:1.求下列数列的前 n项和Sn:(1)55, 555, 5555,，i(1n 1)，;（2）九，尢，九川治川;(3)(5)an(2)v- Sn(3)v3,2Sn1n(n1尹14,3 5,川,n(n2)l|l；5 555 賈。122)13)1(2(4) a,2a2,3a3,川,nan，卅；(6) sin21 sin2 2?sin23 HUsin2 89 .55531)1)59(913III1nn14)99III5999 川99(1n1)1)9）1(11) HI12(1(；n n 1)0- n 1、n)v1.0可编辑可修改12231III(-2 1) c.3

16、、卅(.百)V7 1.(4) Sna2a3 an na ,n 1 na ,n n 1a(1 a ) n 1a nana ,1 a(1 2 3n) n(n 1)(2n7) IMI sin2 89 ,| sin 21,| nan,当a1时,Sn1 23n当a1时,Snr 2小 3a 2a 3aaSn2 ar 3小 42a 3a两式相减得(1a )Sn23a a a- Snn 2 na(n1)an1a(1a)2(5)vn(n2)n2 2n原式(122232n2) 22 J2 山2 片(6)设 S sin 1 sin 2 * sin 30,55 272因为a3, a4 + 2， an成等比数列，所以a

17、4+=&亦，所以空+ 3d = (1 + 2d)(1 + 10d),3153n 1即 44d2 36d 45= 0,所以 d = qd= 22舍去，所以 & = .bn =1anQn +14 411(3n 1)(3n+ 2) _3 3n 1 3n + 2，所以4 1111一一+ 一 一+3 2 5+ 5 8+112n+ 3n 1 一 3n + 2 _ 3n + 2.5. (2016 山东临沂模拟，18, 12 分)已知an是等差数列，满足a1_ 3, a4_ 12,数列bn满足b1_4, b4_20,且bn an为等比数列.(1)求数列an和 bn的通项公式； 求数列bn的前n项和S.5.考向

18、1解：(1)设等差数列an的公差为d,由题意得a4 a112 3d_ 丁 _ 丁 _3,所以 an_a1 + (n 1)d_3n(n N*).设等比数列bn an的公比为q,由题意得3b4 a420 12解得q = 2.q = 8bi ai4-3， 所以 bn an= (bi ai) qn1= 2n1.从而 bn= an + 2 1 = 3n + 2 1(n N).由(1)知 bn= 3n + 2n 1 (n N).所以 S= 3(1 + 2 + 3+-+ n) + (1 + 2+ 22+ 2n1)n (n+ 1)2n1 21 2=3n( n+ 1) + 2n 1.3所以数列bn的前n项和为S

19、= qn(n+ 1) + 2n 1.187. (2012 湖北高考理)已知等差数列an前三项的和为一3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；若a2, a3,日成等比数列，求数列| an|的前n项和.解：(1)设等差数列an的公差为d,贝U a2= a1+ d, &= a1+ 2d,3a1 + 3d= 3,由题意得 a1 a1+ d a1+ 2d = 8.a1= 2,a1 = 4,解得或d = 3,d= 3.所以由等差数列通项公式可得an = 2 3( n 1) = 3n+ 5 或 an= 4 + 3( n 1) = 3n 7.故 an= 3n+ 5 或 an= 3n 7.vl.O可

20、编辑可修改(2)当an= 3n + 5时，a2, a3, ai分别为一1, 4,2，不成等比数列； 当an= 3n 7时，a2, a3, ai分别为一1,2 , - 4，成等比数列，满足条件.故| an| = |3 n 7| =3n+ 7, n= 1, 3n 7, n3.记数列| an|的前n项和为 S当 n= 1 时，S = | ai| = 4；当 n = 2 时，S2= | ai| + | a2| = 5;当n3时，n-22 +3n 73 2 11S = S2+ | a3| + | a4| + | an| = 5 + (3 x 3 7) + (3 x 4 7) + (3n 7) = 5 +

21、=2门一三n+ 10.当n= 2时，满足此式.4, n= 1,综上，S= 3 211罗yn+ 10, n 1.31错位相减法求和的具体步骤步骤1 与出S= C1 + C2+ Cn ；步骤2等式两边同乘以等比数列的公比 q,即qS= qc1+ qc2+ qCn；步骤3一两式错位相减转化成等比数列求和；步骤4一两边同除以1-q,求出S.同时注意对q是否为1进行讨论.口口口 2（2015 山东，18, 12分）设数列an的前n项和为S.已知2S = 3n+ 3.（1）求an的通项公式；若数列bn满足anbn = log n ,求 bn的前门项和Tn.【解析】 （1）因为2S = 3n + 3,所以2

22、a1 = 3+ 3,故& = 3,当 n时，2S 1 = 3 1 + 3,此时 2an = 2S 2S1 = 3 3“ 1 = 2x3 1,18, 12分）设等差数列an的公差为d,前n项和为S,等比数列bn的公比为 q.已知 b1 = a1, b2= 2, q = d, So= 100.(1)求数列an , bn的通项公式；1 1 1由 |Tn 11 * * V 贡，得 1 歹1 V 五，即 2 Eg因为 29 512V 1 000 V 1 024 210,所以n10.寸n+ 1-少_(n+ 1+ n)( . n+ 1 n)二 n+1 .n, 所以 a1 + a? + an = (；，/2

23、1) + (3 , 2) + (n + 1 ,； n)=n + 1 1 = 10.即 n+ 1= 11,所以 n+ 1 = 121, n= 120.njn*2. (2016 山西大同模拟，12)已知数列an的通项公式为an= ( 1) (2n 1) cos+ 1(n N),其前n项和为S，则S6o=()A. 30 B . 60 C . 90 D . 1202. D 考向 1由题意可得，当 n = 4k 3(k N)时，an= a4k3 = 1；当 n= 4k 2(k N)时，an= a4k2=6 8k；当 n = 4k 1(k N)时，an= a4k1 = 1；当 n= 4k(k N)时，an = a4k= 8k. a4k 3+ a4k 2 + a4k 1+ a4k= 8 , S6o= 8X 15= 120.54. （2016 河南郑州一模，18, 12分）已知等差数列an的各项均为正数，a1= 1,且a3, a4+ ?, an