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1、用数轴 ,“巧”解题摘 要：初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概 念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线， 它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算 起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数 轴，它将数与形结合在一起，很好地揭示了数与形之间的内 在联系。对于某些数学问题，利用数轴去求解，不仅能够化 难为易、化繁为简，而且解法直观、明快。关键词：数轴；作用；求解初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。 数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理 解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作 用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数
2、轴，它将数 与形结合在一起，揭示了数与形之间的内在联系。一、数轴有四个方面的作用1. 数轴能反映出数形之间的对应关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来， 而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。 就是说，有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对 应关系。2. 数轴能反映出数的性质 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有 理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数一一 零，是个“中性”数；有理数的性质符号决定了这个有理数 的点与原点的相对位置：当规定向右的方向为数轴的正方向 时，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点 都在原点的左侧。3. 数
3、轴能解释数的某些概念（1）相反数：将一对相反数表示在数轴上，表示这对 相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说，表示一对 相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相 等。（2）绝对值：用数轴可以形象地解释绝对值的概念， 一个数的绝对值，就等于表示这个数的点离开原点的距离。（3）近似数：近似数是与实际接近的数，用数轴可表 示出某一近似数的精确度。如，近似数 3 的精确度可在数轴 上表示，即 3 是一个大于或等于 2.5 且又小于 3.5 的近似数4. 数轴可使有理数比较大小形象化 两个有理数比较大小，可以借助数轴这个工具进行。在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。二、对于某
4、些数学题，若利用数轴求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快1. 用数轴比较实数大小，解决求样本的中位数的问题问题 1：由小到大排列的一组数据 x1，x2，x3，x4，x5 ， 其中 x5<-1 ，则 1， x1 ， -x2 ， x3， -x4 ， x5 ，的中位数是分析：要求所给的六个数据的中位数，只要将这六个数据从小到大依次排列，求出排在第三和第四的两个数据的平 均数，即可得到这组数据的中位数。本题的难点就是把六个 数按从小到大的顺序排列。为了突破难点，我们可以借助数 轴。解：在数轴上任取 x1，x2， x3 ， x4， x5 表示的点，使 x1<x2<x3&
5、lt;x4<x5<-1 ，然后在数轴上找出 x2，x4 的相反数 -x2 ， -x4 表示的点，如图 1。观察数轴知 x1<x3<x5<-x2 ，故所求的中位数为 2。2. 用数轴求字母的取值范围求值问题2:若不等式组的解集不在2<x < 9范围内，求a的取值范围。解:由不等式组 x-a>1a-x>-3所以a+1<x 由图2,可知a+3< 2或a+1 >9, 即卩a< -1 或 a> 83. 用数轴解含有绝对值的方程问题 3：解方程： x+3+x-1=6 分析：由绝对值的几何意义可知，此方程表示在数轴上 求一动
6、点x，使x到定点A (-3)的距离与到定点 B (1)的 距离之和等于 6，如图 3。由数轴上的点的性质可知，这样 的点x有两个，即表示-4与2的点，所以方程的解为 x=-4 或 x=2 。4. 用数轴取零点，求最值问题 4:若 mvnvp，求 x-m+x-n+x-p 的最小值。分析：在数轴上标出 m， n， p 的大致位置，如图 4，于 是问题转化为在 x 轴上求一点，使它到 m， n， p 所对应的三 点距离的和最小。易知当 x=n 时，它到 m， n， p 所对应的三 点的距离之和最小，故当 x=n 时， x-m+x-n+x-p 的值最小， 最小值等于 p-m。5. 运用数轴变换两圆的位
7、置关系如图5,数轴反映两圆的位置关系和数量关系，设O 01、O02的半径分别为 R1, R2，圆心距为d,则两圆的位置关 系可以在数轴上表示出来，如图 5 所示。图5问题5:已知O 01、O 02的半径分别为3cm和5cm, 两圆的圆心距是 6cm，则两圆的位置关系是()A.内含B.外离C.内切D.相交分析：由题设，知： R1-R2=2 ， R1+R2=8 ，由图 6 知 R1-R2<d<R1+R2 ，故两圆相交，选 D。6. 借助数轴，进行代数式的化简问题 6：已知有理数 a、b 在数轴表示的位置如图 7 所示， 试化简： -a-b观察数轴上字母的位置不难发现， a+b>0
8、，a-b>0 根据绝 对值的意义，很容易去掉绝对值符号，问题迎刃而解。7. 用数轴找临界点，求点的象限范围问题 7：点（ x，x-1 ）不可能在第几象限。图88. 无理数的理解问题8:关于n的理解：用直径为 1 的圆，从数轴原点沿数轴滚动一周，所得到的点的位置就是n。问题9:的认识：好奇的古希腊人在数轴上以线段 0 ，1为底边作正方形， 以 O 为圆心，过 O 点的对角线为半径画弧， 交数轴正方向于 D。D点表示的数是。以上是我在初中教学中，对数轴的一些用法，感觉数轴它虽小，但作用很大，用途很广，借用数轴可轻松解决多方 面的数学问题，是研究初中数学的有效工具之一，也是培养 学生提高分析解题能力的好工具。参考文献：刘锦海 .与数轴有关的问题 .中学课程辅导： 初一版， 2004（08）.（作者单位 甘肃省酒泉市育才学校）？?S 编辑 张珍珍