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1、江 苏 省 南 京 市 金 陵 中 学2017-2018 学年高二下学期期末考试数学试题含答案2m26. 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 xy21(m0)的一条渐近线方程为 x为.3 y0 , 则实数 m 的值7. 设各项均为正数的等比数列 an的前n 项和为Sn ，若a5a2 an78, S3.13 , 则数列 an的通项公式为8. 将一颗均匀的骰子连续抛掷 2 次, 向上的点数依次记为m, n , 则“ m2n ”的概率是.9. 若实数x, y 满足条件1xy2xy4, 则z3,4x2 y 的取值范围为.10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知f (x)cos x ,g( x
2、)3 sinx , 两曲线yf (x) 与yg( x) 在区间 (0, 2 )上交点为 A . 若两曲线在点 A 处的切线与 x 轴分别相交于 B, C 两点, 则线段 BC 的为.11. 如图, 在平面四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC 的中点, 且OB为.10 ， OD6 .若DADC28 , 则BA BC 的值12. 若对满足 xy64 xy 的任意正实数x, y , 都有x22 xyy2axay10 , 则实数 a 的取值范围为.x2y213. 在平面直角坐标系 xOy 中, 记椭圆221(ab0)ab的左右焦点分别为F1 , F2 ，若该椭圆上恰好有 6 个不同的点 P , 使
3、得F1F2 P 为等腰三角形 , 则该椭圆的离心率的取值范围是.14. 对于任意的实数m,n , 记 minm,n 为m,n 中的最小值 .设函数f ( x)x214 xa ， g (x)lnx ，函数h( x)minf (x), g( x) ,若h(x)在(0,) 恰有一个零点 , 则实数 a 的取值范围是.二、解答题 : 本大题共 6 小题, 共计 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程 .15. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设向量m(sinx,1) , n(3 cos x,cos 2 x) .332(1) 当x时, 求m n 的值；4(2) 若x0, ，且m n31 . 求cos
4、2x 的值.16. 如图, 在四棱锥 P ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 平面PAD 平面 ABCD , AP AD , 点M 在棱 PD 上, AM PD , 点N 是棱 PC 的中点 , 求证：(1) MN 平面PAB ;(2) AM 平面 PCD.17. 如图, 在一个水平面内 , 河流的两岸平行 , 河宽1( 单位: 千米) 村庄 A, B 和供电站 C 恰位于一个边长为 2( 单位: 千米) 的等边三角形的三个顶点处 , 且A,C 位于河流的两岸 , 村庄 A侧的河岸所在直线恰经过 BC 的中点 D . 现欲在河岸上 A, D 之间取一点 E ,分别修建电缆 CE 和EA
5、, EB. 设 DCE, 记电缆总长度为 f ()( 单位: 千米).(1) 求 f () 的解析式；(2) 当 DCE 为多大时 , 电缆的总长度出最小值 .f () 最小, 并求18. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆22x2y231221(ab ab0) 的离心率为, 且过点(3,) . 设F 为椭圆的右焦点 ,A, B 为椭圆上关于原点对称的两点 ,连结 AF , BF 并延长, 分别交椭圆于C, D 两点.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设直线AB ,CD 的斜率分别为k1 ,k2 , 是否存在实数 m ,使得k2mk1 ?若存在, 求出实数 m 的值; 若不存在
6、, 请说明理由 .19. 设数列 an的前 n 项的和为Sn , 且满足a12 , 对n1nN * , 都有a( p1)Sn2( 其中常数 p1 ), 数列 bn 满n足b1 log (a aa ) .n21 2n(1) 求证: 数列 an 2是等比数列；(2) 若 p22017 , 求b2018 的值；23(3) 若kN*, 使得 p22 k1 , 记c|b|, 求数列 c 的前2(k1) 项的和.nnn220. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知函数f ( x)c1nx(cR)e的图像与直线 y数.2 x 相切, 其中e 是自然对数的底(1) 求实数 c 的值；(2) 设函数点.h(x)
7、axaxg(x) 在区间1内有两个极值(,e)e求实数 a 的取值范围；设函数 h( x) 的极大值和极小值的差为 M , 求实数M 的取值范围 .高二数学 ( 附加题 )21. 已知矩阵 M21 ， N1311 .21(1) 求( MN ) 1 ；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中, 求直线L : 2 xy10 在M对应的变换 T 作用下所得直线 L 的方程.22. 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, 以x 轴的非负半轴为极轴 , 取与直角坐标系 xOy 相同的长度单位, 建立极坐标系 . 设曲线 C 的参数方程为x3 cos ysin为pcos(,(为参数 ,0,2 ),
8、直线l 的极坐标方程.)224(1) 写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；(2) 求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离 .23. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0p1) . 现有 3 次投篮机会 , 并规定连续两次投篮2521 .(1) 求 p 的值；(2) 设该运动员投篮命中次数为X , 求X 的概率分布及数学期望E( X ) .24. 如图, 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为2, 侧棱长为 3,AEA1B , 垂足为 F ,AE 交B1B 于点 E .(1) 求证:D1B 平面AEC ;(2) 记直线 AE 与平面 ACD1 所成的角, 求
9、sin的值.均不中即终止投篮 , 已知该运动员不放弃任何一次投篮机会 , 且恰好用完 3 次投篮机会的概率是1.2,4,6,82.55.36.一、填空题 .试卷答案3.1204.437.3n18.169.5,1310.4 3311.3612.(,10 313.( 1 , 1 )3 2( 1 ,1)214. a | a5 或a344二、解答题 .15.解(1) 当x3时， m3 ,21 ， n243 , 1 ，所以m n34141 .2(2)32m n3sin xcosxcos2 xsin 2x12cos2 x12sin2 x61 ，2若m n321 . 则sin2 x2612321 ，2即si
10、n2 x633 .因为 x0,4 ，所以62x63，所以cos2 x61sin22 x636 ，所以cos2xcos2x66cos2 x3sin2 x16262.63313233232616. 证明(1) 因为在 PAD 中, 所以点 M 是棱 PD 的中点. 又点 N 是棱 PC 的中点,所以 MN 是 PDC 的中位线 ,所以 MN DC .因为底面 ABCD 是矩形,APAD , AMPD ，以ABDC ,所以 MN AB .又AB平面 PAB ,MN平面PAB , 所以 MN 平面 PAB .(2) 因为平面 PAD平面 ABCD ,CD平面 ABCD ，平面 PAD平面ABCDAD
11、,CDAD ，所以 CD平面PAD .又AM平面PAD , 所以 CDAM .因为 CDAD , CDAM ,CDPDD , CD平面 PCD , PD平面PCD ,所以 AM平面 PCD.17. 解(1) 易得 AD 垂直平分 BC ，CDBD1则CEEB1cos， EDtan， AE3tan，于是 f ( )11coscos3tan2sin3，cos.因为 E 在 CD 之间, 所以 03 ，故 f ( )2sin cos3 ， 03(2)f ()cos2(2sin)(sin)，cos203，令 f ( )0 , 得sin1 ,，26故当 06f ()0 ，f () 递减,当sin 6,
12、f ()0 ,2f ( ) 递增,21所以, 当,f ()min时6f () 6232 3 .32答: 当DCE,时6f ( ) 最小值为 23 .2218. 解(1) 设椭圆的方程为 xa2y1(ab b 20) ， ca2b2 ，c3 ,由题意知 a2311,a2解得a2,4b2x2b1,.所以椭圆的方程为y214(2) 设A( x , y) , 则B(x ,y ) , ky0 , 又F (3,0) ,00001x0所以直线 AF 的方程为 yy0( xx033) .y0y( x由x03x23),消去 y ，得y21,4(723x)x283y2 x7x28 3x00000.因为 xx0 是
13、该方程的一个解 , 所以点 C 的横坐标x.8 37x0C72 3x0又点C( x, y ) 在直线 yy0(x3) 上，CCCC所以 yy0( xx033)y0，从而点 C 的坐标为x03 8 37x0 ,y0723 x072 3x0 723x0同理, 点D 的坐标为 837x0 ,723x0y0 ，723x0所以k2y0723 x0837 x0723 x0y0723 x0837 x0723 x014 y02 x07 k1 ，即存在 m7 , 使得k27 k1 .19.(1) 证明: 因为nN* , 都有an 1( p1)Sn2 ，an 2( p1)Sn 12所以两式相减得an 2an 1(
14、 p1)an 1,即an 2pan 1 ，当n1 时a2( p1)a12pa1，所以an 1pa ,( nN * ) ，n又因为 p1, 所以an 1an，pn 1pn所以数列 an 是常数列 ,ana12 , a2 pn 1 ，pnpnppn所以 an 是以 2 为首项 ,p 为公比的等比数列 .(2) 由(1) 得an 12 pn 1 .1n(n 1)1n( n1)blog (a aa )log (2 n p2)(n)n21 2n2nnn2017所以b20182 .(3) 由(1) 得an 12 pn 1 .1n(n 1)1n ( n 1)n1blog (a aa )log (2 n p2
15、)log (2 n 2 2k 1 )1.n21 2n22nnn2k1因为bn32n2k3 ，22(2k1)所以当 1nk1时,c3 b ，2当nk2 时，nn3cnbn.2因此数列 cn的前 2(2k1) 项的和T2k 2(b1b2bk 1)(bk 2bk 2b2k 2 )01k2k1(k1)(k2)2k+12k1k(k1)2(k1)(k2k2) 2(k1)2 .2k12k12k1e20. (1)设直线 y2 x与函数f ( x)c1nx 相切于点P(x0, c1nx0 ) ，函数yc1nx0f ( x)c x0c1nx 在点，c(xx0)x0P( x0 ,c1nx0 ) 处的切线方程为 :，
16、2e把x0, y0 代入上式得 x0e, c2 .所以, 实数c 的值为 2 .1(2) 由(1) 知h( x)axa x21nx ,设函数h( x)在区间(,e) 内有两个极值点x , x(xx ) ，2令h ( x)aaa2eax2,2 xa201212xxxx则ax22 xa因为 x x10 , 设m( x)ax20,20,2 xa , 所以,2ea1 .1 2, 故只需am(e)0,e21因为x1 x21 , 所以，Mf (x )f (x )axa21nx( axa21nx )121x1122x2axa21nx( aax21n 1 )111x1x1x12 ax2a21nx211x1由a
17、x22 xa0a2 x1, 且1x1x1e11, 得21.12 2 x12xx21x2111M21x1x21 1x21nx24( 1x21nx2) .112111设x2t , 1t1, 令(t )4( t1 11nt )，1(t )4(e221(t +1)22t )2(tt(t1)21)2t+120 ，( 在(t )( 1e2,1)上单调递减 , 从而(1)(t )1( 2 )，e所以, 实数 M 的取值范围是(0,8).e21高二数学（附加题）21. 解(1) 由题知 MN211103132172，所以，03det(MN )2l72根据逆矩阵公式 , 得(MN ) 121217.103(2)
18、 设由 L 上的任意一点 P ( x , y ) 在T 作用下得到 L 上对应点由 21p( x, y) .xxx，即 2xyx, 解得3 x+y7，13yyx3yy '2 yxy '7因为 2 xy10 , 所以 23xy2 yx10 ，即5 x774 y70 .即直线 L 的方程为 5 x4 y70 .22. 解(1) 由 xy3 cos, sin,C : x2得3y21 ，由pcos (4 )22 ，得p cospsin4 , 即l: xy40 .2(2) 在C : xy21 上任取一点P(3 cos ,sin)(02) ，3则点 P 到直线 l 的距离为d|3cossi
19、n4 |2| 2sin()4 |23， 02，当sin()1，即7时， d32 .36max23. 解(1) 设事件 A: “恰用完 3 次投篮机会” , 则其对立事件 A : “前两次投篮均不中” ,依题意,P(A)1P( A)1(1p) 221，25.5解得 p3(2) 依题意,X 的所有可能值为 0,1,2,3 ,且P( X0)(1p) 24,25P( X1)p(1p)2(1p) p(1p)24，125P( X3)p327，125故P( X2)1P( X0) P( X1) P( X3)54 .125X 的概率分布列为 :数学期望E( X )24254327213 .12512512512
20、524. 解(1) 如图, 以D 为坐标原点 , 分别以直线DA , DC , DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系 Dxyz ，易得 A1B(0,2,3) , 设BEa , 则AE(0,2,a) ，因为 A1BAE , 所以A1BAE(0,2,3)(0,2,a)43a0 ，解得a4, 即AE4,(0,2,)33又D1B(2,2,3) , AC( 2,2,0) ,所以 D1B AE(2,23)(0,2,4)0 , 所以D1BAE ,3且D1BAC(2,2,3) ( 2,2,0)0 ，所以D1BAC ，又AEACA ，所以4D1B平面 AEC .(2)AE(0,2,) ， D1A3(2,0,3) ， D1C(0,2,3) ，设平面ACD1 的一个法向量 n( x, y, z) ，则 D1A n0, 即 2 x3z0,D1Cn0,2 y3z0,令z0 ，则 xy3 ，即n(3,3,2) ，sin| cosAE , n|AE n| AE | | n |423=23=286 .24 2222222 +()3 +3 +23