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1、直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 AB = Jg X2)2 +(% 丫2)2 (两点之间的距离) AB = 1 k?X2_xi二(1 k?)(xiX2)2 -4x1X2 AB =：1 ：2丁2一1；(1 ：2)(yi- y2)2 -4yiy2】一、已知双曲线方程和直线方程求弦长2例1、过双曲线X2-丫1的左焦点F1，作倾斜角为的弦AB，求AB :T2AB的面积(F2为36双曲线的右焦点)。(D双曲践焦点R一2曲片耳八直线方程为$=亨&+2),就入双曲线方程，碍8# 4jc_ 130.设A(jej ?yi) 1 £円丫乂), 丄1牯方法：|AB厂证/Cii +
2、业尸一4亞卫=3,古廉二:根擔囿锥曲线的共同性质得EFi | =a+ej： = l+2xf *AFi f = (a 12x :*AB = |HFt I - |AFi I -l-FZzi-(-l-Erx)=2+?<ii+iB)=X21、求直线y =x 1被双曲线x2 -上 1截得的弦长；4的弦AB，求弦长AB ；32、过双曲线16x2 -9y2 =144的右焦点作倾斜角为2 23、已知斜率为2的直线L被双曲线- y 1截得的弦长为2. 5，求直线L的方程;544、过双曲线x2_y2=1的左焦点F2，作倾斜角为的直线与双曲线相交于 A,B两点，求:23（1）弦长AB（2） . FiAB的周长
3、（F2为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、已知焦点在x轴上的双曲线上一点 P，至U双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线y=x-2被双曲线截得的弦长为20.、2，求此双曲线的标准方程.兀22r6、已知倾斜角为-的直线1被双曲线x -4y =60截得的弦长AB =82，求直线1的方程.例2、已知双曲线方程为3x2 -y2 =3，求以定点A（2,1）为中点的弦所在的直线方程.方出一;显然过Am）轩車不存在的直践不蒂合条件.rI A1 （工£ 设所瑕直無方程为y l=iG-2）,由“* 一 堪理得:（P - 3）+at（l-2»x+（l一2A）£ 4 3=0
4、设就的两端点为C（站 * D3以人则© +碗=乍,上+ 由題惠劝+氏=4.>二4.解睜居匚亿代入肓4=33X麗>0,所说所求直线方程为y- = 6（z-2）t申陆一y1F出二:设过.4（2,1直蟻与眾曲践狂於=肖相交于P5）4（忑两点, 则Ft ¥ 父，两戎相减.帶3（竝+劝）Czi 卫）一（加+3勺）（加曲=°g_诫=3, _VJ：）並=4一旳=7代人式*辱加”二.：一名冲 如一6：H «-T2則 tPQ的方程为 6->-11=0 将兀=2 代入 7-/=3,y= + 3+:点人（誤1虚戏询线的内部，盘过A的克践晟然与蚁曲线润交.麗而
5、所求前直贱方率为6k丁一11 = 0.解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的 关系或“平方差法”求解此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检 验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免 增解，若用待定系数法时，只需求出 k值对判别式 >0进行验证即可.例3、双曲线方程为3x2 -y2 =3.问：以定点B（1,1）为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由.盪迂Bt 1,1）; EL践.-号膩曲践MF 相丸于1 ；V（zi、刃调执、两戎相减
6、得3（工1+工八（匹 1屁"一（yj +,Tt ）（y* -兌）=0若"（I J1为践搅MV的中点，时有爲+g =2,yi +>'l f2，我人离迪二4=3、即氏曲i氛则礼霾MN的方翟为3Lr-y-2=O. 苕”""去丈E蛊犹曲些的幷翠.就要检脸删科是否匀輕掛纯材交.杆夕=尬一2氏*=3*强&把一 £险+76 TA i4<0.代立張岛航曲規无茫点*从而以ZXh"丹由蛊的站不再在.7、已知中心在原点，顶点 A,A2在x轴上，离心率为21的双曲线经过点 P(6,6)3(I)求双曲线的方程；(n)动直线l经过：A
7、1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点 M , N，问是否存在直线丨使G平分线段MN。试证明你的结论。解(I) i殳所求的飓曲线方程为三-召十"岸且飓曲缪甜点卩网.觀曲线方程为兰上“” a bI 3912g由条件H外&的坐标分别为低®V工点坐标为口假设存在直绑使0(2 4平戕段MN,设M N的坐标分别为(® jJ. (%，/2)12x?-9yf =108，12 弟一=108，(2)- Q)待 1>(x-jcJ) = %；-穴)(巧 + 知(旺-丐)=9(/1 + 儿)厲 _ ja)龙|十 lix11-?/3 =108.4, n整理得* y_2=亍伐
8、-2)-4x+28 = 0A< 0.所求直线不存耳题型三:希勿刊7宀=趴可霞艇疑的砲方軽丼一卡=1Q臥圧”睜(萨一4)F+1強一茁一M=B. F-4K0；FH4"戏衣=20崔二託/(T| -Tj-p/【工1+丟一也总二所衣霞曲咸方莊为召一¥=威彳7普土L2X29、设双曲线C ： -y - y =1 a 0与直线丨：X y = 1相交于不同的点 A B. a求双曲线C的离心率e的取值范围;一 5设直线l与y轴的交点为P，且PA -PB，求a的值。 122X 22222解：将y = X + 1代入双曲线 -y = 1中得(1 a)x + 2a X 2a = 0a由题设条件
9、知,1 a2工 0,42“24a + 8a 1 a >0，解得0<a< . 2且a丰1,又双曲线的离心率1 + a2e =：2+ 1,T 0<a<2且1, e且 e 工.2.(2)设 A(X1, y1) , B(X2, y2) , P(0,1) / PA=令PB, (X1, y1 1)=代5(x 2, y2 1) 5 X1=X2,12 '/ Xi、X2是方程的两根，且1 -a2M 0,172a2'12X2=- 1- a2，1- a2a2,消去X2得,22a 2891 - a2 =丽，/ a>0,17二 a= 13.10.已知双曲线的焦点为F1
10、 -c,0 ,F2 c,0，过F2且斜率为,3 * *的直线交双曲线于5P、Q两点，若0P丄0Q (其中O为原点)，PQ =4，求双曲线方程。因为A址代it F”蛤車为JI肾限呛即寿程青讪瑕入址會圾才耳yff (财一+血1工一f加占一创滸,(!,蚤蛊 3芒<b否!TlJUl易起也蛊只有一车丈备不合戛也不斷4护:取3F+5d 甲丹膚琨兌其=¥(J| -r)(Ti-c) -4航卫-f(Ji4-JiJ+t7 .3JX-K 0Q丄阳、幷以工:忑 +iy?=G.3r(j| +耳)+3F=比聲右加t加卅一超=山【亡呼"対-匸E号必曲二趴乩丙卩=症 ftA 弦呆 © 2、
11、特 4 = J14舟 >/ tzi +zj)' 4jti is *iuJ =* 1 .fr1 !所翊"曲鲍方世"一百=】一11.双曲线的中心为原点O ,焦点在x轴上,两条渐近线分别为11, 12 ,经过右焦点F垂直于h的直线分别交11, 12于A,B两点.已知成等差数列，且BF与FA同向.(I)求双曲线的离心率；(H)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.4OA 3解：(I)设 OA = md , AB 二 m , OB 二 m d 由勾股定理可得：(m - d) 2 m2 = (m d)2得：d = 1 m ,4tan /AOF = , tan
12、/AOB 二 tan2AOF 二 AB a由倍角公式.2ba 2-，解得b =1 ,则离心率e =3a 2.52(n)过F直线方程为ay-Jx-c),与双曲线方程2 2x _y_a2 b2=1联立，将a=2b , c5b代入,化简有-x24b221 =01 + f- 1 ' (为 + x2)2 - 4x1x2 I将数值代入，有5 1 p/5b &15丿2 2,解得b = 3 故所求的双曲线方程为 -11。3692 212、已知双曲线x2-£= 1(b>a>0) , O为坐标原点，离心率 e= 2，点Ml 5, ,3)在双曲线上.a b一 一 1 1(1)求
13、双曲线的方程；(2)若直线I与双曲线交于P, Q两点，且OPQQ = 0.求丽2+OQ2的值.点 M 5, 3)在双曲线上， 15-3 = 3a2. a2 = 4.2 2所求双曲线的方程为X -12= 1.2 2212X_ 3 - k22222 12 k +11i212k2 |0P2 x2+ y23 k2.则OC的方程为y rx,一3 - k2同理有|0(Q2=1k2212 k + 123k 12 2 2113 k + 3k 12 + 2k12 2 2 2 .IOP |0Q 12 k +112 k +16 设直线 0P的方程为y = kx(k丰0), 联立7 2= 1得2213. (2012上
14、海)在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 C: 2x y 1.(1)过C的左顶点引C的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； 设斜率为1的直线I交C于P、Q两点.若I与圆X2 + y2 1相切，求证：OPL0Q 设椭圆C2： 4X2 + y2 1.若M N分别是C、C2上的动点，且OMLON求证：0到直线MN的距离是定值.解:X22(1)双曲线C： ? y2 =1，左顶点a|V22,0 ，渐近线方程为:2 y 土2x.过点A与渐近线y2x平行的直线方程为解方程组y八?，得7=血x +141ys，即所求三角形的面积为(2)证明：设直线PQ的方程是y x + b,v
15、直线PQ与已知圆相切,y 2x+ 1.1 2S ?|0用 y| 石|b|21,即卩 b2 2.y 二x b 22由 22得 x2 2bx b2 1 0.2x2 - y2 = 1设 P(X1, yd、Q%, yj，贝V " x2 一 2b ?図低2 = _1_by$2(X1+ b)( X2+ b),OP OQ2 2 2 2 2X1X2+ y1y2 2x1X2+ b(x1 + X2) + b 2( 1 b ) + 2b + b b 2 0.故 OPL 0Q证明：当直线ON垂直于x轴时,|ON1, |OM则O到直线MN勺距离为当直线Oh不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y kx(显然k &
16、gt;1则直线0斶方程为y RX.y = kx由4x21得X24 k2k24 k22I on =1 + k24 + k2同理|OM2=1 + k22k2 1.设O到直线MN的距离为d.（| 削2+52）応|0帕0佔金+金=3k+13=3，即 d-33.综上，O到直线MN勺距离是定值.五、能力提升1 .若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与双曲线x2 - y2 =1总有公共点，贝U b的取值范围是（(A)- 3,3(B) n 3,3(C)-2,2(D)1-2,2 122.过双曲线X2 -仏2=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）(A)1 条 (B)2
17、条 (C)3 条(D)4 条广b、3.过点P 1,的直线丨与双曲线<a丿a2 b=1 a 0,b0有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（(A)2(B)4(C) 1(D) 22 24.已知双曲线7-7=1a 0,b 0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为45的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（(A) (1, 2(B)(1, 2)(C) 2,+R)(D) (2,+m)226.直线l:y=kx，2与双曲线C ：x -y =6的右支交于不同两点，则k的取值范围是 7.已知倾斜角为三的直线l被双曲线x2 -4y2 =60截得的弦长 A
18、B，求直线丨的方程.4设盘菠2的才軽为=上七反由，谓壬小得盼+E虹44护+閒=0®也二尸TX3常+ 60）>0.>45.设川禹扎放毛，阳.则X心是才桩的两粮.,xi+jTL鲁厲蹟=也扌奧故IAB：-'=脚p严+（出一刖zjF 工肌仙血5=总誉 4（北?閒=弊屈几 辭得i=±3.8.设直线l : y =3x -1与双曲线于b2=1 a . 0, b 0相交于A B两点，且弦AB中点的横坐标仃减加“点盼m显一暫=1 0 4-=1 (3ir tr-a(jj +斗 KlL 一;El】 4 +为(丁.-X_”' 上1 +北.忙二'：_ E(的设小=*卅=旅=4氣MH呵佇f2.2(1)求的值；(2)求双曲线离心率.b2 2F2，左准线为丨，9.已知双曲线务-笃-1 a 0,b 0的离心率e . ,2，左、右焦点分别为F1、a b能否在双曲线的左支上找到一点P,使得pf1是P到丨的距离d与PF2的等比中项?2222X V222解：(1) /e= 2 , c = 2a, b = c - a = 3a ,双曲线方程为 -3= 1，即 3x - y = 3a .a 3a