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1、WORD格式整理版二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强， 方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化 为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小， 在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体 几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是， 根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选 择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I.寻找有棱二面角的平面角的方法（定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法）一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点） ，过该点在两个半 平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角
2、， 这是一种最基本的方法。要注意用 二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。例空间三条射线 CA CP CB / PCAM PCB=6Q/ ACB=90,求二面角B-PC-A的大小。p解：过PC上的点D分别作DEL AC于E, DF丄BC于F,连EF./ EDF为二面角 B-PC-A 的平面角，设 CD=a v/ PCAM PCB=60, CE=CF=2a DE=DF=3a，又 v/ ACB=90, EF=2,2a ,2 3a21.在三棱锥 P-ABC中，.APB= BPC= CPA=60求二面角 A-PB-C的余弦值优质.参考.资料2.如图，已知二面角a - a - B 等于 12
3、0° PAXa, Aa,3.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PAX平面ABCD PA=AB=a求二面角B-PC-D的大小。用三垂线定理或逆定理作出二面二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线, 角的平面角例 在四棱锥P-ABCD中, ABCD平行四边形，PA!平面ABCD PA=AB=a / ABC=30，求二面 角P-BC-A的大小。解：如图，PA!平面BD过A作AHXBC于H,连结PH,贝卩PHXBC又AHL BC故/ PHA是二面角P-BC-A的平面角。在 Rt ABH中, AH二ABsinZ ABC二aSin30 =a ;2在 Rt PHA 中，3 /
4、 PHA=PA/AH=2，则 / PHA制如2.25.在四棱锥P-ABCD中, ABCD平行四边形，PA!平面ABCD PA=AB=aP-BC-A的大小。6.如图，在三棱锥 P-ABC中, P平面ABC, PA二ABAC=BC=,1 / ACB=90 M是PB的中点。求证：BCL PC, (2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切NB7. ABC中，/ A=90°,AB=4 AC=3平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M 二面角P AC B的大小为45°。求(1) 二面角P-BC A的大小；(2)二面角C PB-A的大小8.如图，已知 ABC中,AB1 BQ
5、 S 为平面 ABC外卜的一点，SAL平面 ABC AML SB于 M ANL SC于N,(1)求证平面SABL平面SBC求证/ ANM是二面角A- SC- B的平面角.BC9. 第8题的变式：如上图，已知 ABC中, AB1 BC S为平面ABC外卜的一点，SAL平面ABC / ACB =600, SA= AC= a, (1)求证平面SABL平面SBC求二面角A- SC- BC的正弦值.10. 如图,ABCD-ABGD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2, E是棱BC的中点, 求面GDE与面CDE所成二面角的正切值。11. 如图4,平面丄平面=l , A , B，点A在直线I上的
6、射影为A,点B在I 的射影为B,已知AB=2 AA=1, BB=J2，求：二面角 A AB-B的大小。WORD格式整理版三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的 角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例 在四棱锥P-ABCD中, ABCD正方形，PAL平面ABCD PA=AB=a求B-PC-D的 大小。解：（垂面法）如图，P平面BD BDLAC二BDL BC =过 BD作平面 BDHL PC于 4PC1DH BH/BHD为二面角B-PC-D的平面角。又BD= 2a在厶BHD中因 PB= 2a,BC=a,PC= 3 a,IpB-
7、BC=SPBCPC BH贝y BH二二DH2 2 -BH2 DH -BD2COS / BHD=2BHDBD2 Ta2一（辰）2又 OV/ BHDCn ，则由余弦定理，得:优质.参考.资料Bz BHD奇，二面角B-PC-D的大小是气。12.空间的点P到二面角:-的面、很棱1的距离分别为4、3、管，求二面角：-的大小.13.如图，在三棱锥 S ABC中, SAL底面ABC AB1 BC DE垂直平分SC且分别交AG SC于DE,又SA= AB, SB= BC 求二面角E BD C的度数。WORD格式整理版则 COS 0=S.PBAS PCD彳 0 =45II. 寻找无棱二面角的平面角的方法（射影面
8、积法、平移或延长（展）线（面）法）四、射影面积法：利用面积射影公式S射=S原COS"其中二为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD正方形，PU平面ABCD PA= AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。AD _ PA解：（面积法）如图， AD丄AB u AD丄PBA于A ,PAD AB = A同时，BCL平面BPA于 B，故 PBA> PCD在平面PBA上的射影设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为0,优质.参考.资料HDMC14.如图，设M为正方体ABCDJBCD的棱CC的中点，求平面BMD与底面ABCD所成的二面角
9、Ci的大小。15.如图，AC : , BD 1,a 与 B 所成的角为 600, AC I 于 C, BD _ I 于 B, AG= 3, BD= 4,CD= 2,求A B两点间的距离五、平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之 相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例在四棱锥P-ABCD中, ABCD为正方形，PU平面ABCD P心AB= a,求平面PBA与平面PDC 所成二面角的大小。（补形化为定义法）解：（补形化为定义法）如图，将四棱锥 P-ABCD形得正方体ABCD-PQMN则PQL PA PD于是/ APD是两面所成二面角的平面角
10、在 RtPAD中，PA=ADJ则/ APD=45。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°16.在四棱锥 P-ABCD中, ABC为正方形，PAL平面 ABCD PA= AB= a,求平面PBA与平面PDC 所成二面角的大小。、向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图 中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例(2009天津卷理)如图，在五面体 ABCDE中，FA 平面ABCD,AD/BC/FE, ABADM为 EC的中点，AF=AB
11、=BC=F=AD2,(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II) 证明平面AMD平面CDE(III) 求二面角A-CD-E的余弦值。解:如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点。设AB = 1,依题意得B 1,0,0 , C 1,1,0 , D 0,2,0 ,E 0, ,F0,0, , M I.(I)解:BF 二-1,0,1， DE 二 0,-1,，于是 coS；BF,DEBF «DE 0 0 11BF DE所以异面直线BF与DE所成的角的大小为600.)证明：由AM订将,CE - -1,0,1 , AD 二 0,2,0，可得 CE-AM =0 ,CE *AD 二 0因此
12、，CE _ AM , CE _ AD 又 AM AD = A, 故 CE _ 平面 AMD .而CE 平面CDE，所以平面 AMD 平面CDE.(III )解：设平面CDE的法向量为u=(x, y, z),贝，U0,2 * DE = 0. 又由题设，平面ACD的一个法向量为v =(0,0,1)._ x + z = 0于是丿0令x=1,可得(1,1).厂y十z = 0.18. ( 2008湖北)如图，在直三棱柱 ABC-A1BQ1中，平面ABC_侧面AABB- 求证：AB_BC ；(II) 若直线AC与平面ABC所成的角为二,二面角A - BC - A的大小为：, 试判断，与的大小关系，并予以证
13、明.WORD格式整理版分析：由已知条件可知：平面 ABB Ai丄平面BCCBi丄平面ABC于是很容易想到以B点为空间坐标原 点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再 利用两向量夹角公式求解。（答案：$ =arcsin ：、亍，且亍 2 <：）.a cb、a c a c由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下:可见棱型解法1转化不见棱型严定义法 f三垂线法垂面法f®积法分析：所求二面角与底面 ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。略解：在二面角的棱PB上任取一点Q在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB, QN PB则由定 义可
14、得.MQN即为二面角的平面角。设 PM=a则在RtPQM和Rt ： PQN中可求得QM=QN=3 a;又由2PQN PQM# PN二a,故在正三角形PMN中皿“=3在三角形MQ中由余弦定理得 cos MQN=，即二3面角的余弦值为1。3PA 丄 AB PB = PD因为 AB=AD=a PA 丄 AD 二 PB = PD , BC = DC 二 APBD 三 APDC。AB = AD = aPC = PC过B作BHL PC于H,连结DH DHL PC 故/ BHD为二面角B-PC-D的平面角。因 PB“a,BC二a,PC=T3a, 1 PB- BC=SPBC=1 PC- BH,贝S BH金二D
15、H又 BD“a。在 BHD中由223余弦定理，得：cos / BHD=BH2 DH2 -BD22BHLBD2予£0Z BHDCn则/ bhdZ，二面角3优质.参考.资料B-PC-D的大小是亍基础练习1. 二面角是指（）A两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2.平面a与平面B、丫都相交，则这三个平面可能有（）A 1 条或2条交线B 2条或3条交线C仅2条交线D 1条或2条或3条交线3.在300的二面角的一个面内有一个点,若它到另一个面的距离是10,则
16、它到棱的距离是（）A 5 B 20 C10、25224. 在直二面角 a -l- B中，Rt ABC在平面 为60°,则AC与平面B所成的角为（）a内，斜边BC在棱I上，若AB与面B所成的角A 30B 45C 60D 1205. 如图，射线BD BA BC两两互相垂直，AB=BC=1 BD,D2则弧度数为-的二面角是（A. D-AC-B B. A-CD-B C. A-BC-D D. A-BD-C6. AABC在平面a的射影是AA iBiC，如果 ABC所在平面和平面 a成B角，有（）S A1B1C1= S ABC COS 0A. SA1B1C1=SABC sin 0C. S ABC
17、=S A1B1C1 sin 0.S ABC =S A1B1C1 COs 07.如图，若P为二面角M-I-N的面N内一点，PB!l , B为垂足, PA与平面M所成角为3,二面角M-l-N的大小为丫，则有（A sin a 二sin 3 sin 丫sin B =sin a sin 丫C sin y 二sin a sin 3以上都不对)8在600的二面角的棱上有两点A、B, AG BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6 AC=3 BD=4 贝S CD=9. 已知 ABC和平面a, / A=3d , / B=60 , AB=2 AB a,且平面 ABC与 a所成角为30
18、76; ,则点C到平面a的距离为10. 正方体ABCAiBCDi中，平面AACQ和平面ABCD所成的二面角（锐角）为 。11. 已知菱形的一个内角是60° ,边长为a,沿菱形较短的对角线折成大小为60°的二面角，则菱 形中含600角的两个顶点间的距离为。12. 如图， ABC在平面a内的射影为 ABC,若/ ABO0 , BC二a ,且平面ABC与平面a所成 的角为9,求点C到平面a的距离13. 在二面角a -AB- 3的一个平面a内，有一直线AC它与棱AB成450角，AC与平面3成 300角，求二面角a -AB- 3的度数。深化练习14. 若二面角内一点到二面角的两个面的
19、距离分别为a和' 2a,到棱的距离为2a ,则此二面角的度数是。WORD格式整理版15.把等腰直角三角形 度数是16.如图，已知正方形 成角的正弦值。ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若/ BAC=60,则此二面角的ABCD正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直线BD与平面ABEF所17.如图，在棱长为a的正方体ABCABCD中，求：(1)面AABB与面ABCD所成角的大小;(2)二面角CBD-C的正切值。D?一卄v>C “ /AB练习参考答案：1 7 DDBA ABB 8. 7cm 9.10.-11. a 12.32a sin vtg13. 450 14. 70A或1650 15. 90 0 16.正弦值为 空 17.(1)90 0 (2)正切值为 24优质.参考.资料