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1、数列知识点总结1.等差数列的定义与性质定义：an 1 an d(d 为常数),an a1 n 1 d等差中项：x, A, y成等差数列2A x y6a. nn n 1刖n项和Sn- nqd2 2性质：an是等差数列(1) 假设 m n p q，贝U am an ap aq；(2)数列a2n 1 , a2n , a2n 1仍为等差数列,Sn, S2nSn, S3nS?n仍为等差数列，公差为n2d ;(3)假设三个成等差数列，可设为a d, a, a d假设an, bn是等差数列，且前n项和分别为Sn, Tn，那么加 竝bm T2m 1(5) an为等差数列Snan2 bn (a, b为常数，是关
2、于n的常数项为0的二次函数)。Sn的最值可求二次函数Sn an2 bn的最值；或者求出an中的正、负分界项， a 0(即：当a1 0, d 0 ,解不等式组 n 可得Sn到达最大值时的n值；当 an 10a 0a1 0, d 0,由n可得Sn到达最小值时的n值.)an 10(6)项数为偶数2-的等差数列an有anan 1S2nn(a1a2n) n(a2 a2n 1)n(anan 1)(an,an 1 为中间两项)nd ,nS2n i (2n 1)an(an为中间项),2.等比数列的定义与性质定义：也丄q(q为常数，q 0) , a. aR 1等比中项:x、G、y成等比数列 G2 xy，或G 石
3、najq 1)前n项和:Sna1 1 qn(q 1)1 q性质：an是等比数列(1)假设 m n p q，贝U am- a.ap- aq(2) Sn，S2nSn，SsnS?n仍为等比数列,公比为q3 求数列通项公式的常用方法由 Sn 求 an。(Sn& 1 , nS|,n 1例1 ：数列a1a121尹22n5，求 an1解n 1时，丄a121 1门2时，尹1戸比1 1a1 2a22 2142n2n1一得：an 2 , an 2 ，二 an 1,an14(n 1)2n tn2)求an练习数列an满足SnSn 15 an 1,玄13Sn注意到a" 1B，代入上式整理得-4，4，S
4、n是等比数列,故 Sn 4n。 n 2 时，an Sn Sn 13-4n 1 故 ann 14 ,n 24,n13n 1解: n 2时 an1 an2 3 2 累加得 anai323n13(3n1 1)2由递推公式求a(1)累加法(an 1 an f(n)形式)求an例 2：数列 an 中，a1 1, an 3n 1 an 1a? a 3 an 1(3n 1)(2)累乘法(加anf (n)形式)例3:数列an中,3,並ann'求 an解:O_.更ana1a2an 1ai又a1n3 , a(3) 构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列取倒构造(an 1等于关于an的分式表达)例4
5、:a11, an 1 ，求 anan 2解:1由得：an 1an 21 丄2an 2 an1an 11an为等差数列, ana111 '公差为11an2 an7n 1同除构造例 5: a11, an 13an3n,求an。解:对上式两边同除以3"1，得影守糸为等差数列,ain 3n33nan 11 n3 (n 1) 3 3，: an例6:a11,an 1 2an 3n 1，求 a.对上式两边同除以2n 1，an 1anan那么有nbn 1bn2，累加法可得bn b13 23 n 1(?) 1(2)玛"9，又aj2b 3 (1 )nbn冷58,an2n例7:a11 a
6、n an 1 2an an 10,求 an解:对上式两边同除以ana得丄an 11an0,即丄anan 12，那么an为等差数列,11，公差为2，/a11an12(n1)2n1，an1。2n 1取对构造涉及an的平方例 8: a13,an 1 3a：,求an.解：对上式两边取对数，得lg an 1lg 3a：，由对数运算性质得lg a. 12 lg a.Ig32lg a.,那么 lg 3an 为两边同时加 lg 3，整理得 lg an 1 lg3 2(lg a. lg 3),即 lg 3a. 1公比为2的等比数列，由此推知an通项公式。等比型常用待定系数例 9: a11, an 1 3an 2
7、,求an。那么k 1，/原式可化为an 1解：待定系数法设上式可化为如下形式：an 1 k 3an k，整理可知2k 2，13an 1，贝U a.1为公比=3的等比数列，由此推知an通项公式。例 10: ai 2, an i 4an 3n 1，求 an。解：待定系数法设上式可化为如下形式：an 1 k(n 1) b 4(an kn b),整理3k 3可知，得k 1,b 0 , a原式可化为an 1 (n 1) 4(an n)，那么an n3b k 1为公比=4的等比数列，由此推知an通项公式。提公因式例 11: a11,an1an 1 2an,求an。解：上式变形为an 1an an an 1
8、，等号左边提公因式得an an 1 1 an 1 ,an1 1 乩,两边取倒数得 引，丄 11， 为公差anan11an1an11an1an1为1的等差数列，由此推知an通项公式。例 12: a1 2, a2 3,2an 1 3an an 1 (当 n 2)，求 an。解：上式变形为 2an 1 2an an an1,2an1 an an an 1，令 bn an 1 an，贝U n 1n 11111bnbn1，bn为首项b11,公比为的等比数列，bn，an1an;222 2由累加法可求得an通项公式。4.求数列前n项和的常用方法(1)分组求和(分组后用公式)1111例 13:求和1-2-3-
9、n-；2482n1解：原式=1 2113 -1nn (1231 1 1n)(1n)248224821 “1、=n(n 1)1(12n)11 呦 1)2n 221-2裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.)常用：1 ;1 丄(丄3错位相减通项可表示为等差乘等比的形式n(n 1) n n 1 n(n 2)2 nx 1 时，Snnx，X 1 时,1 XSn1例 14： Sn1 2x3x24x3n 1 nx求Sn 。解：Sn1 2x3x24x3 n 1 nxx- Snx2x23x34x4n 1n 1 xnnx一1X Sn12X Xn 1n xnx)nn练习求数列 3的前n项和Sn。答案：Sn 2n4倒序相加前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相SnSnanan 1*n 1相加 2Sn a1 ana2 an 1a1 an5.求数列绝对值的前n项和根据项的正负，分类讨论例15:数列an的通项an 11 2n， bn解：设数列a的前n项和为Sn，a19,公差 dan，求bn的前n项和Tn。2, Sn9nn 5时,Tnaia2anaia210nn(n 1)2(2)10n n2i n2n 5时,Tnaia2a5a1S52S5 Sn 50 (10na2S5a6ana5a6a7ann2)2n 10n 5010n n2,n 52n 10n50, n 5