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1、数列的极限【知识概要】1. 数列极限的定义 1）数列的极限，在无限增大的变化过程中，如果数列中的项无限趋向于某个常数，那么称为数列的极限，记作. 换句话说，即：对于数列，如果存在一个常数，对于任意给定的，总存在自然数，当时，不等式恒成立，把叫做数列的极限，记为. 注： 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； 这里的常数是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：； 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限； “无限趋近于”是指数列后面的项与的“距离”可
2、以无限小到“零”. 例1 判断下列结论的正误 （1）若，则越来越小； （2）若，且不是常数数列，则无限接近，但总不能达到； （3）在数列中，如果对一切总有，则没有极限； （4）若，则. 解：（1）不正确，例如：， （2）不正确，例如：，. （3）不正确，例如：，但. （4）正确2. 数列极限的运算性质 1）数列极限的运算性质 如果，那么 ； ； .特别地，如果是常数，那么2）四种常见的重要极限 （1） （2） （3） （4）例2 下列命题中正确的命题是（ ） （A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则 解：选（D） 例3 已知，求. 解： 例4 求下列数列的极限 （1）若，则 ， . （
3、2）； （3）； （4）； （5） （6）.3.数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。所谓的解题“技巧”，也就是如何变形的问题。一般来说，关于的数列通项，如果仅仅只在底数的位置中含序号，往往变形为，利用求解；如果仅仅只在指数的位置中含序号，往往变形成，利用求解；如果既在底数的位置中含序号，又在指数的位置中含序号，往往变形成的形式，利用求解.同时遵循先化简再变形的原则.例5 若，求 解：根据求解，可得【课堂练习】1. 下列命题正确的是（ ）数列没有极限 数列的极限为0 数列的极限为 数列没有极限A. B. C. D.
4、答案：D2. 命题：单调递减的无穷数列不存在极限；常数列的极限是这个常数本身；摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案：B. 由极限的定义仅有是正确的.的反例是an=这是无穷单调递减数列，它的极限是零；的反例是an=它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|an0|=|0|=可以任意小.故选B.3. 已知，则的值是( B )A. B.C. D.不存在4. 设是无穷等比数列的前项和,若=,则首项的取值范围是( C )A. （0，） B.（0，） C.（0，）（） D.（0，）（，1）5. 在数列中，若,则=_.6.设数列,均为等差数列，（公差都不为零），=
5、3,则=_.7. 已知，则=_,=_.8. 已知无穷等比数列的首项为，公比为且有（，则首项的取值范围是_. 答案： 5. 6. 7. 1 1 8. a1,且a11.9. 若，则a的取值范围是（ ）A B或 C D或分析：由（a为常数），知，所以由已知可得，解这个不等式就可求得a的取值范围解：由，得，所以，两边平方，得：，所以或答案 B10. 在数列中，已知，且，求. 解： 11. 已知 (x0),设，求：(1)数列的通项公式；（2） 解：（1）由an+12·f(an)=2,得an+12·=2an+12an2=4an2是以1为首项，4为公差的等差数列，an2=1+4(n1)=
6、4n3an0an=(2)原式=当|b|2,即2b2时，原式=当|b|=2，即b=±2时，原式=当|b|2，即b2或b2时，原式=b2综上，原式=12. 如图，在边长为的等边ABC中，圆为ABC的内切圆，圆与圆外切，且与AB、BC相切，圆与圆外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去，记圆的面积为，. ()证明是等比数列；（）求的值. 解：（）记rn为圆On的半径.r1=tan30°=l， =sin30°=rn=rn1(n2)a1=r12=an成等比数列.（)an=()n1·a1(nN)（a1+a2+an)=.13. 设数列满足+=a2n1, 的前项和为.
7、(1)求；(2)求；（3）求证： 解：（1） a1+=a2n1a1+=a2(n1)1(n2)a2(n1)1+=a2n1an=n(a2na2n2)(n2)a1=a21当n=1时，等式亦成立.an=n(a2na2n2)nN*(2)由（1）an=n(a2na2n2)=n(a21)a2n2Sn=(a21)(1+2a2+3a4+na2n2)a2Sn=(a21)(a2+2n4+(n1)a2n2+na2n)a2SnSn=(1+a2+a4+a2n2na2n)(a21)(a21)Sn=(na2n)(a21)Sn=+na2n=(3)若要证（n+2)(n+1)an+n(n+2)an+12n(n+1)an+2，只要证2·2·=2×=(a21)·a2n2(2a41a2)=(a21)2·a2n2(2a2+1)0原不等式成立.【真题演练】14. 求的值为（ ） (A). 0 (B). (C). (D). 1答案：(B)15. 设等差数列的前项和为，若则_. 答案：18做事做实