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1、第十三章拉普拉斯变换学习过渡过程的复频域分析方法(列写微分方程求时域响应列代数方程求复频域响应积分变换求时域响应)本章内容：1复习拉氏变换及拉氏变换的性质2拉氏变换的部分分式展开3拉氏变换的运算电路4拉氏变换的线性电路的分析 本章重点：1拉氏变换的部分分式展开2.拉氏变换的运算电路本章重点：应用运算电路求电路的频率响应§ 13-1拉普拉斯变换的定义对于一个多个动态元件的电路，用直接求解微分方程的方法比较困难，麻烦；故通过积分变换法，把已知的时域函数(时间域)变换为频域(s域)函数，从而将时域的微分方程化为频域 函数的代数方程。求出频域函数后，再作变换，返回时域，即可求出响应。积分变换
2、的方法有：拉普拉斯变换和傅里叶变换，拉普拉斯变换应用广，故采用。一、拉普拉斯变换(拉氏变换)如果函数f(t)在t >0时有定义，且° f(t)estdt为有限值(收敛)贝U, f(t)的拉氏变换为：F(S) f(t)e stdt0式中：S j为复数变量，称复频率，单位为 HZ;F (S)是f(t)的象函数(F (S)象函数)f(t)是F ( S)的原函数(f(t)是原函数)。二、拉普拉斯反变换(拉氏反变换)1 c jstf(t) . F(S)estdt2 j c j三、举例例13-1求以下函数的象函数(1) 单位阶跃函数(2)单位冲激函数(3)指数函数。解：(1)单位阶跃函数/
3、(£)=()F(s)- J /(f) = I e( t )e = e J dzJ A-J 0-3(t )e ° df(2) 单位冲激函数F(s) = $/“) =J -(3) 指数函数y(£)e- &为实數§ 13-2拉普拉斯变换的性质一、线性(组合)性质设Fl( S)、F2( S)是fl(t)和f2(t)的象函数，AiA2是两个任意实数则有：二、微分性质设F (S)是f(t)的象函数，则有T(i)-xF(5)-f(07)三、积分性设F (S)是f(t)的象函数，则有祇徑止卜字四、 延迟性质'设F (S)是f(t)的象函数，则有应用拉普拉
4、斯变换可求出原函数和象函数的对应关系，得出294页表，那么，如何利用表中函数对应的关系，由象函数求原函数呢，我们复习部分分式法。§ 13-3拉普拉斯反变换的部分分式展开在用拉普拉斯变换求解线性电路的时域响应时，需要将频域响应的拉氏变换式子反变 换为时间函数，如果象函数较简单，则可查表求原函数；如较复杂，则要分解为简单的、 能从表中查到的项，再利用查表求原函数。电路响应的象函数可表示为两个实系数的 s多项式之比（有理分式）为：3 一吋一如”十久寸I +毎把F（s）分解成若干个简单项之和，利用拉氏变换表求原函数，这种方法称为部分分式 展开法（分解定理）用部分分式展开法要化成真分式Duy实
5、数单根设D （ S）=0有n个实数单根，pi、P2Pn。则有:Pi求待定系数1.KL(LPi)Fa)$“ = （5-A）F（s）f=Pf2. 当求待定系数遇到零比零（不定式）时用下面极限的方法 k产阚|因为-=肉 Dh)=腕 =DT确定待定系数后，原函数查表13-1为/（） = 0f（J = $2 = S 話需捫 p（s） = _丄叮 1例13-6求亍4九+ 10j的原函数。解:e 、_ 2j + I _ 2j + 1 卜=?+7? + Uk = j(j + 2)(j + 5)Pi =0-P2= _2"产-5D7s) = 3j： + 14j + 10各待定系数为:2j + 1，. _
6、3jz + 14i+ 10=0N(j)7HTJK;=0.5K严-0.6原函数为:/,(t)=Q4 + 0.5e_a,-0+6e、共轭复根设共轭复根为:pi a jcvrp2 Q 一j切= 亠j«v）Fh）h-.士三，（：）|K严（s -童 +j3）F（$炭：|Ki、K2是一对共轭复根，设K| = |Kjd则有K严|KU则:“出|小亠"+ iKje' er*= lKje*kf*+*i>+e-+ffi)=21 Kt le"cos( + 0J例13-7求 * +2 + 5的原函数解：D(.0=0的根扒=-1十j2“严-l-j2为共扼复根K =_ "
7、;3n| _D7nLi "27+2 厂心= O.5-iO+5 = O.572e_iTKa = lKje''tf-珥Odd占f(t) = 2KlicoS(2r-扌) =vTe'f cos (2 上 _ 扌)二、重根若D（S）含有重根，则应含有（s-p1）n因式，设含有3重根，F （S）可分解为（含有单 根P2和重根P1）:F（5）= _汁 + _ + 22J2_-E 扒（$二7了 （s-p；）3单根的求解方法不变；重根K值的求法为将式的两边乘以3重因子有u丄K忖(1)(y-= (s-+ (s - pJK柱中 Ku + ($ 扒)M十K舁=（$如尸Fd）|“片对（
8、1）求导可求K12同理可求导可求K13为：K、严 A）3?（,）L=Ai当有q阶重根时有：K 厂（s-K蛊】匚（训F( $)=丄 j 工例题13-8求 '' '的原函数解：D (S)有 2 个重根 Pi=-1, P2=-0Kn + K23 x Kn由原式知两边同乘以（s+1）3有（卄1）、弘）=十则有:K|】 = d_阿广+-2-r f« -1$=21* -1Kli _2 577L 6 117=3r - I同理：，F（沪岛K21=1K22=-3可得像函数为FCj) =(7Tiy_ 321_E (7717 (7TT7原函数为：/(i)=3e * +2te_* +
9、 y?e ' 3+ t§ 13-4运算电路要进行复频域分析，就要把时域电路变成复频域电路，即运算电路 、基尔霍夫的复频域形式：1、RLC的运算电路1 .电阻元件j(t> R& *- r if 一 + y(i)K(i) = JK(t)U(s) = RI(s)2 电感元件7Lu(t) = Ldi (l)diIG)4+(D* U($w 丄I($)，乙(0_ )3. 电容元件u (f) =i(t )dt -F u (0 )J c|/(if) = CU(s)-Cii(0j4. 两个耦合电感的运算电路为C/i<O , Sg)f/iG)-t=drdTUj (s) = s
10、L111 ( j)亠 L t(0* ) + jAI/j(s) 一 Mi2(0,)Ua(j) = xLaIl(j)-小(OJ + iMK)-5. RLC串联运算电路§ 13-5拉普拉斯变换法分析线性电路例题13-9电路处于稳态，t=0时s闭合，试用运算法求电流ii(t) 解：Us的拉氏变换为1/s；由于开关闭合前电路稳态，则设出回路电流，应用回路法可列出方程为:求 s(s2 2s 2)0 的根为 s=0 , s=-1+j, s=-1-j待疋系数K11so 23S24S2a111j145°e2、. 23S24S2S 1 j2 2jK31I11j14502 一 2。3S24S2S
11、 1 j2 2j响应为：(f)二空7 R a)】二;+ ；/ C0</ +145°)-V2=(1 -e_fcos t - e_Isin £)A例13-10 电路为RC并联，激励为电流源，分别求激励为阶跃函数和冲激函数时电路的响 应 u(t)。解：厂H-+ *1?=4二1 _R _ R q +念)1 “吉u(l) = JT* U(f) = R(1V(2) ' : ' 1r-4Ricc 1g*RC例13-11 电路如图，t=0时开关s闭合，求响应UL(t)。已知usi=2e-2t， us2=5v,Ri=R2=5L=1H。解：班g二幼為电感的初始值为：订(0- ) = 1 A用结点电压法求解得:Ul(5)=25K 瓦(E)(2+)匸齐+耐?KiK22S2S 52S2S 52.5VL(/) = S,_1【+5川)V小结：1 部分分式法展开2. R、L、C运算电路3 复频域分析方法